Augustin Louis Cauchy

1. Augustin Louis Cauchy (1789 bis 1857)

2. Gliederung • 1. Biographie • 2. Seine Werke

3. Biographie • Am 21. August 1789 in Paris geboren • Vater: Louis - Francois Cauchy, Jurist und hoher Beamter in der vorrevolutionären Bürokratie • Cauchy verbringt seine Jugendjahre während der Revolutionszeit in Arcueil • Wird vom Vater erzogen, der klassische Sprachen und Literatur studiert hatte

4. Biographie • Nach Ende der Terrorherrschaft kehrt die Familie nach Paris zurück • Sein Vater macht wieder Karriere, was auch zu engen Freundschaften mit Pierre Simon Laplace (damaliger Innenminister) und Joseph-Louis Lagrange (Senator) führt

5. Früh erkennt Laplace Cauchys mathematische Begabung („Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen.“) • Cauchy soll sich zunächst eine gute Allgemeinbildung verschaffen, um fähig zu sein, seine eigene Sprache zu schreiben

6. Biographie • 1805: Eintritt in die Ecole Polytechnique - Absolviert als einer der besten Schüler die grundlegenden Disziplinen Mathematik und Mechanik • 1807: Eintritt in die Ecole des Ponts et Chaussées (staatliche Ingenieurschule)

7. Biographie • 1809: • Ende der Ingenieurausbildung • Aufnahme praktischer Tätigkeiten in Nordfrankreich, unter anderem 1810 im Hafen von Cherbourg • Studiert systematische Mathematik und gelangt auch zu den ersten Entdeckungen

8. Biographie • 1811: Erste mathematische Publikationen • Befasst sich auf Anregung von Lagrange mit der Polyeder • Schafft sich durch seine Arbeiten einen Namen in der akademischen Pariser Gesellschaft

9. Biographie • 1813: Rückkehr nach Paris • 1813/ 1814: Strebt nach einer offiziellen wissenschaftlichen Funktion entweder an der Akademie oder an einer Hochschule - Bestrebungen zunächst erfolglos

10. Biographie • 1815: Professor an der Ecole Polytechnique • Schreibt seine Vorstellung von der Lehre in einigen Büchern nieder • Geht als Lehrer mit großem Eifer zur Sache • Legt sehr viel Wert auf die Genauigkeit der Definitionen • Führt neuen Stoff ein

11. Biographie • 1816: Heirat mit Aloise de Bure, Tochter eines angesehenen Buchhändlers und Verlegers • Aus der Ehe gehen zwei Töchter hervor

12. Biographie • In den folgenden Jahren beschäftigt sich Cauchy systematisch mit mathematischen Problemen • Zeitraum der erfolgreichsten wissenschaftlichen Ergebnisse • Zeitraum dauerte bis Julirevolution 1830

13. Biographie • 1830: Nach der Julirevolution und dem Sturz des letzten Bourbonenkönigs Karl X. verweigert Cauchy den Untertaneneid auf den „Bürgerkönig“ Louis-Philippe • Cauchy emigriert, zunächst in die Schweiz, später tritt er eine Professur in Turin an

14. Biographie • 1833 bis 1838: Aufenthalt in Prag am Exilhof • Verbringt fünf Jahre in der Funktion des Erziehers • 1838: Rückkehr nach Paris • Weil er es ablehnt einen Treueid zu leisten, erhält er kein Lehramt an Hochschulen • Lebt als Privatmann

15. Biographie • 1848: Die Revolution schafft den Amtseid ab, Cauchy tritt eine Professur an der Sorbonne an • Mai 1857 erkrankt Cauchy • 23. Mai 1857 stirbt er in Sceaux bei Paris

16. Seine Werke • Cauchy war einer der produktivsten Mathematiker: • Cauchy erstrebte ein weites Gebiet der ganzen Mathematik, wie nur sehr wenige Mathematiker des 19. Jahrhunderts • Er publizierte sieben Bücher und mehr als 800 wissenschaftliche Abhandlungen

