指數與對數的積分

6.3 指數與對數的積分

6.3 指數與對數的積分 學習目標 • 利用指數律求不定積分。 • 利用對數律求不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-20

使用指數律 • 指數函數微分法則都有其對應的積分法則。第六章　積分與其應用 P.6-20

範例1　指數函數的積分 • 求下列不定積分。 a.  2ex dx b.  2e2x dx c.  (ex +x) dx 第六章　積分與其應用 P.6-20

範例1　指數函數的積分（解） 第六章　積分與其應用 P.6-20

範例1　指數函數的積分（解） • 最後，對這些積分結果微分即可驗算答案。例如，(a) 小題。第六章　積分與其應用 P.6-20

檢查站 1 • 求下列不定積分。 a.  3ex dx b.  5e5x dx c.  (ex－x) dx 第六章　積分與其應用 P.6-20

範例 2　指數函數的積分 • 求e3x+1 dx。第六章　積分與其應用 P.6-20

範例 2　指數函數的積分（解） • 令 u ＝ 3x ＋ 1，則 du/dx ＝ 3，再將積分函數同時乘除以 3。第六章　積分與其應用 P.6-21

檢查站 2 • 求 e2x+3 dx。第六章　積分與其應用 P.6-21

範例3　指數函數的積分 • 求。第六章　積分與其應用 P.6-21

範例3　指數函數的積分（解） • 令 u ＝－x2，則 du/dx ＝－2x，再將積分函數同乘除以－2。第六章　積分與其應用 P.6-21

代數技巧 • 範例 3 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(d)。第六章　積分與其應用 P.6-21

求。檢查站 3 第六章　積分與其應用 P.6-21

切記在積分時不可在積分函數中引入變數。譬如，計算 時，同乘除以 2x 之後再將 1/(2x) 提出積分符號外是錯的。亦即使用指數律第六章　積分與其應用 P.6-21

6.1 與 6.2 節中，當 n = －1 時，積分的乘冪律為利用積分的對數律，就可對  x－1dx 和u－1du 形式的函數積分。使用對數律第六章　積分與其應用 P.6-21~6-22

使用對數律 • 這些法則可以藉由微分來驗算。譬如，若要驗證d/dx[ln|x|] = 1/x，可用第六章　積分與其應用 P.6-22

學習提示 • 請注意，在應用對數律時須注意積分函數須加絕對值。當 u 或 x 不為負數的特例下，則可省略絕對值的符號。譬如在範例4(b) 中，不須將反導數寫成 ln | x2| ＋ C ，因為 x2不可能為負數。第六章　積分與其應用 P.6-22

範例4　對數函數的積分 • 求下列不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-22

範例4　對數函數的積分（解） 第六章　積分與其應用 P.6-22

檢查站 4 • 求下列不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-22

範例5　應用對數律 • 求。第六章　積分與其應用 P.6-22

範例5　應用對數律（解） • 令 u ＝ 2x － 1，則 du/dx ＝ 2，再將積分函數同時乘除以 2。第六章　積分與其應用 P.6-23

檢查站 5 • 求。第六章　積分與其應用 P.6-23

範例6　應用對數律 • 求。第六章　積分與其應用 P.6-23

範例6　應用對數律（解） • 令 u ＝ x2＋ 1，則 du/dx ＝ 2x，再由積分函數提出 3。第六章　積分與其應用 P.6-23

檢查站 6 • 求。第六章　積分與其應用 P.6-23

使用對數律 • 使用對數律積分的積分函數形式常常不易看出。譬如在有理函數中，若其分子次方大於或等於分母次方，則須利用長除法來改寫積分函數，請看下面的例子下個例子整理了幾個特殊狀況，此時最好先改寫積分函數，以利辨認反導數。第六章　積分與其應用 P.6-23

代數技巧 • 上面積分的計算過程可參考本章代數複習範例 2(c)。第六章　積分與其應用 P.6-23

範例7　積分前先改寫 • 求下列不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-23

範例7　積分前先改寫（解） a. 首先改寫積分函數成為三個有理式的和。第六章　積分與其應用 P.6-24

範例7　積分前先改寫（解） b. 先同乘除以 ex來改寫積分函數。第六章　積分與其應用 P.6-24

代數技巧 • 範例 7 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(a) 至2(b)。第六章　積分與其應用 P.6-23

檢查站 7 • 求下列不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-24

總結（6.3節） • 寫出基本指數律，參考範例 1。 • 寫出廣義指數律，參考範例 2 和 3。 • 寫出基本對數律，參考範例 4。 • 寫出廣義指對數律，參考範例 5 和 6。第六章　積分與其應用 P.6-24