Modelov ání zajištění v rámci rezerv a solventnosti v neživotní pojišťovně

1. Modelování zajištění v rámci rezerv a solventnosti v neživotní pojišťovně Radka Trchová Reserving and Actuarial Analysis Allianz Elementar, Austria

2. Agenda • Zajištění v rezervovacích modelech • Model uvažující jednotlivé škody • Parametrizace modelu • Simulace • Zajištění • Optimalizace zajištění • Závěr

3. Základní rezervovací metody v praxi • V praxi se užívají obvykle dvě metody • Užití známých modelů na data očištěná o zajištění • Užití známých modelů pro hrubé škody a následné užití proporcionální metody • Známé modely • Deterministické • Chain ladder • Bornhütter-Fergusson • ... • Stochastické • Over Dispersed Poisson • Mack metoda • ...

4. Příklad – brutto Chain Ladder Trojúhelník jednotlivých zapl. škod • Překpokládejme, že v každém roce vzniknou 3 škody: • 2 škody mají první platbu hned • 1 škoda má první platbu až v 2. roce • Máme dva typy škod: • malá škoda: 10  15  17.5 • velká škoda: 20  30  35 Kumulativní trojúhelník zapl. škod Chain Ladder faktory Metoda Chain Ladder dává odhad škodní rezervy ve výši 50. Doplněný kumulativní trojúhelník

5. Příklad – netto Chain Ladder Trojúhelník jednotlivých zapl. škod • Překpokládejme zajištění: • XL-zajištění s prioritou 20 v letech 2004, 2005 • Žádné zajištění (nebo XL-zajištění s prioritou např. 40) v roce 2006 Kumulativní trojúhelník zapl. škod Chain Ladder faktory Metoda Chain Ladder aplikovaná na trojúhelník čistých škod dává odhad škodní rezervy ve výši 30. Doplněný kumulativní trojúhelník

6. Příklad – netto úvahou Brutto Chain Ladder Netto Chain Ladder Úvaha: Pro rok 2006 užijeme odhad metodou Chain Ladder pro hrubé škody, protože v tomto roce není zajištění Metoda Chain Ladder užitá na trojúhelník čistých škod pododhaduje škodní rezervu o 33%. Předpoklady metody CL nejsou splněny (nezávislost výv. faktorů na roce vzniku škody).

7. Příklad – proporcionální metoda • Překpokládejme že • malé škody jsou rezervovány 20 (princip obezřetnosti) a v posledním výv. Roce jsou opraveny na konečnou hodnotu 17.5 • velké škody jsou rezervovány 35 (přesnější analýza škody) Trojúhelník jednotlivých hlášených škod • Hlášené hrubé škody: 200  Hlášené čisté škody: 170 • Individuální rezerva brutto: 40  Individuální rezerva netto: 35 Proporcionální metoda dává odhad netto rezervy 43.75, což je jen o 2.8% nižší než odhad úvahou. • Podíl netto individuální rezervy: 35/40 = 0.875 • Netto IBNR rezerva = 0.875*50 = 43.75

8. Výpočet netto rezerv - problémy • V praxi je situace mnohem složitější • Zajistná struktura a parametry se mohou měnit každý rok • Zajištění se obvykle mění v průběhu pojistného cyklu • Předpoklady modelů nejsou často splněny již pro hrubé škody a je nutno metody upravit na základě bližší informace Problémy • Chain Ladder metoda aplikovaná na trojúhelník čistých škod • Předpoklad metody nezávislosti vývojových faktorů není splněn • Proporcionální metoda je zavislá na politice individuálních rezerv, která se v průběhu času mění • Při modelování celého rozdělení škodní rezervy je situace ještě horší  Potřebujeme model, který zajištění lépe zohledňuje

9. Intuitivní úvaha Pro modelování jednotlivých škod užijeme kolektivní model Kde s Rok vzniku škody j Vývojový rok l Vývojový rok první platby Počet škod vzniklých v roce s a hlášených poprvé ve vývojovém roce j Jednotlivé škody Pro jednotlivé škody užít multiplikativní model

10. Model pro počty škod Kumulativní trojuhelník počtů škod Inkrementální počty škod Model

11. Model pro počty škod Z předpokladu Poissonova rozdělení plyne Střední hodnota Variance

12. Model pro počty škod Pro střední hodnotu konečného počtu škod lze rekurzivně odvodit Podobně lze odvodit pro rozptyl  Rozptyl konečného počtu škod je lineární funkcí Nt-j,j

