数学实验之十二 迭代（2）---分形
数学实验之十二 迭代（2）---分形. 数学与计算机科学系：曾传华. 实验内容 :. 什么是分形？ 图形迭代 函数迭代 IFS 迭代 分形的应用. 1、什么是分形.
数学实验之十二 迭代（2）---分形
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数学实验之十二迭代（2）---分形 数学与计算机科学系：曾传华
实验内容: • 什么是分形？ • 图形迭代 • 函数迭代 • IFS迭代 • 分形的应用
1、什么是分形 使用直线、多边形、平滑曲线及边界整齐的高阶平滑曲面的集合，可以描述物体和图形，如房屋、汽车、飞机等等。但是对于一些自然景物就显得力不从心了，如山脉、树林、草、云、浪等等。如果用一些小多边形来表现崎岖的海岸、山脉，不仅制作费时费力，而且由于规则性太强，显得十分不自然。因为这些自然景物若从欧几里德几何学的观点来看，它们是极端无规则的。为了解决这些无规则图形的生成问题，经过许多人的探索，产生了分数维造型的方法－即分形技术。
目前，从天文学到生物界，各个领域中都有科学家利用分形技术探索一些以前无法表达，无法研究的复杂情况。这些错综复杂的无限形状，正是可以从自然界的各个角落中发现。
Helge Von Koch 雪花曲线 用这种方法生成的雪花，理论上可以证明：它的周长趋于无穷，但它的面积却是无限的。这是和正统的数学观点不相符合的，传统的周长和面积的概念是无法描绘出这种雪花的特点的。
分形学的创始人 B. Mandelbrot研究了这种雪花模型，并把 它和自然界的海岸、山脉、云、树等其它自然景象联系起来，分析综合了它们的共性，从而创造了分形学－分数维(Fractal)的概念。
分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。
分形的维数 1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为 例如，对于Cantor集， 对于Van Koch 雪花曲线，
对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。 将一个正方形每边等分成N段，共有N^2个小正方形。 将一个立方体每边等分成N段，共有N^3个小立方体。 一般地，设一图形可分解为m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的维数D满足：c^D=m.
2、盒子维数：设 是有界集合，其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为
分形的应用领域 1、数学：动力系统 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流 3、化学：酶的构造， 4、生物：细胞的生长 5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等
2、图形迭代生成分形 • 给定初始图形F0，依照某一规则R，对图形反复作用 Fk+1=RFk，k=1,2,3,… 得到图形序列F1,F2,… 其极限图形是分形，作用规则R称为生成元。
5、花草树木(L系统） • 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合： 其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。
例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。
3、函数迭代产生的分形 用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。 任意给定初始复数值Z0，定义复数序列 Zn+1=f(Zn),n=0,1,2,… (1) 对于什么样的初始值Z0，复数序列{Zn} 收敛或有界？
考虑复变函数迭代 固定复参数 c，使得迭代序列 有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 迭代序列 有界} • Julia集
固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界} 记 则（2）变为 • Mandelbrot集
1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值 3、将区域 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（3）做迭代。如果对所有的 都有 ，则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始， ，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。 Julia 集的绘制方法：
当掷出的硬币呈正面 当掷出的硬币呈反面 当掷出的硬币呈侧面 ４、IFS迭代产生分形 • 混沌游戏 给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 Z0, 做下列迭代 按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。
IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换 以及 n 个概率 任给初值 ，以概率 选取变换 进行迭代 则点集 的聚点集合称为一个IFS吸引子。 • IFS迭代
１、设图形可视区域为 假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。 ２、将 V 分成 的网格，格点为 用 表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入 中点的个数。记 则象素 (i,j)的灰度为 • 用IFS绘制分形的方法
一些实例 Cantor 树
利用IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，确定一系列仿射变换 ，使得对任给的概率 ，由 确定的IFS的吸引子就是给定的图像。图像解压的古城即要解 IFS 迭代的逆问题。