主要内容

1. 第三节 同 构 主要内容 同构的定义 同构的性质

2. 一、同构的定义 我们来建立欧氏空间同构的概念. 定义 8实数域 R 上欧氏空间 V与 V 称为同 构的，如果由 V到 V 有一个双射  ，满足 1) ( + ) =  ( ) +  ( ) , 2) ( k ) = k ( ) , 3) ( (  ) ,  ( ) ) = (  ,  ) , 这里 ,  V , k R，这样的映射  称为 V到 V 的同构映射.

3. 由定义可以看出，如果 是欧氏空间 V到 V 的一个同构映射，那么  也是 V到 V 作为线性空 因此，同构的欧氏空间必有相同的 间的同构映射. 维数. 设 V是一个 n维欧氏空间，在 V中取一组标准 在这组基下，V中每个向量 正交基 1 , 2 , … , n.  都可表示为  = x11 + x22 + … + xnn. 令  ()= (x1 , x2 , … , xn )  Rn.

4. 我们知道，这是 V 到 Rn的一个双射，并且适合 上一节 定义中条件 1)，2) (第六章第八节) . 说明， 也适合定义中条件 3)，因而  是 V 到 Rn 的一个同构映射，由此可知，每个 n维的欧氏空间 都与 Rn 同构 .

5. 二、同构的性质 性质同构作为欧氏空间之间的关系具有以下 性质： 1) 反身性V与 V自身同构，且其同构映射 为恒等映射； 2) 对称性设 V1与 V2同构， V1到 V2 的同 构映射为  ，则V2与 V1同构，且 V2到 V1 的同构 映射为 -1；

6. 3) 传递性设V1与 V2同构， V2与 V3同构， V1到 V2和 V2到 V3的同构映射分别为 1, 2, 则 V1与 V3同构，且 V1到 V3的同构映射为 21. 既然每个 n维欧氏空间都与 Rn同构，按对称 性与传递性即得，任意两个 n维欧氏空间都同构. 综上所述，就有 定理 3两个有限维欧氏空间同构的充分必要 条件是它们的维数相同. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的 结构完全被它的维数决定.

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