Ciekawe liczby

1. Ciekawe liczby Joanna Czarnecka 18.12.2007 r.

2. Ciekawe liczby • Liczby doskonałe • Liczby zaprzyjaźnione • Liczby palindromiczne • Liczby lustrzane • Liczby automorficzne • Liczby względnie pierwsze • Liczby bliźniacze

3. Ciekawe liczby • Liczby Fibonacciego • Liczby pierwsze • Liczby Fermata • Liczby Mersenne'a • Liczby kwadratowe • Liczby trójkątne • Liczby olbrzymy

4. Liczby doskonałe • Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych.

5. Liczby doskonałe • Przykłady : 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby): D6 = { 1, 2, 3 } » 1 + 2 + 3 = 6 D28 = { 1, 2, 4, 7, 14 } »1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 D496 = { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 } » 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

6. Liczby doskonałe • Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na przelomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, ż liczb doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście, Euklides zauważył, że liczby postaci 2p - 1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to liczba 33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby naturalne. Szczęśliwym dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku. • Największą jest 213466916 * (213466917 - 1).

7. Liczby zaprzyjaźnione Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby).

8. Liczby zaprzyjaźnione • Przykłady: 220 i 284, D220={1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} >> 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284D284 ={1, 2, 4, 71, 142}>> 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

9. Liczby zaprzyjaźnione Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

10. Liczby zaprzyjaźnione Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości

11. Liczby palindromiczne Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem.

12. Liczby palindromiczne • Przykłady : 55, 494, 30703,22, 414, 5115...

13. Liczby lustrzane Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem

14. Liczby lustrzane • Przykłady: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71..

15. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np. 1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221 : 11 = 192 Ciekawostka

16. Liczby automorficzne Liczby automorficzne to liczby, których kwadrat kończy się tymi samymi cyframi co same liczby. Przykład: 762=5776

17. Liczby względnie pierwsze Liczbami względnie pierwszymi nazywamy liczby, których największym wspólnym dzielnikiem jest 1. Przykład: NWD(7,13)=1

18. Liczby bliźniacze Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19.

19. Liczby bliźniacze Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para 260497545 * 26625 + 1 i 260497545 * 26625 - 1

20. Liczby Fibonacciego Liczbami Fibonacciego nazywamy liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich tj. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...

21. Liczby Fibonacciego Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody.Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa), róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.

22. Liczby pierwsze Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i siebie samą), nazywamy liczbą pierwszą. Przykład: 2, 3, 5, 7, 11...

23. Liczby pierwsze Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów.

24. Liczby pierwsze Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana ma postać 213466917 – 1 Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr.

25. Liczby pierwsze Po co szuka się takich olbrzymek?

26. Liczby pierwsze • Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. • Są także bardzo użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości

27. Liczby pierwsze Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa liczba 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to palindromy, np. 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np. 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.

28. Liczby pierwsze W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.

29. Liczby Fermata Liczby postaci Fk = 22k+ 1, gdzie k jest liczba całkowitą nieujemną nazywamy liczbami Fermata.

30. Liczby Fermata Matematyk francuski Pierre de Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.

31. Liczby Mersenne’a Liczby postaci 2p - 1, gdzie p jest liczba pierwszą, nazywamy liczbami Mersenne’a.

32. Liczby Mersenne’a Liczby Mersenne'a zasługują na szczególną uwagę, gdyż wśród nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą Mersenne'a pierwszą jest liczba 2216091 – 1.

33. Liczby Mersenne’a Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a pierwszej powoduje odkrycie nowej parzystej liczby doskonałej.

34. Liczby kwadratowe Liczby kwadratowe wyraża wzór kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) , gdzie n jest liczbą naturalną

35. Liczby kwadratowe Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

36. Liczby kwadratowe Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych równa się kwadratowi ich liczby.

37. Liczby trójkątne Liczby trójkątne to liczby postaci tk = k*(k + 1) / 2 , gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk jest sumą k kolejnych liczb naturalnych. Przykłady liczb trójkątnych:t1 = 1t2 = 3t3 = 6

38. Liczby trójkątne Nazwa liczby trójkatne pochodzi stąd, że tk jest liczbą monet jednakowej wielkości, z których można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet.

39. Liczby olbrzymy • Jeden 1100 • Tysiąc1 000 103 • Milion1 000 000106 • Miliard 1 000 000 000109 • Bilion 1 000 000 000 000 1012 • Biliard 1 000 000 000 000 0001015 • Trylion 1 000 000 000 000 000 0001018 • Tryliard 1 000 000 000 000 000 000 0001021

40. Liczby olbrzymy • Kwadrylion1024 • Kwadryliard 1027 • kwintylion 1030 • Kwintyliard1033 • Sekstylion1036 • Sekstyliard1039 • Septylion1042 • Septyliard1045

41. Liczby olbrzymie • Septyliard1045 • Oktylion1048 • Oktyliard1051 • Nonilion1054 • Noniliard1057 • Decylion1060 • Centylion10100 • Centezylion10600

42. KONIEC