REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS

1. REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS INTEGRANTES: EDIMER CASTRO JORGE SOLORZANO LUIS THERAN link blog http://vcommunications.wordpress.com

2. CONTENIDO • LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES. • TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH. • DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA. • FUNCIÓN DELTA DE DIRAC. • TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS. • TRANSMISIÓN DE SEÑALES A TRAVÉS DE SISTEMAS LINEALES.

3. TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES

4. DEFINICION La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t). La transformada de Fourier nos permite extender las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas.

5. EJEMPLO Considerando el siguiente Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

6. Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

7. Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

8. Si el periodo del tren de pulsos aumenta...

9. ...el espectro se "densifica".

10. 1.5 p = 1, T =  1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 10 20 t En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

11. (T), el espectro se vuelve "continuo": 1.5 p = 1, T =  1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 10 20 t En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:

12. Lo anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie: al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

13. Identidad de Fourier o antitrans - formada de Fourier: Transformada de Fourier:

14. NOTACIÓN la expresión para obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F–1 ,es decir A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir

15. f(t) 1 t -p/2 0p/2 Ejemplo: Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente: Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:

16. Integrando: Usando la fórmula de Euler:

17. En forma gráfica, la transformada es:

18. INTEGRAL DE FOURIER El par de Transformadas de Fourier es:

19. Ejemplo: Encontrar la transformada de Fourier de la señal

21. Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

22. Funciones Pares e Impares En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

23. TRANSFORMADAS DE FOURIER DE FUNCIONES PARES, F(T) = F(-T):

24. Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

25. Propiedades de las transformadas de Fourier:

26. Propiedades de las transformadas de Fourier:

27. EJEMPLOS

28. La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.

29. Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo

30. Luego:

31. w t w t w t Efecto de la propiedad de escalado Pulso corto Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro. Pulso medio Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica. Pulso largo

32. Si determine la transformada de Fourier de SOLUCIÓN: Se aplica la propiedad de desplazamiento en el tiempo

34. Encontrar la transformada de la señal SOLUCIÓN: La propiedad de desplazamiento en frecuencia dice:

35. TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH la potencia total de una señal periódica se puede asociar con la suma de las potencias contenidas en cada componente de frecuencia (teorema de Parseval). la misma clase de resultado es de esperar en el caso de señales no periódicas representadas por sus transformadas de Fourier. con esta definición el integrando se expresa como una intensidad de energía variante en el tiempo.

36. este es el “teorema de rayleigh”; también conocido como “teorema de plancherel”. establece que la energía contenida en una señal x(t) es igual al área bajo el cuadrado del módulo de la transformada de x(t), es decir, |x(f)|2. la cantidad |x(f)|2 se denomina “espectro de energía” o “densidad espectral de energía” de la señal x(t), y |x(f)|2 df es la energía contenida en un ancho de banda infinitesimal df. para poder aplicar este teorema solo necesitamos conocer el espectro de amplitud |x(f)| de la señal. el espectro de energía, más que el espectro de potencia, es la caracterización más apropiada para señales que poseen una transformada de Fourier. en el sentido físico, el teorema de rayleigh indica que “la energía de una señal no depende del modo de representación de la señal”. la energía es un invariante y es la misma así se tenga una representación temporal o una representación espectral de la señal.

37. DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

38. DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA si la descripción en el tiempo de una señal es cambiada su descripción en la frecuencia es alterada en forma inversa.

39. DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA • Si una señal es estrictamente limitada en frecuencia, su definición en el tiempo se puede expandir indefinidamente. Una señal es estrictamente limitada en frecuencia o de banda limitada si su transformada de fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. En el caso contrario (señal estrictamente limitada en tiempo) sucede lo mismo.

40. El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales respecto a su frecuencia. • Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencial muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Una representación frecuencial incluye también la información sobre el desplazamiento de fase que debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la señal original. • El dominio de la frecuencia está relacionado con las series de Fourier, las cuales permiten descomponer una señal periódica en un número finito o infinito de frecuencias, en caso de señales no periódicas, está directamente relacionado con la Transformada de Fourier.

41. IMPULSO (DELTA) • La función Delta tiene las siguientes características: y • Sin embargo, es imposible para cualquier función convencional tener estas propiedades, pero es posible aproximarla considerando el límite de una función convencional cuando el parámetro se aproxima a cero.

42. FUNCIÓN IMPULSO DELTA • Tiempo Continuo • TiempoDiscreto

43. EN TÉRMINOS GENERALES La teoría de la transformada de Fourier es aplicable solo a funciones en el tiempo que satisfacen las condiciones de Dirichlet. Tales funciones incluyen señales de energía. Podemos considerar la función delta como la forma limite de un pulso de área unitaria cuando la duración del pulso tiende a cero.

44. Ejemplo: desde punto de vista físico. • Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesario será menor. En el límite cuando t tiende a cero tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de gran fuerza. De esta forma definimos la Delta de Dirac como una "función" que vale cero en todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya área vale 1.

45. PROPIEDADES • Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

46. APLICACION Esta función se usa para el muestreo o discretizacion de señales análogas .

47. TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS

48. INTRODUCCION Es bien sabido que al utilizar la serie de Fourier, una señal periódica puede representarse como una suma de exponenciales complejas. Asimismo, en un sentido limitado, es posible definir las transformadas de Fourier mediante exponenciales complejas. Por lo tanto, parece razonable representar una señal periódica en términos de una transformada de Fourier, siempre y cuando se permita que esta transformación incluya funciones delta.

49. TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS Considere a continuación una señal periódica de periodo . Representando a en términos de la serie de Fourier exponencial compleja tenemos: Donde es el coeficiente de Fourier complejo definido por; Y es la frecuencia definida como el reciproco del periodo ; es decir,

50. Sea g(t) una función similar a un pulso, que es igual a sobre un periodo y cero en cualquier otro lado; es decir, La señal periódica puede expresarse ahora en términos de la función g(t) como una sumatoria infinita, según indica Con base en esta representación, podemos ver g (t) como una función generatriz, que genera la señal periódica . La función g(t) es transformable de Fourier. Por tanto, es factible reescribir la fórmula para el coeficiente de Fourier complejo del siguiente modo: