第三章 量子力学导论

1. 第三章 量子力学导论

2. 《原子物理学》第三章　量子力学导论 §3.1 物质的波粒二象性 §3.2 不确定关系 §3.3 波函数及其统计解释 §3.4 薛定谔方程 *§3.5平均值与算符 *§3.6氢原子的薛定谔方程解 基　本　内　容　 (1)掌握量子化及波粒二象性的概念. (2)掌握量子力学的重要关系：海森堡不确定关系. (3)掌握量子力学的两个基本假设：波函数和薛定谔方程. (4)了解电子的晶体衍射,单缝衍射,双缝干涉. 　目　的　与　要　求　

3. 经典物理学的成功 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面： (1) 应用牛顿力学讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动。牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果。1897年汤姆逊发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由托马斯.杨的衍射实验有力揭示出来，麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。

4. 经典物理学的困难 　进入20世纪后，经典物理学受到冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。 主要是以下以个问题： 1）黑体辐射问题 ；2）光电效应 ；3）氢原子光谱 　新的实验现象的发现暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场物理学的危机中诞生。 1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念。1913年玻尔引入量子态概念建立玻尔模型并成功地解释了氢光谱。1925年泡利提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应等一系列实验事实。至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。

5. 　在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。　在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。 　量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。 狄拉克PAUL DIRAC (1902-1984) 玻恩 M.Born (1882-1970) 海森堡WERNER HEISENBERG (1901-1976) 薛定谔ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)

6. 量子论 原子内的微观世界：

7. 索尔维会议

8. 一张世界上智慧最集中的照片！ 第五次索尔维会议与会者合影（1927）

9. §3-1玻尔理论的局限性 玻尔量子理论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识。 玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。 如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？…… （薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）

10. 1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； 3. 不能解释氢光谱的精细结构； 4. 只能处理周期运动不能处理非束缚态问题，如散射问题； 5. 不能自洽。在理论上，能量量子化概念与经典力学不相容。带有人为的性质，其物理本质还不清楚。 玻尔理论的“缺陷”: 爱因斯坦与玻尔

11. §3-2实物粒子的波粒二象性1.经典物理中的波和粒子§3-2实物粒子的波粒二象性1.经典物理中的波和粒子 • 经典物理学中波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。 • 粒子可视为质点，具有定域性，位置可无限精确地被测定。有确定的质量、动量、速度和电荷等； • 波可以在空间无限扩展，波有确定的波长和频率。波的波长和频率也能被精确地测定(因为波不能被约束)。

12. 2.光的波粒二象性 1672年牛顿(英)提出光的微粒说。1678年惠更斯(荷兰)提出光的波动说。此后，两种学说长期论战。 • 19世纪初，菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人通过光的干涉、衍射实验证实光的波动性。　 • 19世纪末麦克斯韦和赫兹证明光是电磁波。 • 20世纪初，爱因斯坦于1905年用光的量子说解释了光电效应，提出光子的能量为 并于1917年指出光子有动量　　　 • 可见，光在传播时显示波性，在传递能量时显示粒子性。(两者不会同时出现) 波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等 光的波粒二象性

13. 3.德布罗意假设 “ 过去，对光过分强调波性而忽视它的粒性；现在对电子是否存在另一种倾向，即过分强调它的粒性而忽视它的波性。” （1924提出，1929年获诺贝尔奖） 所有物质粒子均具有波粒二象性，“任何物质伴随以波，而且不可能将物体的运动同波的传播分开”。 德布罗意 关 系 式 不论粒子静质量是否为0，德布罗意关系式均成立。 de Broglie，法(1892-1987)

14. 波动的传播方向是粒子的动量方向。 • 德布罗意关系式通过h把粒子性和波动性联系起来。 • 实际上，任何表达式中，只要有h出现，就意味其具有量子力学特征。 引入波矢 h的意义：量子化的量度，是不连续程度的最小量度单位 h在物质的波性和粒子性间起着桥梁作用；在量子化和波粒二象性这两个重要概念中都起关键作用

15. *4.戴维孙-革末实验（1925）(晶体对电子束的衍射，用于验证德布罗意波）*4.戴维孙-革末实验（1925）(晶体对电子束的衍射，用于验证德布罗意波） 实验原理: 电子枪K D 之间有加速电压U 电子束透过D打在Ni单晶M上 它在晶面被散射进入探测器B G检测电子束(电流)的强度 实验发现: 加速电压U=54V,散射角=50º时,探测器B中的电流有极值.

16. 晶体晶面为点阵结构,德布罗意波散射和X射线的衍射完全类似,它也满足布拉格公式晶体晶面为点阵结构,德布罗意波散射和X射线的衍射完全类似,它也满足布拉格公式 两反射的电子束,其相干加强条件 显然有：d sin = k 这正是X射线衍射的布拉格公式 理论解释 利用　　　和 得： 代入 d =0.215nm, U=54V 与实验结果相符 得： =51º

17. 1961年,C.约恩孙让电子束通过单缝、多缝的衍射图样（见右图）1961年,C.约恩孙让电子束通过单缝、多缝的衍射图样（见右图） 1927年，G.P汤姆逊作了电子束透过多晶薄片的衍射实验，同样验证了电子具有波动性。（实验装置见右图）

18. 电子束 戴维孙—革末电子散射实验观测到的电子衍射图样： （波长相同）。 X射线 杨氏双缝干涉图样 电子双缝干涉图样

19. 20世纪30年代后的实验发现一切实物粒子均有衍射现象，进一步证实了德布罗意假设的正确性20世纪30年代后的实验发现一切实物粒子均有衍射现象，进一步证实了德布罗意假设的正确性 质量为m，速率为v的实物粒子的德布罗意波长: 如v<<c, 则有 可知一般实物粒子的λ甚小 德布罗意波长所对应的粒子的动能： 由上表知，讨论质量较重的粒子的德布罗意波已没意义

20. 5.德布罗意波和量子态 • 在此之前，玻尔用定态条件、频率条件和相应原理得到角动量的量子化条件，并据此导出氢原子的第一玻尔半径、能量和动量的量子化结果。以下介绍德布罗意将原子中的定态和驻波联系起来，自然地得到角动量的量子化条件。 • 电子波动性的波长为　　　　 　将此关系用于氢原子中电子上。 　欲使电子稳定存在，与电子相 　应的波就必须是一个驻波，即 　电子绕核一圈后其位相不变。 要求圆周长是波长的整数倍 氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图

21. 驻波 条件 为克服玻尔理论人为的缺陷， 德布罗意把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。 将上式改写后即得角动量量子化条件： 只有驻波可被束缚起来，而驻波条件就是角动量量子化条件 例：将玻尔第一速度v=αc代入 • 得到 • 而 是折合电子康普顿波长的137倍，即第一玻尔半径a1 • 故 所得的结果满足驻波条件。

22. 6.一维刚性盒子中的驻波 设一个速度为v的粒子在宽为d的刚性盒子中作一维运动，由经典理论知，粒子的动能和运动周期分别为： 用量子观点分析：与粒子对应的德布罗意波被约束在盒内，此粒子要在盒内永存下去，其德布罗意波必为驻波， 　必为波节。其波长必满足　　　　　 　　即盒子的宽度至少为半波长 可见动量和能量均呈量子化。即使T=0，此粒子的最低能量仍存在。此特性只有在微观尺度中才体现出来。(但并不意味着宏观中不存在，这一观点已为大量事实所证明。) 以上内容可归纳为：禁闭的波必然导出量子化条件。

23. 7.波和非定域性 从德布罗意波的角度看，氢原子实际上是一个德布罗意波被关在库仑场中的情形。假设氢原子中的粒子(电子)在库仑场中是一简单的正弦波，而匣子近似为刚性边界( V→∞)，设匣子的线度是半波长，即粒子处于基态，在此假设下，可得粒子的动能为： 总能量为动能和势能之和，为： 由 代入上式即得氢原子基态能量为 所得结果与玻尔 所给的结果相同

24. §3-3 不确定关系(测不准关系) 1.不确定关系的表述和含义(1927年由海森堡提出) • 不确定关系反映了微观粒子运动的基 　本规律，有多种表示式，其中两个是： 含义： • 1式表示当粒子被限于在x方向的一个有限范围△x内时，它相应的动量分量必有一个不确定的范围△px。换言之，如x的位置完全确定( △x→0)，则粒子相应的动量就完全不确定(△px→∞)；反之亦然。 • 2式表明，若粒子在能量状态E只能停留△t时间，则这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散

25. 只有当粒子的停留时间为无限长时(稳态)，其能量状态才是完全确定的(△E＝0 )。 • 不确定关系揭示了一条重要的规律：粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量。因而“不能同时精确地测量它们”只是这一客观规律的一个必然结果。从这个意义上看，“测不准关系”这一名称有不妥之处。 • 认为不能同时测准粒子的位置坐标x及相应的动量的解释是不确切的，易误认为不确定关系是测量过程的一个限制。 • 不确定关系在宏观世界不能得到直接体现，但它并不为0。

26. 1)微观例子 从不确定关系看，设氢原子的电子在轨道上位置确定，电子在r1范围内运动，即　　　　　　 则相应的动量不确定度: 　可见动量的不确定程度甚大，以致无法确切说明在此范围内运动的电子动量为多大 2)宏观例子 一个10g的小球以10m/s的速度运动，小球的瞬间位置可精确确定，如　　　　　　(已是很高的精度)，则相应的动量不确定度： 可见动量的不确定度甚小，目前没有任何方法可觉察，完全可忽略不计。

27. 2.不确定关系的简单导出（方法一） • 从经典波动理论出发，利用　 • 它表明为得到一个位置确定的孤立波　　　　　　　　(即位置确定的“波包”，须用多个波去　　　　　　　　叠加。 • 即△x越小， △λ就越大。反之，要　　　　　　　　　精确测量其波长(△λ→0)，则须在无限扩展的空间观察(△λ→∞)，要精确测定频率（ △ν→0）则需无限长的时间(△t→∞)。 • 将以上经典关系式用于微观粒子 　并加入德布罗意关系式，可得到

28. 方法二：从经典波的单缝衍射导出 设缝宽为d，入射波波长为λ，λ与d相近时发生衍射，λ＜＜d时衍射现象消失 发生衍射时，确定中区位置的关系式： 决定中区旁各极小值的关系式： 假如考虑的是与电子相对应的德布罗意波，如电子具有确定的动量p，经过狭缝d后，即使只考虑中心区(75%的电子落在此区域)，也至少有psinθ的动量不确定性，即△px≥ psinθ 进而可得：

29. 3.应用举例1)束缚粒子的最小平均动能 设质量为m的粒子被束缚在线度为r的范围内，即假定△x=r 据 据统计规律,对于束缚在空间的粒子，其动量在任何方向的平均分量必定为0，即　　　，故有： 由此可得束缚粒子的最小平均动能关系式

30. 2)电子不能落入核内 • 当电子距核的距离越来越近时，将从原子的线度（0.1nm）过渡到原子核的线度（1fm）　　　　　　 • 光谱线系中，电子在两能级间跃迁可产生一条谱线，但电子从某能级往下跃迁，在此能级上必有一固有寿命（能级的寿命会受外界的影响，如原子间的碰撞会因损失激发能而缩短寿命），即△t不能无限长。按不确定关系，此能级必存在相应的宽度△E，这正是谱线的自然宽度，实验完全证明了谱线自然宽度的存在。 • 例如：假定原子中某激发态寿命为　　　 则: 可知电子所需的平均动能将越来越大，但电子无这样大的能量补充，故而电子不能继续靠近核，更不可能落入核内。 3)谱线的自然宽度 *不确定关系的应用很多，它反映的是微观世界的“精确性”。

31. 4.互补原理(or并协原理，1927年由玻尔提出) • 一些经典概念的应用不可避免地排除另一些经典概念的应用，而“另一些经典概念”在另一些条件下又是描述现象不可缺少的。必须将这些互斥又互补的概念汇集起来才能而且定能形成对现象的详尽描述。 • 海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二象性。玻尔的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性。 • 玻尔认为：粒子的波粒二象性不可能在同一测量中同时出现,两个概念在描述微观现象时是互斥的,不会在同一实验中直接冲突。二者在描述微观时都是不可缺少的，它们是互补并协的。

32. (玻尔的例子：在任一时刻我们只能看到银币的一面，而只有当银币的正、反两面都被看到后，才可能银币有完整的认识。)(玻尔的例子：在任一时刻我们只能看到银币的一面，而只有当银币的正、反两面都被看到后，才可能银币有完整的认识。) 只能依靠玻尔的“互补原理”

33. §3-4 波函数及其统计解释1.波粒二象性及几率概念 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 问题？ •  怎样描述粒子的状态？ •  如何体现波粒二象性？ •  描写的是什么样的波？ 描写粒子状态的波函数，通常是一个复函数

34. P P 感光屏 O 电子源 Q Q 错误看法1： “波由粒 子组成” O 认为波与如水波，声波一样是由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 此看法与实验矛盾，不能解释长时间单个电子衍射实验 　电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 　事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。 　波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

35. 错误看法2：“粒子由波组成” 电子是波包：把电子波看成是三维空间中连续分布的某种物质波包，因此呈现出干涉和衍射等波动现象。认为波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子线度（约1 Å ）。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波。也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

36. 经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定的 位置和速度。 P 感光屏 O 电子源 Q 经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 P Q 关于电子的衍射实验 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样。 2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样。

37. 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，玻恩（Born） 提出了波函数意义的统计解释。 在单缝衍射实验中，电子的位置和动量至少有一个是不确定的，无法精确地预知电子落在屏的何处。但在不确定性中又有完全的确定性， 如电子落入中区的几率是完全确定的，为75%。又如处于能级宽度为△E的微粒的寿命为△г，在△г时间内粒子何时衰变(或跃迁)完全不确定，但衰变几率是完全确定的。 波粒二象性必然导致统计解释，统计性将波和粒子这两个不同的经典概念联系起来。爱因斯坦于1917年引入统计性用于光辐射，而对于物质波，则是玻恩在1927年提出德布罗意波的几率解释。

38. 1925年薛定谔 用物质波波函数描述 微观粒子状态 2.波函数（or几率幅） ψ 微观粒子 具有波动性 • 用波函数能确切地描述粒子的运动状态，给波函数赋于一定的物理意义后，就能把粒子和粒子的波性这两种对立的属性统一起来。 • （经典波的振幅是可测的，而在一般情况下ψ 是不可测的，可测的只是　　） • 在量子物理学中，最基本的观点是几率性的。

39. 一个自由粒子的波 自由粒子不受力，p和与其相联系的λ也不变，是单色波。 平面单色波表示为： 式中ω、v、t分别表示角频、波速和时间，rn是原点到波面的垂直距离，θ是r和rn 的夹角 较为方便的复数形式为：

40. 一般用 代表波的前进方向，故上式可写成： 量子力学中 的一般形式 以上是用指数形式表示的沿任意方向传播的平面波函数 　为使平面波与粒子对应起来而找出自由粒子的波函数，利用德布罗意关系并注意到　的方向代表自由粒子波的方向，则得到自由粒子的波函数：

