Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

1. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. -новая форма представления комплексного числа; -свойства модуля комплексного числа; Учитель математики МОУ СОШ №2 Чернышова Ирина Сергеевна

2. Определение 1: Модулем комплексного числа z=a+bi называют число . Обозначение y z b x a 0

3. y 2 x 0 y -3 z1 x 0 z2

4. Свойства модуля комплексного числа:

5. Связь между числовой окружностью на координатной плоскости и модулем комплексного числа. Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только тогда, когда соответствующая ему точка на координатной плоскости лежит на числовой окружности. Точки числовой окружности М(х;у) можно записать в виде комплексного числа (учитывая, что х=cosα, у=sinα) , то z=cosα+isinα.

6. Важно знать! • Если комплексное число z лежит на числовой окружности, то z=cosα+isinαдля некоторого действительного числа α и наоборот, если z=cosα+isinα, то z лежит на числовой окружности. у z sinα х 0 cosα 1 -1

7. Важно знать! 2. Если комплексное число z лежит на единичной окружности, то . Обратно, если , то z лежит на единичной окружности. у z 0 х

8. Определение 2. Тригонометрической формой комплексного числа z (не равного нулю), называют его запись виде z=ρ(cosα+isinα), где ρ-положительное действительное число. Всякое отличное от нуля комплексное число z может быть записано в виде z=lZl(cosα+isinα), где α-некоторое действительное число. Если z=ρ(cosα+isinα) – другая тригонометрическая запись числа z, то ρ=lZlи β­α=2πk, kЄΖ

9. Определение 3 Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют действительное число α, такое, что 1) αЄ(­π;π] 2) z=lZl(cosα+isinα). Обозначение: arg z α=arg z Геометрический смысл аргумента комплексного числа: это угол в пределах (­π;π] , образованный вектором z с положительным направлением оси абсцисс. z lΖl arg z

10. Важно знать! • Соединение вместе модуля и аргумента комплексного числа приводит к стандартной тригонометрической форме записи комплексного числа. • Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их модули и равны их аргументы!

11. Умножение и деление комплексных чисел: Если z1=ρ1(cosα+isinα), и z2=ρ2(cosα+isinα), то: 1) z1z2=ρ1ρ2(cos(αβ)+isin(α+β)) 2) а) при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются; б) при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.