纠缠谱

1. 纠缠谱 范桁 中科院物理研究所

2. 合作者： • Prof.Cao Jun-Peng, Prof.V. Vedral, Liu Zhao, Cui Jian, Guo Hong-Li…. 最近的结果:

3. 纠缠谱工作的简单回顾 H. Li and F. D. M. Haldane, Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy: Identification of topological order in non-Abelian fractional quantum Hall effect states, PRL 101, 010504 (2008). 在这篇文章中，纠缠谱以及纠缠能隙的概念被首次提出，并被用来分析球几何上量子霍尔态的拓扑序。后续的工作发现，改变相互作用使得系统的基态偏离量子霍尔态、拓扑序丧失时，纠缠谱中的纠缠能隙也消失。 L. Fidkowski, Entanglement Spectrum of Topological Insulators and Superconductors, PRL 104, 130502 (2010). 在这篇文章中，作者以无相互作用自由费米子为例，指出纠缠谱的简并是由系统无能隙的边界激发造成的。 A. M. Lauchli, E. J. Bergholtz, J. Suorsa and M. Haque, Disentangling Entanglement Spectra of Fractional Quantum Hall States on Torus Geometries, PRL 104, 156404 (2010). 作者研究了在torus几何上的填充因子为1/3的Laughlin态纠缠谱，并指出，谱的塔状结构是由于两个手征边界模的结合而造成的。 R. Thomale, A. Sterdyniak, N. Regnault and B. A. Bernevig, Entanglement Gap and a New Principle of Adiabatic Continuity, PRL 104, 180502 (2010). 作者研究了球几何上的量子霍尔态。通过对波函数取共形场极限，作者对纠缠能隙给出了完整的定义，并根据纠缠能隙来判断两个态是否拓扑连通。 使用纠缠谱来区分系统不同相，这里的系统不局限于量子霍尔系统，还可以是自旋格点，比如海森堡梯子等。

4. 量子信息和纠缠谱 • 量子纠缠 • 量子纠缠的度量，entanglement monotones， von Neumann entropy, Renyi entropy. • 量子纠缠态在LOCC下的变换, 量子纠缠谱，majorization relations。 • 量子纠缠谱在物理系统中的应用, Li and Haldane PRL中的工作。 • 量子纠缠谱在weakly interacting旋转BEC中的应用 • 量子纠缠谱，一个新的project。

5. 量子纠缠 • 一个量子比特： • 两个量子比特： • separable state: • entangled state: • Separable state 满足的关系： 由于关系式： 需判断：

6. 量子纠缠的度量: concurrence • 纯态的纠缠度量:直接的办法。 • 纯态的纠缠度量：高维推广： • 判断是否纠缠和纠缠大小的办法：C=0 (separable).

7. Concurrence hierarchy的必要性 • 纯态纠缠concurrence的推广： • Two states具有同样的concurrence, (p有非零解),但不能在LOCC下互相转换 • 另一稍不明显的例子

8. 纠缠态的Schmidt 形式 • 定义矩阵A, 使得 • 两体纯态写为： • 纯态的Schmidt形式：

9. Entanglement monotones：concurrence hierarchy • Concurrence 可定义为： • 我们可定义一族concurrences, concurrence hierarchy: 这是一族entanglement monotones

10. Concurrence hierarchy, useful? • 各阶concurrence的比较：

11. Concurrence hierarchy • Reduced density operator • k阶concurrence的另一种写法：alpha的权重为k

12. Entanglement measure, von Neumann entropy and Renyi entropy • Von Neumann entropy • Renyi entropy,一种entanglement monotones.

13. Pure state在LOCC下的变换，majorization关系

14. Majorization and entanglement monotones,minimal condition for LOCC transformation • 纠缠谱对应的entanglement monotone. • Majorization 是necessary and sufficient condition for entanglement LOCC transformation

15. 纠缠谱决定了在LOCC下的entanglement transformation • Majorization意味着double stochastic, 可以用LOCC实现

16. Renyi entropy也是一组entanglement monotones • 可以取1,2,…,d,…,同时根据Renyi entropy,我们可以得到entanglement spectrum. • Renyi entropy并不能决定LOCC下的变换，因为纠缠催化的存在！

17. 纠缠态转化中的催化现象

18. 纠缠态转化中的催化现象 • 一个例子:Jonathan&Plenio(PRL1999)

19. 纠缠催化和Renyi entropy • Renyi entropy是可加的 • Renyi entropy不能决定一个纯态是否可转化为另外一个态 • Renyi entropy是纠缠催化的necessary & sufficient condition！

20. 纠缠谱的定义 一个两体纯态 都可以表示为施密特分解的形式： 子系统A的约化密度矩阵可以表示为： 可以看做等效哈密顿量。我们把 它的谱 定义为纠缠谱。 A与B之间的纠缠熵可以直接由纠缠谱得出： 与S一个单独的数字相比，纠缠谱 应该包含更多的信息。

21. 纠缠谱，Schmidt decomposition • 最大纠缠态的性质： • 纠缠谱对应形式：

22. 纠缠谱：一维chain，一些推论 • 纠缠熵(entanglement entropy)，gapped and gapless

23. 纠缠熵：一个gapped例子 • Fan…PRL93,227203(2004).