41. 3. 玻恩的统计解释： 几率解释,是量子力学基本原理之一，系基本假设 • 自由粒子的波函数表示波在时间和空间上是无限展延的，那么究竟代表什么呢？ • 曾有人设想粒子是由许多波组合起来的一个波包，其活动表现出粒子的性质，但被否定了。因为组成波包的不同频率的波在介质中速度不同，这样的“波包”在介质中会逐渐扩展而消灭。但实验中观察到的电子不会在介质中消灭。此外波可在介质界面发生反射和折射，但一粒电子是不可分的。 • 另一个设想认为粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的变化。但电子的双缝干涉实验明显地表明了粒子具有波动性，而且波动性是各个粒子具有的性质。

42. 1）ψ是描述粒子的量子状态的函数 • 波函数是描述粒子量子状态的一个波动方程。如有大量的粒子，那么某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成正比。（可与光进行类比） 2）几率（or:几率密度） • 在某处发现一个实物粒子的几率与Ψ的平方成正比。若波函数用复数表示，则表示为： ——t 时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的几率，又称为几率密度。 波函数的物理意义： 时刻t,粒子在空间r处dV体积内出现的概率:

43. 4）波函数的归一化： 3）波函数的标准条件： • 因几率不会在某处突变，波函数必须处处连续。 • 因在空间任意处只能有一个几率，波函数必须单值。 • 因几率不能无限大，所以波函数必须有限。 • 不符合这三个条件的函数没物理意义，不代表物理实在。 粒子在整个空间出现的几率为1

44. 单个粒子在哪一处出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统计规律。 电子双缝干涉图样 电子数 N=7 电子数 N=100 电子数 N=3000 电子数 N=20000 出现概率小 电子数 N=70000 出现概率大

45. 4.态的叠加原理 　量子力学中态的叠加与经典物理中波的叠加虽然形式相同，但本质不同。两列经典波可叠加导致一个新的波，但两个波函数叠加并不形成新的波函数。 • 对于 　　　　　 　　（　　 　均为复数）　并非新的状态。体系处在 　态时，可理解为既处在态 又处在态 ，但不能肯定处在何态。 量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。

46. P Ψ1 S1 电子源 Ψ2 感光屏 S2 分析电子双缝衍射 Ψ 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ 是这两种状态的叠加。 通过单缝1的电子处于1态；通过单缝2的电子处于2态。 双缝同时打开时，一个电子同时处在1态和2态。双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态。

47. 1  2 处于两态的几率分别为： 双缝同时打开时电子的几率分布为： 相干项

48. 　态迭加原理是由微观粒子波粒两象性所决定的。还有下面的含义：当粒子处于态1和2的线性迭加态时，粒子是既处于1，又处于态2。　态迭加原理是由微观粒子波粒两象性所决定的。还有下面的含义：当粒子处于态1和2的线性迭加态时，粒子是既处于1，又处于态2。 量子力学中态的迭加，虽然在数学上与经典波的迭加原理相同，但在物理本质上却有根本的不同：量子态的迭加是指一个粒子的两个态的迭加，其干涉也是自己与自己的干涉，决不是两个粒子互相干涉。而且这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不确定性。 微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 （牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。） 　波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。

49. 5.波函数（或几率幅）服从的几个规则 规则1 （几率幅叠加规则）： 假如在　 间有n种可能的跃迁方式，则跃迁几率幅 是各种可能发生的跃迁几率幅之和。即 此规则为态的叠加的一种表述。费曼称其为“量子力学第一原理”。它是一条基本原理，至今无法从更基本的观念将其导出）

50. 规则2（独立事件的几率相加律） ： 假如在 间有n个独立的末态，则跃迁几率等于到达 各末态的跃迁几率之和。即 规则3：假如在 间有一中间态，则跃迁几率幅等于分段几率幅之积。即 规则4：假如一独立体系中的两个粒子同时跃迁，则体系的跃迁几率等于两粒子几率幅之积。 （规则3、4均系独立事件的几率相乘律）