线段树

1. 线段树

2. 例题：Picture • 题目大意：墙上贴着一些海报、照片等矩形，所有的边都为垂直或水平。每个矩形可以被其它矩形部分或完全遮盖，所有矩形合并成区域的边界周长称为轮廓周长。要求编写程序计算轮廓周长。 • 数据量限制： • 0≤矩形数目<5000； • 坐标数值为整数，范围是[-10000，10000]。

3. 例题：Picture • 例：下图的三个矩形轮廓周长为30 ：

4. 例题：Picture • 轮廓的定义： • 1、轮廓由有限条线段组成，线段是矩形边或者矩形边的一部分。 • 2、组成矩形边的线段不应被任何矩形遮盖。下面分别是遮盖的两种情况。 AB被遮盖 CD被遮盖

5. 例题：Picture • 元线段： • 由于坐标都是整数，所以可以把平面看成是一个网格，连接相邻网格顶点的基本线段，称之为“元线段”。 • 矩形边一定在网格线上，所以矩形的边完全由元线段组成。

6. 例题：Picture • 超元线段： • 元线段的数目过多，因此引入超元线段。 • 根据每个矩形纵向边的横坐标纵向地对平面进行2*N次切割、根据矩形横向边的纵坐标横向地对矩形进行2*N次切割（N为矩形个数）。显然，经过切割后的平面被分成了(2*N+1)^2个区域，如下图所示： 其中像横向边AB、纵向边CD这样的线段就是“超元线段”。超元线段与元线段有着相似的性质，也是组成轮廓的基本单位。所不同的是，超元线段的数目较少，一般为4*N条左右，只和矩形数目有关。

7. 例题：Picture • 离散化： • 算法的研究对象是超元线段，但这并不等于逐一枚举，那样耗时过大，而整体考虑又使得问题无从下手。有一种考虑方法是折中的，即既不研究每一条超元线段，也不同时研究所有的超元线段，而是再进一步优化问题的离散化，即将超元线段分组研究。夹在两条纵向分割边的超元线段自然地分为一组，它们的共同点是长度相同，并且端点的横坐标相同。纵向线段也可以进行类似的离散化。

8. 例题：Picture • 这样的离散化处理后，使得问题规模降低，以此为基础，算法的框架可以基本确定为： • 对平面进行分割。 • 累加器ans  0。 • 研究每组超元线段，检测其中属于轮廓的部分的长度，并把这一长度累加入ans。 • 输出ans的值。

9. 例题：Picture • 映射结构的建立（对平面进行分割）： • 算法的基础是问题的离散化，要进行平面“分割”，一般需要记录分割点，通常采用映射来记录分割点。直观的做法是采用一维数组形式，下标表示分割点的编号，数组元素表示分割点的坐标。利用下标与数组元素的自然对应，实现映射。应该说，这样表示是比较自然的，实现也比较方便。数组的优点主要是存取方便，且可以在O(NlogN)时间内排序。

10. 例题：Picture • 确定每组超元线段中有多少条属于轮廓： • 累计扫描的方法：以一组水平方向的超元线段为例，把一组超元线段按照从上到下的顺序排序。如果第i条超元线段属于某个矩形的上边界，那么令数组元素a[i]=1；如果是下边界，那么令数组元素a[i]=-1。同时，设立累加器add，从上至下扫描超元线段，一条超元线段I属于轮廓的情况有两种： • A[I]≠0且扫描到该超元线段未累加时add = 0； • A[I]≠0且扫描到该超元线段累加之后add = 0。

11. 例题：Picture • 使用线段树： • 线段树是描述单个或若干区间并的树形结构，属于平衡树的一种。使用线段树要求知道所描述的区间端点可能取到的值。换句话说，设A[1..N]是从小到大排列的区间端点集合，对于任意一个待描述的闭区间P=[x,y]，存在1≤i≤j≤N使得x=a[i]且y=a[j]，这里i, j称为x,y的编号。可以看到，即使是实数坐标，在线段树中也只有整数含义。以下所说的区间[x, y]如无特殊说明，x、y均是整数，即原始区间顶点坐标的编号。

12. 例题：Picture • 线段树是一棵二叉树，将数轴划分成一系列的初等区间[i, i+1] 。每个初等区间对应于线段树的一个叶结点。

13. 例题：Picture • 线段[3, 6]在线段树中的表示：

14. 例题：Picture 线段树节点的数据域： • Count：区间被完全覆盖的次数； • 测度M：区间被线段覆盖的长度； • 连续段数：区间可以被分为多少个连续的区间。

15. 例题：Picture 节点[i, j]的测度： • 如果count[i][j] > 0：M = a[i] – a[j]; • 如果count[i][j] = 0： • 如果是叶节点：M = 0 • 如果不是叶节点：M值为左右子树的M值之和。

16. 例题：Picture 节点[i, j]的连续段数： • 需要另外两个Bool变量lbd和rbd，分别表示节点所表示区间的左右端点是否被覆盖。 • 该节点count>0，那么lbd = true • 该节点count=0 • 该节点是叶节点，那么lbd = fauth • 该节点不是叶节点，那么lbd = 左子节点的lbd

17. 例题：Picture 节点[i, j]的连续段数l： • 如果该节点Count > 0，那么l = 1； • 如果该节点Count = 0: • 如果左子树的rbd and 右子树的lbd为真：那么该节点的l=左子树的l+右子树的l-1 • 否则，该节点的l=左子树的l+右子树的l

18. 例题：Picture • 如图所示：超元线段CD与EF被矩形AGHB遮盖，不属于轮廓；而与之相邻DD’与FF’则“摆脱”了矩形的遮盖，属于轮廓的一部分。可以这样分析：从左往右，CD、EF首先被遮盖，但随着BF的出现，对DD’、FF’的遮盖自然消失。这一点，正是相邻超元线段组的内在联系。用线性结构无法表示出这一联系，因为各组的累计扫描过程是独立的。现在我们用树形结构来表示将较好地解决这一问题，因为线段树支持插入与删除及动态维护，可以有机联系各组超元线段的状态。

19. 例题：Picture • 我们把“从左往右”当作一个扫描的过程，若将其严格地描述，可以得到一个称为线段扫描的过程： • 设立扫描线段L。 • L从左往右扫描，停留在每一超元线段组上。 • L的状态用线段树来表示，每一条纵向的矩形边看作一个待合并区间。线段树的连续段数*2表示该组超元线段属于轮廓的线段数目。 • 扫描过程中动态地维护L的状态。

20. 例题：Picture • 维护线段树的状态： • 线段树L初始化为空，即线段树刚建好时的情形。 • 扫描时，遇到矩形左边，将其插入（Insert）线段树。 • 扫描时，遇到矩形右边，将其从线段树中删除（Delete）。由于从左往右扫描，事先插入了该矩形的左边，所以删除合法。

21. 例一：苹果树 • 题目大意：有一棵包含n个节点的树，这些节点用1到n这n个整数编号，其中根节点的编号一定是1。在最初时刻，每个节点都有一个苹果；此后，会进行两种操作： • C(i)：如果第i个节点此时有苹果，那么把苹果拿走；如果这个节点此时没有苹果，则在这个节点放上一个苹果。 • Q(i)：问此时以第i个节点为根的子树上共有多少个苹果。要求对每一个Q(i)操作输出正确的结果。

22. 例一：苹果树 • 输入：输入数据的第一行包含一个整数n(n ≤100000)，表示树所包含的节点数；接下来有n-1行，每行包含两个整数v和u，表示节点v和节点u之间有一条边。然后是一个整数m(m≤100000)，表示操作的个数。接下来有m行，每一行描述一个操作。 • 输出：输出每一个Q(i)操作的正确的结果。

23. 例一：线段树 • 样例输入： 样例输出： • 3 3 • 1 2 2 • 1 3 • 3 • Q 1 • C 2 • Q 1

24. 例一：线段树 • 样例输入所对应的树为： • 1(1) • 2(1) 3(1) • 样例输入的每一步操作对树的影响： • Q1:(输出：3) C2(无输出) Q1(输出：2) • 1(1) 1(1) 1(1) • 2(1) 3(1) 2(0) 3(1) 2(0) 3(1)

25. 例一：苹果树 • 分析：最容易想到的方法是模拟。首先按照题目描述建树，每一个节点保存以这个节点为根的子树中的苹果数目，此时这个节点是否有苹果，以及该节点的父节点。这样，对于每一个Q(i)操作，可以在O(1)的时间内直接得到结果；而对于C(i)操作，由于要修改节点i以及它的所有祖先，所以这个操作的复杂度与节点i的深度有关。在最坏情况下，每一次修改的复杂度可能都是O(n)的，因此模拟算法的复杂度大约为O(mn)，是不可行的。

26. 例一：苹果树 C 2

27. 例一：苹果树 C 5

28. 例一：苹果树 • 分析：怎样通过略微提高Q(i)操作的复杂度来降低进行C(i)操作时的复杂度?

29. 例一：苹果树 • 深度优先搜索（DFS）的括号定理： • 在对一个（有向或无向）图G=(V, E)的任何深度优先搜索中，对于图中的任意两个定点u和v，下述三个条件只有一个成立： • 区间[d[u], f[u]]和区间[d[v], f[v]]是完全不相交的，且在深度优先森林中，u或v都不是对方的后裔。 • 区间[d[u], f[u]]完全包含于区间[d[v], f[v]]中，且在深度优先树中，u是v的后裔。 • 区间[d[v], f[v]]完全包含与区间[d[u], f[u]]中，且在深度优先树中，v是u的后裔。

30. 例一：苹果树 • 根据括号定理，可以发现，如果把树中的节点按照深度优先搜索发现的顺序排列，那么任意一棵子树上的所有节点在这个序列中必然是连续的。

31. 例一：苹果树 1 按照DFS的发现顺序对节点排序： 1 2 4 7 8 3 5 6 9 10 2 3 6 5 4 8 10 7 9

32. 例一：苹果树 1 按照DFS的发现顺序对节点排序： 1 2 4 7 8 3 5 6 9 10 2 3 6 5 4 8 10 7 9

33. 例一：苹果树 1 按照DFS的发现顺序对节点排序： 1 2 4 7 8 3 5 6 9 10 2 3 6 5 4 8 10 7 9

34. 例一：苹果树 • 分析：如果记录下每棵子树所对应的区间，然后用线段树维护区间内苹果数的总和。就可以在O(lgn)的时间复杂度内完成Q(i)和C(i)操作。 • 线段树的使用：线段树的每个节点对应了按DFS顺序排序后的一段区间，每个节点设一个变量表示该区间数字之和。

35. 例一：苹果树 • 由DFS访问序列1 2 4 7 8 3 5 6 9 10建立的线段树： R:[1, 10] S:10 R:[1, 5] S:5 R:[6, 10] S:5 R:[1, 3] S:3 R:[4, 5] S:2 R:[6, 8] S:3 R:[9, 10] S:2 R:[1, 2] S:2 R:[3, 3] S:1 R:[4, 4] S:1 R:[5, 5] S:1 R:[6, 7] S:2 R:[8, 8] S:1 R:[9, 9] S:1 R:[9, 10] S:1 R:[1, 1] S:1 R:[2, 2] S:1 R:[6, 6] S:1 R:[7, 7] S:1

36. 例一：苹果树 • 由DFS访问序列1 2 4 7 8 3 5 6 9 10建立的线段树： R:[1, 10] S:9 R:[1, 5] S:4 R:[6, 10] S:5 R:[1, 3] S:3 R:[4, 5] S:1 R:[6, 8] S:3 R:[9, 10] S:2 R:[1, 2] S:2 R:[3, 3] S:1 R:[4, 4] S:0 R:[5, 5] S:1 R:[6, 7] S:2 R:[8, 8] S:1 R:[9, 9] S:1 R:[9, 10] S:1 R:[1, 1] S:1 R:[2, 2] S:1 R:[6, 6] S:1 R:[7, 7] S:1

37. 例一：苹果树 • 线段树中Sum值的维护：线段树的叶节点表示的是苹果树中一个节点出的苹果个数，这个值是可以直接得到的；而线段树的内部节点的Sum值等于它的两个子节点Sum值之和。

38. 例二：Harmony Forever • 题目大意：给定一个集合S（初始为空），以及两种操作： • B(x)：如果正整数x目前不在集合S中，把x加入集合S。 • A(y)：输出目前集合S中除以正整数y所得余数最小的元素是第几个被加入集合的。如果有多个这样的元素，输出最后被加入集合的那个。如果没有，输出-1。 • 每组输入数据的时间限制为5秒。

39. 例二：Harmony Forever • 输入：第一行包含一个正整数t(t≤40000)，表示要进行操作的数目。接下来有t行，来描述依次出现的每一个操作，这些操作的格式为"B X"或"A Y"，其中X, Y是正整数并且满足：1≤X, Y≤500000 • 输出：对于每一个"A Y"命令，输出一个整数，是集合中模y结果最小的元素是第几个被加入集合的。如果有多个满足条件的元素，输出最后加入集合的那个，如果没有这样的元素，输出-1。

40. 例二：Harmony Forever • 样例输入： 样例输出： • 5 1 • B 1 2 • A 5 1 • B 10 • A 5 • A 40

41. 例二：Harmony Forever 初始状态： B 1： B 10： A 5: 此时集合中10≡0(mod 5)最小，而 10是集合中的第二个元素，所以输 出2。

