第 3 章正弦交流电路

第3章正弦交流电路 3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳 3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.7 正弦交流电路的功率 3.8 谐振 3.9 非正弦周期信号的电路

第3章. 正弦交流电路分析 3.1 正弦电压和电流( Sinusoidal Voltage and current) 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流。统属于正弦波。 1.瞬时值表达式及参考方向其瞬时值表达式为：（也可用Cosωt） u(t)=VmSin(ωt) (v) 式中 ω=2πf

2.正弦量三要素： (1)最大值（振幅）Um Im; (2)周期T （秒） ; 频率（HZ）角频率（rad/s） (3)相位和初相例： u(t)=100 Sin(ωt+30o) (v) ωt+30o=0时 ωt=-30o

3.相位差(即两个同频率正弦波的初相之差) 例： u1(t)=Vm1Sin(ωt+φ1) u2(t)=Vm2Sin(ωt+φ2) 相位差 θ=ωt+φ1-ωt-φ2=φ1-φ2 若：θ>0 u1超前u2 θ<0 u2超前u1 规定 0<θ<π 范围内

4.有效值: 以周期电压u为例，它的有效值（用V表示）定义为 T—周期当u(t)=VmSinωt时应用Cos2а=2Cos2а-1得：当一个周期电流i（t）通过电阻R时，在一个周期内产生的热量为：

若一个量值为I的直流电流也通过同一个电阻R，它在的时间T内若一个量值为I的直流电流也通过同一个电阻R，它在的时间T内所产生的热量为： Q1=Q2 即：注：只有正弦量时，才有倍的关系

3.2正弦量的相量表示法 3.2.1相量法的基本概念相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的。故我们先对复数进行讨论。 1.表示法: 1)直角坐标形式复数A可表示为 A=a1+ja2; 其中：虚数的单位 a1称为复数的实部（Real part） a2 称为复数的虚部（Imaginary part）

2)图示法： 由此得到复数的三角函数形式: A=aCosθ+jaSinθ=a(Cosθ+jSinθ) 例：A=5·Cos36.9o+j5Sin36.9o=4+j3

3) 极坐标表示法 即用模和幅角来表示复数 2.直角←→极坐标（互换）已知：a,θ→a1,a2 ; a1=aCosθ a2=aSinθ 已知：a1,a2→a,θ ; 例：1) A=4+j3

3.2.2 复数的基本运算 ；若： a=b а=β则： A=B

2.乘除运算 A·B=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1-a2b2)+j(a2b1+a1b2) 显见相加减时，用直角坐标法；乘法、除法时，用极坐标法。

3.2.3 相量概念 看一下两正弦量相加。 i1(t)=Im1Sin(ωt+φ1) i2(t)=Im2Sin(ωt+φ2) i(t)=i1(t)+i2(t) 利用三角公式和差化积 ej（ωt+φ)=Cos(ωt+φ)+jSin(ωt+φ) ∵ i1(t)=Im1Sin(ωt+ф)=Im[Im1ej(ωt+φ)]

上式表明，通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间与一个上式表明，通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间与一个复数函数的复指数函数一一对应起来。有效值：而：例：已知

把一个三角运算转换了变成复数运算。 3.2.4 几个定理 1、若A(t)和B(t)为实变量t的任意复值函数，а为实数那么，对所有的这种函数A(t)和B(t)则有：

Re[aA(t)]=аRe[A(t)]; Im[аA(t)]=аIm[A(t)] 总结：Im[а1A(t)+а2B(t)]=а1Im[A(t)+а2Im[B(t)] 定理2: 若A为—复数，则有：即：取虚部运算和微分运算可以交换。定理3：设A、B为复数。ω为角频率，则对所有的t 若等式：Im[Aejωt]=Im[Bejωt] 则：A=B; 反之，若A=B 则：Im[Aejωt]=Im[Bejωt]对所有的t。

3.2.5 KCL、KVL的相量形式 设：由定理1可知：故有：

同理于KVL： 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.3.1 电阻元件

式中： ; u=i·R 则有：UmSin(ωt+φu)=Im·Rsin(ωt+φi) 由等式可知，振幅：Um=R·Im； φu=φi（相位）相量位关系：

3.3.2 电容元件 相量关系：

这就是电容元件的相量关系： I=ωCU 有效值：（模）相位差：说明：电容上电流和电压的相位差为90o，且电流超前90o。

例：若C=4μF；u(t)=500Sin(1000t+40o) (v) i(t)=? 由： ∴ i(t)=2Sin(1000t+130o) (A) 由可知； f↑ Xc↓ f↓ Xc↑ f=0 Xc→∞ 相当于直流电通过。

3.3.3 电感元件

例1：已知：R=4Ω，L=1H，i(t)=2Sin(3t-30o)(A) 求：us(t) ∴ us(t)=10Sin(3t+6.9o) (V)

例2： 解： R： C： L：由KVL：

3.4复阻抗 上节我们讨论了三种基本元件VAR的相量形式及基尔霍夫定律的相量形式：（在一致参考方向下）； R：； U=RI，φu=φi L：； U=XcI，φu=φi+90o C：； U=IXc，φi=φu+90o RLC串联电路的阻抗

X=XL-XC称为电路的电抗部分。显见Z=R+jx是个复数。X=XL-XC称为电路的电抗部分。显见Z=R+jx是个复数。

即： R：ZR=R ; L: C: 对于RLC串联： Z=ZR+ZL+ZC=R+jxL-jxc=R+jX

（1）0<θz<90o即：XL>Xc时（UL>Uc）

（3）0>θz≥-90o XL-Xc<0 由以上分析可知，θz的变化也就是阻抗Z的变换。反映了电路本身的特性。

当X>0时，电路的最简形式为RL串联。 当X<0时，电路的最简形式为RC串联。

3.5导纳 把阻抗的倒数称为导纳，记为Y（S） G—电导分量 B—电纳分量感纳 R: ; ; L: C: ; 容纳与阻抗有对偶性：串←→并；I→U，U→I；C→L，L→C；R→G 掌握这种规律后，分析方法与阻抗一样。

3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.6.1相量模型 C→Zc （1/jωc） ; L→ZL（jωL） ; R→ZR （R）参考方向不变。

3.6.2 分析方法及步骤 (与第二章完全一致) • 1、作出相量模型。 • 2、由相量模型进行计算。 • 3、根据求得的相量模型写出相应的正弦量。 • 4、画出对应的相量图。

1) 无源网络的等效电路

这里注意： ; 显见: ∵ A=a+jb (一个复数) 除非b=0; 否则：（这一点要注意）例 1）求f1=796HZ，f2=1.5f1，f3=2f1，时的等效电路。解：∵ω=2лf ∴ ω1=6.28×796=5000rad/s

2)、f2=1.5f1时 ω2=7500rad/s 3)、f3=2f1时 ω3=104rad/s

例2、用网孔分析法求解i1(t),i2(t) 解：先作出相量模型 ω=2 jωL=j2Ω ; ; 根据相量模型列出网孔方程：

解得： ; 故有： ; 例3 用节点法求各支路稳态电流，并作出相量图解：利用导纳相量模型ω=1 ；列出节点方程：

例4 求代维南等效电路 解：先画出相量模型 1）求用节点法

故由行列式： 2）求Zab用短路电流法：

故：等效电路：

例5：已知： ，且u2在相位上超前u160o 求R及u2(t) 解：先作出相量模型。设为参考相量。即依次画出。与同相，由相量图可知：（模之间的关系）

u2超前u160o 再求R，在直角Δ中：

例6、已知I=1A XC=16Ω无论K打开或闭合，电压U始终为10V 电流；求R，XL K闭合时：其有效值分别为：

K闭合时： 故有：R2+XL2=R2+（XL-XC）2 ; XL2=XL2-2XCXL+XC2 2XLXC=XC2 由：故R=6（Ω）方法2、用相量图分析（∵U不变，故有相量图）

3.7 正弦交流电路的功率 正弦稳态时的功率和能量都是随时间变化的，但通常我们感兴趣的并不是他们的瞬时值，而是它们的平均值——电路中消耗功率的平均值，以及贮存能量的平均值。瞬时功率P（t）在时间 to~t1内能量：

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