Movimento em uma dimensão

1. Movimento em uma dimensão Curso de Física I

2. Movimento em 1-D • Entendero movimento é uma das metas das leis físicas. • A Mecânica estuda o movimento e as suas causas. • A sua descrição e feita pela Cinemática. • As suas causas são descritas pela Dinâmica. • Iniciamos com o movimento em 1-D.

3. O Paradoxo de Zenão Zenão de Eléia, o sofista (490/485 a.C – 430 a.C. ) propôs o movimento como impossibilidade lógica. Aquiles (A) em A, a tartaruga (T) está em B. Quando A chega em B a T está em C, reduzindo a distância sem jamais alcançá-la O tempo t é a soma t = T+T/2+T/4+T/8 +.. ou t = T+T( 1/2+1/4+1/8+..) que é t = 2T Para Zenão o tempo seria infinito. Isto é um erro!

4. O deslocamento O deslocamento de um móvel em uma dimensão é a diferença entre as posições final, x2,e inicial , x1, entre os instantes t2 e t1, respectivamente. Exemplo: corrida de 100 metros. deslocamento x = x2- x1 t = t2 – t1 intervalo de tempo

5. Velocidade média Velocidade média de 0s até 5.01s: vm = 40m / 5.01s = 8.0 m/s de 5.01s até 10.5s: vm = 60m / 5.49s = 10.9 m/s Em todo o intervalo, de 0s até 10.5s: vm = 100m / 10.5s = 9.5 m/s Apesar de útil em alguns casos, como esportes, a velocidade média é um conceito impreciso.

6. Velocidade instantânea Velocidade média entre

7. Velocidade instantânea Velocidade média entre

8. Velocidade instantânea Velocidade média entre

9. Velocidade instantânea Velocidade média entre

10. Velocidade instantânea Velocidade média entre

11. Velocidade instantânea Velocidade instantânea em t0

12. Velocidade instantânea Geometricamente Conceito Derivada Tangente Exemplo: Na corrida, de 100 m, a velocidade em t = 2s é

13. Velocidade instantânea A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo

14. Algumas derivadas importantes

15. Velocidade instantânea Um caso particular; a posição é uma função linear do tempo

16. O cálculo de x(t) a partir de v(t) Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de velocidade constante. Então, Note que v( t - t0 ) é a área sob a curva da velocidade v em função do tempo. Este é um resultado geral como veremos a seguir. Para demonstrá-lo usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever onde v(t) é a velocidade instantânea em t.

17. O cálculo de x(t) a partir de v(t) Este resultado pode ser visto graficamente

18. O cálculo de x(t) a partir de v(t)

19. O cálculo de x(t) a partir de v(t) Se aplicada ao gráfico da velocidade em função do tempo, a relação anterior descreve a área sob a curva No limite N e t0

20. O cálculo de x(t) a partir de v(t) A velocidade é obtida derivando-se a posição; geometricamente, calcula-se o coeficiente angular da reta tangente à função posição no ponto considerado. A posição é obtida pela anti-derivação , ou integração, da velocidade; geometricamente, calcula-se a área sob a curva da função velocidade.

21. Algumas integrais importantes

22. Aceleração média Aceleração média A corredora acelera uniformemente até 10 m/s em t = 4s. Mantem a velocidade nos próximos 4.7s e reduz a velocidade para 8m/s. de 0s até 4s: am = 10m/s / 4s = 2.5 m/s2 de 4s até 8s: am = 0m/s / 4s = 0 m/s2 de 8s até 12.7s: am = -2m/s / 4.7s = -0.42 m/s2

23. Aceleração instantânea Aceleração média entre

24. Aceleração instantânea Aceleração instantânea em t0

25. Aceleração instantânea A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação tempo

26. Aceleração instantânea Conceito Gráficos Derivada Segunda derivada Note que Exemplo: Na corrida de 100 m, a aceleração em t = 2s é

27. Aceleração constante Se a aceleração é constante Se t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica Note que neste movimento a velocidade média é dada por Como temos

28. Jogo de Boliche Jogador joga bola com v0 = 2m/s e aceleração a = -0.2m/s2. Qual a distância percorrida pela bola até parar? usando temos e

29. Resumo, aceleração constante As equações de movimento para o caso de aceleração constante são:

30. Aceleração da Gravidade Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou Aristóteles. Usando experimentos mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade e independente de sua massa. x ~ t2 , v ~ t ; consequências de uma aceleração constante!

31. Aceleração da Gravidade a resistência do ar!! Mas... devemos notar que há, em geral, outras forças atuando no corpo considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos.

32. Corpos em queda livre Para cima diminuindo v Para baixo Bola para Bola jogada para cima v aumenta

33. Resumo, aceleração constante As equações de movimento para o caso de aceleração da gravidade -g são (ao longo do eixo y):

34. Exemplo Um corpo cai livremente; calcule a sua posição e velocidade em t = 1.0, 2.0 e 3.0 s. Em t = 1.0 y = - 4.9 m e v = -9.8m/s Continuando temos

35. O cálculo de v(t) a partir de a(t) Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente o caso de aceleração constante. Então, Note que a( t - t0 ) é a área sob a curva da aceleração a em função do tempo. Este também é um resultado geral como veremos a seguir. Para demonstrá-lo usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever onde a(t) é a aceleração instantânea em t.

36. O cálculo de v(t) a partir de a(t) Este resultado pode ser visto graficamente

37. O cálculo de v(t) a partir de a(t)

38. O cálculo de v(t) a partir de a(t) Se aplicada ao gráfico da aceleração em função do tempo, a relação anterior descreve a área sob a curva No limite N e t0

39. O cálculo de v(t) a partir de a(t) A aceleração é obtida derivando-se a velocidade; geometricamente, calcula-se o coeficiente angular da reta tangente à função velocidade no ponto considerado. A velocidade é obtida pela anti-derivação , ou integração, da aceleração; geometricamente, calcula-se a área sob a curva da função aceleração.