24. 纠缠谱，一个gapped模型(AKLT), 一个gapless模型，XXX chain. • 纠缠谱exponentially approach: ¼, ¼, ¼, ¼. • XXX chain,全对称态。

25. 纠缠谱：一个简单的计算结果 • Transverse field Ising model • 周期边界条件 • 总粒子数 N=12和13，子系统A粒子数L=6，A是6个连续的格点 • 这个模型子系统A的守恒量只有S^z的乘积，没有其他更好的量子数，所以花纠缠谱的时候横轴不好取一个守恒量，也没有多少简并可以用守恒量来破除，所以下边的横轴选的就是这64个本征值出现的顺序。纵轴是纠缠谱

26. AKLT的具有边界的VBS态，for entropy, see Fan…,PRB(2007), 边界效应

27. 纠缠谱工作的简单回顾 • H. Li and F. D. M. Haldane, Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy: Identification of topological order in non-Abelian fractional quantum Hall effect states, PRL 101, 010504 (2008). 在这篇文章中，纠缠谱以及纠缠能隙的概念被首次提出，并被用来分析球几何上量子霍尔态的拓扑序。后续的工作发现，改变相互作用使得系统的基态偏离量子霍尔态、拓扑序丧失时，纠缠谱中的纠缠能隙也消失。 • L. Fidkowski, Entanglement Spectrum of Topological Insulators and Superconductors, PRL 104, 130502 (2010). 在这篇文章中，作者以无相互作用自由费米子为例，指出纠缠谱的简并是由系统无能隙的边界激发造成的。 • A. M. Lauchli, E. J. Bergholtz, J. Suorsa and M. Haque, Disentangling Entanglement Spectra of Fractional Quantum Hall States on Torus Geometries, PRL 104, 156404 (2010). 作者研究了在torus几何上的填充因子为1/3的Laughlin态纠缠谱，并指出，谱的塔状结构是由于两个手征边界模的结合而造成的。 • R. Thomale, A. Sterdyniak, N. Regnault and B. A. Bernevig, Entanglement Gap and a New Principle of Adiabatic Continuity, PRL 104, 180502 (2010). 作者研究了球几何上的量子霍尔态。通过对波函数取共形场极限，作者对纠缠能隙给出了完整的定义，并根据纠缠能隙来判断两个态是否拓扑连通。 • 使用纠缠谱来区分系统不同相，这里的系统不局限于量子霍尔系统，还可以是自旋格点，比如海森堡梯子等。

28. Kitaev model：Yao&Qi, (PRL2010)

29. Kitaev model,Yao&Qi(2010), Renyi entropy

31. XYchain纠缠谱的应用

32. ES of XY chain, see also, …Korepin…,arXiv:1002

33. Area law, topo entropy

34. Renyi entropy, abelian and non-abelian

35. 量子霍尔态的纠缠谱 目前研究的量子霍尔模型态主要有以下几种： 1. 费米子1/3填充因子Laughlin态： 2. 玻色子1/2填充因子Laughlin态： 3. 费米子5/2填充因子Pfaffian态： 4. 玻色子1填充因子Pfaffian态： 这些量子霍尔态作为拓扑序态，都具有丰富的边界物理。 我们期望这些边界物理能在纠缠谱中得到反映。 我们先来看球几何下量子霍尔态的纠缠谱。

36. 费米子5/2填充因子Pfaffian态 我们可以发现，整个谱是无能隙的；大角动量时纠缠谱的级数为1、1、3、5、…，与共形场论所预计的counting rule相符。【Pfaffian态的边界理论为U(1)+Majorana】

37. 费米子5/2填充因子库仑相互作用态 Pfaffian态作为一种模型态，一般来说只是系统真实基态的一种好的近似。当费米子之间为两体库仑相互作用时，严格对角化所求得的基态纠缠谱拥有比Pfaffian态更多的级数。然而我们可以 发现，此时纠缠谱分为两部分。低激发的部分与Pfaffian态纠缠谱的结构（左图中的插图）非常类似，都满足共形场counting rule，而高激发部分（粉红色区域）是非共形场部分。低激发与高激发部分之间有纠缠能隙（箭头标记）隔开。

38. 费米子1/3填充因子 Laughlin态作为一种模型态，一般来说只是系统真实基态的一种好的近似。当费米子之间为两体库仑相互作用时，严格对角化所求得的基态纠缠谱拥有比Laughlin态更多的级数。类似于5/2填充因子，此时纠缠谱仍然分为两部分。低激发的部分与Laughlin态纠缠谱的结构（左图中的插图）非常类似，都满足共形场counting rule（1、1、2、3）【Laughlin态的边界理论为U(1)】，而高激发部分是非共形场部分。低激发与高激发部分之间有纠缠能隙（箭头标记）隔开。