17. Seine Werke • Inspirationen für seine Forschung holte sich Cauchy aus 2 Quellen: • Mathematik • Physik

18. Seine Werke • Aus seinen Vorlesungen an der Ecole Polytechnique entstanden bedeutsame Werke: • „Cours d´analyse de l´Ecole Polytechnique“ (Lehrgang der Analysis an der polytechnischen Schule) (1821) • „Lecons sur le calcul infinitésimal“ (Vorlesungen über den Infinitesimalkalkül) (1823)

19. Die wichtigsten Richtungen der mathematischen Arbeiten Cauchys • Folgen und Reihen • Differential- und Integralrechnung • Funktionentheorie und Differentialgleichungen • Algebra

20. Folgen und Reihen • Cauchy definiert den Begriff der Folge und der Konvergenz • Bringt Ordnung in die Reihentheorie • liefert für die Konvergenz auch die erforderlichen Kriterien

21. Kriterien für die Konvergenz von Reihen • Verdichtungskriterium • Quotienten-Kriterium • Wurzelkriterium

22. Verdichtungskriterium • Ist (xk) eine monoton fallende Nullfolge, so sind die beiden Reihen ∞ ∞ Σ xk und Σ 2^k*xk k=1 k=1 entweder beide konvergent oder beide divergent

23. Quotienten-Kriterium (an)n sei eine komplexe Folge. Es gebe ein 0<α<1 und ein N€ℕ, so dass gilt |(a(n+1): (an)| ≤ α für alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent

24. Wurzelkriterium (an)n sei eine komplexe Folge. Es existiere ein 0<α<1 und ein N€ℕ mit ⁿ√|an|≤α für alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent

25. Differential- und Integralrechnung • Cauchy formuliert den Begriff des Limes, mit denselben Worten, die auch noch heute verwendet werden • Der Grenzwertsatz besagt, dass das arithmetische Mittel der Elemente einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert dieser Folge strebt

26. Differential- und Integralrechnung • Als erster beweist Cauchy streng die Kovergenz der schon von Euler untersuchten Folge (1+1/n )ⁿ (Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e)

27. Differential- und Integralrechnung • Cauchy definiert den Begriff des Integrals: Das Integral ∫ f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen.  Integral von f(x) = ∫ f(x)dx = F(x)+c

28. Funktionentheorie und Differentialgleichungen • Detaillierte Ausarbeitung der Theorie der Differentialgleichungen • schafft Ordnung und Genauigkeit in dieses System, dies vor allem durch seine Beweise für die Existenz der Lösung • Beschäftigt sich mit der Theorie der Funktionen der komplexen Veränderlichen

29. Sonstige Leistungen • Viele weitere Sätze und Begriffe der Mathematik sind nach Cauchy benannt: • Cauchysche Grenzwertsätze • Cauchyscher Integralsatz • Cauchy-Produkt von Reihen • Cauchy-Determinante • und andere

30. Sonstige Leistungen Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: |a*b| ≤ |a| * |b| (Sie gibt an, dass der Absolutwert des Skalarproduktes zweier Vektoren nie größer als das Produkt der jeweiligen Vektornorm ist.  Dient z.B. der Vektorrechnung

31. Sonstige Leistungen • Viele Beiträge zur Physik • Cauchy beschäftigt sich insbesondere mit • der Forschung der Elastizitätstheorie und • der Forschung der Wellentheorie

32. Zusammenfassung • Cauchys mathematisches Werk trug wesentlich zur Entstehung der modernen Mathematik bei und bleibt für immer bestehen als sein eigentliches Vermächtnis.

33. Literaturverzeichnis • Belhoste, Bruno: Augustin-Louis Cauchy, A Biography, Springer-Verlag, 1991 • Gottwald, Siegfried, Lexikon bedeutender Mathematiker, 1. Auflage, 1990 • Meschkowski, Herbert, Mathematik-Lexikon, 1980 • Cauchy, A.L: Abhandlungen über bestimmte Integrale zwischen imaginären Grenzen, Dtsch, ed. P. Stäckel, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaft, Nr. 112, Leipzig, 1900