13. Model pro výše škod Intuitivní úvaha spočívá v užití multiplikativního modelu pro škody, které se již v trojuhelníku objevily. Pro Ẽls,j+1,kpředpokládáme, že mají střední hodnotu 1, stejné druhé a třetí momenty pro stejné j,k,l a nezávisí na Yls,j,k Problém: pro uzavřené škody máme  Ẽls,j+1,k=0  závislost na stavu Yls,j,k  Zavedeme veličinu Jls,j,k, která indikuje, zda je škoda otevřená pokud je škoda Yls,j,k na konci výv. roku j otevřená pokud je škoda Yls,j,k na konci výv. roku j uzavřená

14. Model pro výše škod Zavedeme pravděpodobnosti uzavření škody qj+1 ve vývojovém roce j s pstí s pstí Podobně pro škody mající první platbu s pstí s pstí Snadno se ukáže PomocíJls,j,k lze model pro otevřené i uzavřené škody vyjádřit jako

15. Celkový model Rozdělením na škody mající první platbu do vývojového roku j a škody mající první platbu ve výv. roce j+1 dostáváme pro Xs,j+1 Pro škody již se v trojuhelníku vyskytující lze pak užít multiplikativní model z předpokladu

16. Celkový model Celkové škody lze také rozložit na otevřené a uzavřené kde pro škody otevřené máme a pro škody ouzavřené máme

17. Celkový model Označme Is,j informaci o škodách z roku s dostupnou ve vývojovém roce j Máme tedy Snadno se ukáže a pro otevřené škody

18. Celkový model První člen je roven což je díky rovno a to je rovno Druhý člen je střední hodnota složeného Poissonova rozdělení

19. Rezerva Nediskontovaná rezerva bez bezpečnostní přirážky má tvar Střední hodnota v sumě se vyjádří pomocí vložených středních hodnot Dosazením za vnitřní střední hodnotu dostáváme což je rovno Rekurze

20. Rezerva Očekávané budoucí platby na škody, které již měly platbu Očekávané platby na škody, které ještě platbu neměly Koeficienty se zkládají pouze z deterministicých parametrů modelu , kum. výv. faktory,

21. Parametrizace – malé škody Pro přesnější parametrizaci velkých škod rozdělíme škody na malé a velké Pro malé škody užijeme model Trojuhelník malých zaplacených škod

22. Parametrizace – malé škody Vývojové faktory Výběr vývojových faktorů

23. Parametrizace – malé škody Koncové faktory Suma kvadratických odchylek:

24. Malé škody v 0-tém vývojovém roce U malých škod v nultém vývojovém roce lze pozorovat cyklus Dobrý odhad dává polynom čtvrtého stupně

25. Parametrizace – počty škod Suma kvadratických odchylek: Parametr lambda se stanoví metodou momentů

26. Parametrizace – výše škod dj se stanoví jako vhodný vážený průměr ds,j Opticky nejlepší koncový faktor dává exponenciální křivka, která má však největší kvadratickou odchylku (důvodem je špatný fit v prvním vývojovém roce) Momenty pro výši první platby předpokládáme LN-rozdělení

27. Parametrizace – pst zavření škody Pro pozdější vývojové roky je k dispozici poměrně málo pozorování Významný je především rozdíl pro nultý vývojový rok Od pátého vývojového roku předpokládáme hodnotu 0.35

28. Chybové členy Chybové členy vývoje malých škod Chybové členy vývoje velkých škod Histogram chybových členů velkých škod U velkých škod se často vyskytují roky, kdy není učiněna žádná platba a hodnota chybového členu je rovna nule.

