Jak grać żeby wygrać?

1. Jak grać żeby wygrać? Kilka słów o grach kombinatorycznych Rafał Górak

2. Rodzaje gier kombinatorycznych

3. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim Wythoff Nim http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/withoff.shtml

4. Pozycje P i N Rodzaje pozycji w grach bezstronnych P – pozycja pożądana, czyli taka do której chcę się ruszyć (ale nie chcę wykonywać ruchu z pozycji P) N – pozycja niepożądana, czyli taka do której nie chcę się ruszyć (ale chcę wykonywać ruch z pozycji N)

5. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

6. Rodzaje pozycji w grach bezstronnych Pozycje P i N P – pozycja z której każdy ruch prowadzi do pozycji N lub z pozycji tej nie można wykonać ruchu N – z której istnieje ruch do pozycji P

7. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim Zaczyna Alicja Bartek nie może wykonać ruchu - przegrywa Bartek Alicja

8. Pozycje P i N Alicja i Bartek grają w odejmowanie. Zaczynają od 100, po czym na przemian odejmują liczbę naturalną nie większą od 5. Wygrywa gracz, który jako pierwszy otrzyma w wyniku 0. Zaczyna Alicja. Czy tym razem też może wygrać?

9. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim Alicja wykonuje ruch jako pierwsza Teraz Bartek Bartek nie może wykonać ruchu - przegrywa Teraz Alicja

10. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim Który z graczy wygra? Drugi – kopiując ruchy przeciwnika względem osi symetrii

11. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim Który z graczy wygra? Drugi – kopiując ruchy przeciwnika

12. Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim Teraz też wygrywa gracz drugi! Gracz drugi zawsze wykonuje ruch do pozycji P + P

13. Suma gier na przykładzie Wythoff Nim Suma gier +

14. Kto wygrywa sumę gier? Suma gier na przykładzie Wythoff Nim P+P=P (czyli gracz II) P + P

15. Kto wygrywa sumę gier? Suma gier na przykładzieWythoff Nim N+P=N (czyli gracz I) N + P

16. Kto wygrywa sumę gier? Suma gier na przykładzieWythoff Nim N+N=P(czyli gracz II) N + N

17. Kto wygrywa sumę gier? Suma gier na przykładzieWythoff Nim N+N=N(czyli gracz I) N + N

18. Suma gier na przykładzie Wythoff Nim N+N=?

19. Gra Nim Gra Nim N + N + N =N + + 8 6 7

20. Gra Nim Twierdzenie (Bouton 1901) (m,n,k) jest P pozycją w grze Nim m n k=0

21. Gra Nim Gra Nim + + 8 6 7 = ?

22. Dodawanie nim 8 4 2 1 8 =1 0 0 0 6 = 1 1 0 7 = 1 1 1 1 0 0 1 =1+ 8=9

23. Gra Nim Jaki jest ruch wygrywający (czyli do pozycji P)? (m,n,k) jest P pozycją w grze Nim m n k = 0 Wygrywa gracz I (pozycja N) + + 8 6 7 = 9 Gra Nim

24. Ruch wygrywający 8 4 2 1 = 0 0 0 1 6 = 1 1 0 7 = 1 1 1 1 8 =1 0 0 0 6 = 1 1 0 7 = 1 1 1 8 =1 0 0 0 6 = 1 1 0 7 = 1 1 1 + + 0 0 0 0 1 0 0 1 8 6 7 1 6 7

25. Gra w odejmowanie Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy + + 9 6 7

26. Gra w odejmowanie Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy g( ) g( ) g( ) + + = ? g(9) g(6) g(7)

27. Jak obliczamy wartość nim pozycji? Funkcja Sprague-Grundy’ego g( )= mex{ g( ), g( ), g( ) } g(9) = mex{ g(8), g(7), g(6) }

28. Funkcja Sprague-Grundy’ego g(x) = 0 x jest P pozycją

29. Twierdzenia Sprague-Grundy’ego Twierdzenie Sprague-Grundy’ego o sumie gier g(G+H) = g(G) g(H)

30. Gra w odejmowanie Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy g( ) g( ) g( ) ? g( )= + + g(9 + 6 + 7) = g(9) g(6) g(7)

31. Gra w odejmowanie Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy g( ) g( ) g( ) g(9) g(6) g(7) = 3+2+1=0

32. Ruch wygrywający 2 1 g(8)= 0=0 0 g(6)= 2=1 0 g(7)= 3=1 1 g(8)= 0=0 0 g(6)= 2=1 0 g(7)= 3=1 1 + + 0 1 8 6 7

33. Ruch wygrywający 2 1 g(8)= 0=0 0 g(6)= 2=1 0 ? =2=1 0 + + 0 0 8 6 7

34. Ruch wygrywający g( )=0 4 g( )=2 6 g( )=1 5

35. Sumy gier w GO

36. Rodzaje gier kombinatorycznych

37. Rodzaje gier kombinatorycznych

38. http://playgo.to/iwtg/en/ http://go.art.pl/