Дополнительные признаки равенства треугольников

1. Дополнительные признаки равенства треугольников Серова Наталья Александровна, Мурзина Наталья Викторовна, учителя математики, информатики и ИКТ г.Омск МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 16»

2. Для доказательства используются признаки равенства прямоугольных треугольников. Теорема 1 Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. С С1 В1 А1 А В Дано: ABC и  A1B1C1, С =  С1, AB = A1B1, высота AH равна высоте A1H1. Доказать:АВС = А1В1С1 H1 H

4. Доказательство: Прямоугольные  ABH и  A1B1H1 равны по катету и гипотенузе. Значит,  B =  B1. Учитывая, что  С =  С1, имеем равенство  A =  A1. Таким образом, в  ABC и  A1B1C1 AB = A1B1,  A =  A1,  B =  B1. Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

5. Теорема 2 Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 8

6. Дано: ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, BC = B1C1, медиана СM равна медиане С1M1. Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В M1 M

7. Доказательство: Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M1D1 = C1M1.Четырехугольники ACBD и A1С1B1D1 — параллелограммы. ACD = A1C1D1 по трем сторонам. Следовательно, ACD =  A1C1D1. Аналогично,  BCD =  B1C1D1 по трем сторонам. Следовательно,  BCD = B1C1D1. Значит,  С =  С1 и треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). чертеж

8. С С1 В1 А1 А В M1 M D1 назад D

9. Теорема 3 Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

10. Дано: ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, медианы AM = A1M1, BK = B1K1. Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В M1 K1 M K O1 O

11. Доказательство: Точки O и O1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,  ABO = A1B1O1 по трем сторонам. Следовательно,  BAO =  B1A1O1, значит,  ABM = A1B1M1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  ABC = A1B1C1. Аналогично доказывается, чтоBAC = B1A1C1. Таким образом, треугольники  ABC и  A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, АВС = А1В1С1 равны по второму признаку равенства треугольников.

12. Теорема 4 Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, заключенной между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

13. Дано: ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, BC = B1C1, биссектриса CD равна биссектрисе С1D1. Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В D1 D

14. Доказательство: Продолжим стороны AC и A1C1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C1E1 = B1C1 . Тогда , BCE = B1C1E1 по трем сторонам. Значит,  E =  E1 и BE = B1E1. ABE = A1B1E1 по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A1B1. Таким образом,  ABC = A1B1C1 по трем сторонам (3 признак равенства треугольников). чертеж

15. С С1 В1 А1 А В E1 E D1 D назад

16. Теорема 5 Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

17. Дано: ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, AC = A1C1, медианы CM и C1M1 равны, высоты CH и C1H1 равны . Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В H1 M H M1

18. Доказательство: Прямоугольные ACH =A1C1H1 по гипотенузе и катету. Следовательно,  A =  A1 и AH = A1H1. Прямоугольные треугольники  CMH = C1M1H1по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M1H1, откуда AM = A1M1, значит, AB = A1B1. Таким образом,  ABC= A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними(по первому признаку равенства треугольников).

19. Теорема 6 Два треугольника равны, если медиана и два угла на которые делит угол медиана, одного треугольника соответственно равны медиане и двум углам, на которые делит медиана угол другого треугольника.

20. Дано: ABC и  A1B1C1, BM=B1M1, ABM=A1B1M1, CBM=C1B1M1. Доказать:АВС = А1В1С1 B1 B A1 M1 C C1 A M

21. B1 B A C A1 M C1 M1 D1 D Доказательство: В данных треугольниках удвоим медианы BM=MD и B1M1=M1D1. 1.ΔAMD= ΔCMB, ΔA1M1D1= ΔC1M1B1 ( по 1 признаку) Из равенства этих треугольников следуют равенства: AD=BC, A1D1=B1C1и ADM= CBM, A1D1M1= C1B1M1 2. ΔABD= ΔA1B1D1 ( по 2 признаку) Из равенства этих треугольников следуют равенства: AB=A1B1, а значит, BC=AD=B1C1=A1D1 3. ΔABC= ΔA1B1C1 ( по первому признаку равенства треугольников)

22. Теорема 7 Два треугольника равны, если сторона, и две высоты, опущенные на две другие стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам, опущенным на две другие стороны другого треугольника.

23. Дано: ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, высота AM равна высоте A1M1, высота BK равна высоте B1K1. Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В M1 K1 M K

24. Доказательство: Из равенства прямоугольных треугольников  AMB = A1M1B1,  BKA =B1K1A1 (по катету и гипотенузе) следует равенство углов:  BAC =  B1A1C1,  ABC =  A1B1C1. Поэтому  ABC = A1B1C1 по стороне ( AB = A1B1) и двум прилежащим к ней углам(по второму признаку равенства треугольников).

25. Теорема 8 Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого.

26. Дано: ABC и  A1B1C1, медианы AK = A1K1, BL= B1L1, CM = C1M1. Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В L1 K1 K L O1 O M1 M

27. Доказательство: Пусть O и O1 — точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1 треугольников ABO и  A1B1O1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.Аналогично равны АО И А1О1, ВО и В1О1, так как они составляют две третьихсоответствующих медиан данных треугольников. По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 2,  ABO = A1B1O1, значит, AB = A1B1. Аналогично доказывается, что BC = B1C1 и AC = A1C1. Таким образом,  ABC и  A1B1C1 равны по трем сторонам ( по третьему признаку равенства треугольников) .

28. Теорема 9 Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

29. Дано: ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, высоты AH = A1H1, BG = B1G1, CF = C1F1. Доказать:АВС = А1В1С1 С С1 В1 А1 А В G1 G H H1 F1 F

30. Доказательство: Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a1, b1, c1, а соответствующие высоты ha, hb, hc и h1a, h1b, h1c. Имеют место равенства aha = bhb = chc и a1h1a = b1h1b = c1h1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны. А так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.