42. 例二：Harmony Forever • 最简单的方法仍然是模拟的方法：用一个栈来表示集合。遇到添加元素的操作时，就把要添加的元素插入栈中；遇到查询操作时，扫描整个栈来找到需要的结果。采用这种方法，每次插入操作的时间复杂度为O(1)，而查询操作的复杂度是O(n)，要对栈中的每个元素取模，这里的n是进行这步查询操作时栈中元素的个数。

43. 例二：Harmony Forever • 例：在集合{5, 2, 13, 6, 15, 19}中找模8最小的元素。 • 先把集合中的元素划分为三类： • 第一类中的元素满足0≤x < 8：{2, 6, 5}; • 第二类中的元素满足8≤x < 16：{13, 15}； • 第三类中的元素满足16≤x < 24：{19}。 • 然后找出每一类中的最小元素：2，13，19 • 最后在这些最小元素中寻找模8所得结果最小的，就是最终结果：2≡2(mod 8)，13≡5(mod 8)，19≡3(mod 8)。所以集合中模8最小的元素是2。

44. 例二：Harmony Forever • 可以使用线段树查找指定区间内并且已经在集合中的最小元素： • 令线段树的每个节点表示一个整数区间，另外用一个变量表示这个区间中已经被插入集合的最小元素。

45. 例二：Harmony Forever • 由1-10这十个整数构成的线段树，并且假设集合为：{1, 3, 7} R:[1, 10] Min:1 R:[1, 5] Min:1 R:[6, 10] Min:7 R:[1, 3] Min:1 R:[4, 5] Min:∞ R:[6, 8] Min:7 R:[9, 10] Min: ∞ R:[1, 2] Min:1 R:[3, 3] Min: 3 R:[4, 4] Min: ∞ R:[5, 5] Min: ∞ R:[6, 7] Min:7 R:[8, 8] Min: ∞ R:[9, 9] Min: ∞ R:[9, 10] Min: ∞ R:[1, 1] Min:1 R:[2, 2] Min:2 R:[6, 6] Min: ∞ R:[7, 7] Min:7

46. 例二：Harmony Forever • 线段树中Min值的维护：叶子节点的Min值可以由这个整数是否在集合中直接确定，如果在那么Min值就是这个叶子节点表示的那个整数，如果不在，Min值就是正无穷；而内部节点的B值可以由两个叶子节点的B值比较大小运算得到。 • 在查找指定区间的最小值时，只有左子树上Min值是正无穷或者与指定区间没有交集时，才需要进入右子树。

47. 例二：Harmony Forever • 假设集合为{1, 2, 7}，并且给定的区间为[2,9]，在下面这棵线段树中查找最小值时所经过的节点为： R:[1, 10] Min:1 R:[1, 5] Min:1 R:[6, 10] Min:7 R:[1, 3] Min:1 R:[4, 5] Min:∞ R:[6, 8] Min:7 R:[9, 10] Min: ∞ R:[1, 2] Min:1 R:[3, 3] Min: ∞ R:[4, 4] Min: ∞ R:[5, 5] Min: ∞ R:[6, 7] Min:7 R:[8, 8] Min: ∞ R:[9, 9] Min: ∞ R:[9, 10] Min: ∞ R:[1, 1] Min:1 R:[2, 2] Min:2 R:[6, 6] Min: ∞ R:[7, 7] Min:7

48. 例二：Harmony Forever • 由于给出了输入数据的范围[1, 500000]，所以需要建立一棵根节点表示区间为[1,500000]的线段树。每加入一个新元素的时间复杂度为O(lg500000)；而每一次查找操作与B Y中的Y有关，一次查找需要在线段树中搜索（500000/Y）次，每次搜索的复杂度是O(lg500000)，所以总的复杂度大约为：O(lg500000) * 500000/Y。容易发现Y越大，这种方法复杂度越低。当Y很小时，复杂度比较高。

49. 例二：Harmony Forever • 于是，将问题分两种情况解决：当Y比较小时，采用直接的模拟方法。当Y比较大时，由于取模操作的开销比较大，采用线段树的方法解决。

50. 例三：K-th Number • 题目大意：给定n个正整数组成的集合A[1…N]，要求设计一个在线算法，对于询问Q(i, j, k)返回A[i…j]的第k大元素。数组中的元素不超过100000个，元素大小不超过1000000000，询问次数不超过5000，每组输入数据的时间限制为2秒。