29. Celková brutto rezerva Rozdělení celkové brutto rezervy bylo stanoveno pomocí 1000 simulací Počty škod byly simulovány dle modelu Výše nových škod byly simulovány pomocí LN-rozdělení, uzavření škod dle 0-1 rozdělení a vývoj otevřených škod dle Rozdělení celkové rezervy je relativně symetrické

30. Rezerva dle roku vzniku škody • Dle očekávání roste rezerva s rokem vzniku škody • Nejnižší rezerva je pro roky nejvíce vypořádané Velká škoda – požár tunelové lanovky Kaprun – postihla více pojistitelů

31. Sm. odchylky a variační koeficienty 1. škoda 2. škoda 2. škoda 1. škoda Směrodatná odchylka klesá s rokem vzniku škody Směrodatná odchylka stoupá s rokem vzniku škody

32. Rozdělení rezervy jednotl. let vzniku škody Rozdělení rezerv v jednotlivých letech vzniku škody jsou výrazně méně symetrické

33. Model – Škody netto Kvóta (Q%) Z = (1-Q%)S XL Zajištění (L xs P) Yi = min(max(Xi – P, 0), L) Navíc dodatečné zajistné - reinstatements SL Zajištění (L xs P) Z = min(max(S – P, 0), L)

34. Zajistný efekt Vlastnosti LN-rozdělení: Pareto:

35. Netto rezerva při XL-zajištění Rezerva na škody, které již měly platbu Rezerva na škody budoucí Zajistný efekt Budoucí vývoj Budoucí vývoj

36. Netto rezerva při XL-zajištěnídeterministický odhad

37. Netto rezerva při SL-zajištění Platby, které již byly učiněné Zajistný efekt Užíváme prioritu očištěnou o škody, které jsou při It-j,j uzavřené

38. Model s XL-zajištěním Rozdělení netto rezervy má kratší pravý konec – menší pravděpodobnost velkého škodního úhrnu

39. Model s XL-zajištěním Distribuční funkce netto rezervy konverguje dříve k 1 (je posunuta více doleva)

40. Kalkulace rizikového kapitálu Vývoj rizikové rezervy Pmtt+1jsou platby za škody v čase t+1 Bt+1 je pojistné placené na konci roku, F = 1+i, G = 1+(1-)i,  je průměrná doba plateb za škody a ut je výše alokovaného kapitálu na konci roku t Výše rizikového kapitálu se stanoví z požadavku Pro odhad v jednokrokovém modelu lze užít NP2 aproximace  Je třeba odvodit příslušné střední hodnoty

41. Simulace rizikového kapitálu Z požadavku plyne Po úpravě dostaneme Při označení máme • Simulujeme veličinu  a hodnota u je příslušný kvantil Zde již potřebujeme předpoklady o rozdělení výší škod a chybových členů

42. Economic value added (EVA) Economic value added je definována jako hospodářský výsledek po odečtení nákladů na kapitál Cost of capital je tvořeno bezrizikovou úrokovou mírou plus přirážka Hospodářský výsledek je dle našeho modelu Neboli součet výsledku z pojistné činnosti a úroku z kapitálu EVA lze tedy vyjádřit také jako

43. Return on Equity (ROE) Return on equity je definován jako hospodářský výsledek v procentech kapitálu Z předchozích úvah plyne vztah mezi EVA a ROE Snadno tedy plyne, že pojistitel produkuje kladnou přidanou hodnotu (EVA) právě tehdy, když jeho return on equity přesahuje jeho náklady na kapitál

44. Reinsurance EVA Přidaná hodnota ze zajištění je rozdílem přidané hodnoty brutto a netto Snadno se ukáže, že to je rovno ušetřeným nákladům z ušětřeného kapitálu po odečtení nákladů na zajištění Ušetřený kapitál: Náklady na zajištění jsou opakem výsledku zajistitele: Snadno se ukáže

45. Efficient frontier ResultUW Efficient frontier Max EVA ResultIST IST EVA EVA>0 uIST*iCoC   uIST Capital (u)

46. Výhody modelu • Intenzivnější užití dat • Explicitní zohlednění zajištění • Možnost implementace aproximativní verze v Excelu • Možnost rozšíření o další typy rizik, především investiční riziko (total balance sheet view)

47. Problémy • Dostupnost dat • Velké množství parametrů, riziko odhadu parametrů • Model je nutné rozšířit o odhad rizika parametrů • Model je nutné zozšířit o modelování více obchodních odvětví včetně závislostí mezi nimi

48. Další oblasti vývoje • Snížení množství parametrů např. Užitím parametrických funkcí • Modelování rizika paramerů • Modelování více obchodních linek a závislostí mezi nimi • Rozšíření modelu o investiční riziko a úvěrové riziko ze zajištění • Testování modelu na velkém množství dat v praxi