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Confidence Intervals: Calculating and Applying Statistical Confidence Intervals

Learn how to calculate statistical confidence intervals, including pivotal quantity method, for various scenarios in data analysis. Understand and apply confidence intervals for means and variances with unknown parameters.

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Confidence Intervals: Calculating and Applying Statistical Confidence Intervals

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Presentation Transcript

  1. Intervalos de confiança • Sejam X1, X2, …, Xn i.i.d. com distribuição Fq. Um intervalo de confiança de nível 1– apara q é um par de estatísticas [T1(X), T2(X)] tais que P(q [T1(X), T2(X)] )  1– a, para todo q.

  2. Observações • A probabilidade da definição se refere a T1 e T2 e não a q. • O ideal é obter intervalos de confiança em que a probabilidade indicada é sempre igual a 1– a. • Intervalos de confiança são normalmente reportados através dos valores observados de T1 e T2.

  3. Como obter um I.C.? • Método da quantidade pivotal • Obter uma função S(x, q) (quantidade pivotal) cuja distribuição independa de q. • Escolher dois números a e b tais que P(a ≤ S(x, q) ≤ b) = 1 – a • Resolver a inequação obtida em termos de q.

  4. Exemplo • X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q]

  5. Intervalos de confiança para distribuição normal X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(m, s2) Quatro casos: • I.C. para m, com s2 conhecido • I.C. para s2, com m conhecido • I.C. para m, com s2 desconhecido • I.C. para s2, com m desconhecido

  6. I.C. para m, com s2 conhecido • Aplicável quando • a distribuição é normal e s2 é de fato conhecido, ou • a distribuição é normal e a amostra é grande, de modo que se possa estimar s2 com razoável precisão • a distribuição não é normal, mas a amostra é grande e deseja-se um I.C. aproximado para a média da distribuição, usando o T.C.L.

  7. I.C. para m, com s2 conhecido • I.C. central • I.C. unilaterais a za

  8. Exemplo • n = 25, X = 60, s = 10, a = 0,1

  9. Exemplo • Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas, 190 foram favoráveis a uma certa proposta. Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de pessoas favoráveis na população.

  10. I.C. para s2, com m conhecido • I.C. central • I.C. unilaterais a a x2n(a)

  11. A distribuição c2 • Sejam X1, …, Xni.i.d. N(0,1). A distribuição de X12 +… + Xn2 é chamada de distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

  12. Exemplo • n = 20, m = 60, SXi - m2 = 90.000, a = 0,1

  13. I.C. com m e s2 desconhecidos • Teorema Fundamental Sejam X1, …, Xni.i.d. N(0,1). • S (Xi – X)2e X são independentes • S (Xi – X)2tem distribuição c2n-1 • tem distribuição tn-1

  14. A distribuição t de Student • Sejam X e Y variáveis independentes, X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição c2n. A distribuição de é chamada de distribuição t de Student com n graus de liberdade.

  15. Observação No caso de X1, …, Xni.i.d. N(m,s2). • S (Xi – X)2e X são independentes • S (Xi – X)2/s2tem distribuição c2n-1 • tem distribuição tn-1

  16. I.C. para m, com s2 desconhecido • I.C. central • I.C. unilaterais

  17. I.C. para s2, com m desconhecido • I.C. central • I.C. unilaterais

  18. Exemplo • Obter I.C. de nível 95% para m e s2 para o caso em que n = 16, SXi = 960 e SXi2 = 70.000

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