39. 玻色子1/2填充因子 (a)1/2填充因子库仑相互作用玻色子严格对角化后基态的纠缠谱。此时纠缠谱仍然分为两部分。低激发的部分满足Laughlin态的共形场counting rule（1、1、2、3），而高激发部分是非共形场部分。低激发与高激发部分之间有纠缠能隙隔开。(b)对基态取共形场极限后，可以发现纠缠能隙更加明显。

40. Torus几何下量子霍尔态的纠缠谱 • 球几何下划分系统只产生一个边界。Torus几何下划分系统则产生两个边界。 • 两个边界将产生怎样的纠缠谱？

41. Torus几何1/3Laughlin态的纠缠谱 两个边界的结合（右图）产生塔状的纠缠谱（左图）。【1，1，2，3的counting rule仍然满足。】

42. 量子霍尔态的纠缠谱（总结） • 各个模型态的纠缠谱结构均满足共形场的counting rule，反映了边界物理。 • 由系统真实相互作用（如库仑）严格对角化所得到的基态一般是模型态的近似。这种严格基态的纠缠谱分为两部分：低激发部分(gapless)是与共形场相关的部分，与模型态拥有非常类似的结构，反映了系统的边界物理；高激发部分(gapped)是由相互作用决定的非共形场部分。高低两部分之间有纠缠能隙隔开，该能隙在共形场极限下更加明显，可以作为量子态具有拓扑序的指纹。如果拓扑序丧失，该能隙也会关闭。 • 可以使用纠缠谱来比较两个态不同的边界结构，即使它们有很大的内积。

43. 其它物理系统的纠缠谱 • S=1自旋链 PRB 81, 064439 (2010) Haldane相的拓扑性质由 纠缠谱每个能级的二重简并 标志。

44. 其它物理系统的纠缠谱 • 自旋极化费米子 成对态：PRB 80, 180504(R) (2009) (a)弱成对相：此时纠缠谱的能级正比于角动量，标志着无能隙手征边界模的存在； (b)相变点；(c)强成对相：此时纠缠谱的能级与角动量无关。纠缠谱的变化反映了系统从弱成对的非阿贝尔拓扑序演变到强成对的阿贝尔拓扑序。

45. 我们的工作,arxiv:1007.0840 • 对于delta两体相互作用的二维旋转玻色子，其基态随着填充因子(即粒子数与涡旋数之比)的增大会经历一个量子相变，从涡旋流体态演变为涡旋晶格态。临界填充因子为 。 • 涡旋流体态当填充因子等于k/2(k=1,2,…,12)时，为不可压缩的玻色子量子霍尔态，其模型波函数在PRL 87, 120405 (2001)中被 给出。 • 涡旋晶格态为可压缩态。 • 当填充因子增大时，纠缠谱有何变化？

46. Torus几何上的旋转玻色子 考虑一个在x和y方向上周期分别为a和b的torus。我们把N个质量为m的玻色子放置其上，以角速度 旋转。周期性边界条件要求 ，其中 是涡旋数，是特征长度。 单粒子最低朗道能级第j个轨道的波函数可以表达为： 在最低朗道能级近似下，我们可以用 将系统哈密顿量进行二次量子化。

47. 哈密顿量 在最低朗道能级以及高速旋转近似下，系统的性质完全由相互作用决定。我们假定玻色子之间为两体相互作用： 经过标准的二次量子化步骤，可以得到： 其中 是周期为 的delta函数； 是相互作用 的傅立叶变换。

48. 数值方法 系统基矢可以采用最低朗道能级轨道Fock态 。 通过观察，我们可以发现由于相互作用表达式中 的存在，系统的总动量 为守衡量。 因此，严格对角化可以在 各个子空间进行，求得子空间内的基态，其中能量最低者即为系统的基态 。 考虑到系统是 分布在 个局域化的最低朗道能级轨道上，我们可以把系统从空间上划分为两部分A和B，它们各自包含 与 个连续的轨道。在基态波函数 中对B子系统的轨道取偏迹，即求得A子系统的约化密度矩阵 。 的本征值取负对数即是纠缠谱。纠缠谱的每一个能级都可以用 一个特定的 来标记，其中 为A子系统的总粒子数和总动量。 我们 选择一个确定的 子空间后，即可以 为横轴作纠缠谱图。

49. 哈密顿量能隙（Nv=6） 左图为delta相互作用的哈密顿量能隙，右图为库仑相互作用的哈密顿量能隙。能隙趋于0时，系统基态从不可压缩态转变为可压缩态。对于delta相互作用，这一转变发生在v=6之后。对于库仑相互作用，这一转变发生在v=8之后。

50. 纠缠谱（Nv=4） 填充因子从左到右依次为2、4、6、8、10、12。A子系统包含轨道1、2；B子系统包含轨道0、3。圆圈代表delta相互作用，红叉代表库仑相互作用。可以发现对于delta相互作用，纠缠谱的结构在填充因子6前后发生显著变化，由V形变为平坦，各个KA上的纠缠能级出现简并。