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  1. sinais Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

  2. Sinais • Funçãode uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno • 1 variável  sinal unidimensional • n variáveis  sinal multidimensional • Exemplos: • Sinal de voz/fala e sinais biológicos • Sinal de vídeo • Precificação de ações (séries temporais) • Movimentação de máquinas elétricas (vibração)

  3. Sinais • Quanto à(s) variável(is) independente(s) • Contínuo (analógico) • Discreto • Quanto à amplitude: • Contínuo (analógico) • Discreto • Quanto a aleatoriedade em amplitude: • Determinístico • Aleatório (Random)

  4. Sinais • Classificação • Depende da discretizaçãoou não da amplitudee da variável independente. • Geralmente a variável independente será tempo (t) • Casos: • Amplitude contínua com tempo contínuo • Sinal analógico • Amplitude contínua com tempo discreto • Amplitude discreta com tempo contínuo • Amplitude discreta com tempo discreto • Sinal digital

  5. Sinais • Para facilitar • Sinais com tempo discreto  Seqüência • Amplitude contínua com tempo discreto • Amplitude discreta com tempo discreto

  6. Sinais • Notações • Tempo contínuo: x(t) • t = tempo (em segundos)  (t ∈R) • O sinal x(t) é função do tempo • Tempo discreto: x[n] • n = instante (adimensional)  (n ∈Z) • A seqüência x[n] é função do instante • Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo.

  7. Sinais • Pode apresentar descontinuidades!!! • A continuidade está ligada a (t ∈R) • Existem instante t0 tal que:

  8. Sinais • Sinais periódicos e não-periódicos • Inclui exponenciais complexas

  9. Sinais • Sinais periódicos e não-periódicos • x(t) = x(t + T), para todo t ∈R. • T é o período “fundamental” do sinal (T ∈R+) • f = 1/T  freqüência “fundamental”. • Em Hertz • ω = 2π/T • Em radianos/s

  10. Sinais • Sinais periódicos e não-periódicos • Exemplos: • x(t) = cos(300π t + π/3) • x(t) = 10 cos(1G π t) • Sinais senoidais puros • x(t) = A cos(2 π f0 t + θ) • θ fase (em radianos) • x(t) = 10 e-10t • x(t) = 10-6 e-1000tcos(3000 π t – π/2) • Sinais exponenciais complexos • x(t) = A e-σ0 t [cos(2 π f0 t) + j sen(2 π f0 t)] • σ0 constante de amortecimento

  11. Sinais • Sinais periódicos e não-periódicos • Lembre-se: • Relação de Euler • e±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) • + cos(ωt) = Re{e±jωt} • ± sen(ωt) = Im{e±jωt} • Relações trigonométricas • sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ±sen(b) cos(a) • cos(a± b) = cos(a) cos(b) ∓sen(a) sen(b)

  12. Sinais • Sinais periódicos e não-periódicos • Exemplos/Exercícios

  13. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Sinais com descontinuidades • Em algum t0: • Representação de fenômenos como: • Chave liga-desliga • Sinais discretos/digitais • Variações lineares • Amostragem de sinais contínuos

  14. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Degrau unitário: • Descontinuidade tem t=zero. • Formulação consistentecom séries e transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.

  15. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Representações alternativasdo Degrau unitário: • Formas ligadas a fenômenos físicos • Carecem de rigor formal (teoria de Fourier) • Se excitarem um sistema qualquer • Produzem mesmo resultado!!!

  16. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Degrau unitário • Exemplos/Exercícios • Demonstre que Degrau unitário formal e suas variações alternativas são equivalentes.

  17. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Sinal unitário • Indica o sinal de t • Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1 • Admite versão alternativa, como u(t)

  18. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Rampa unitária • Este sinal é definido por:

  19. Sinais Área = 1 δ(t) t • Sinais com descontinuidades/singularidades • Impulso unitário • Representação gráfica

  20. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Impulso unitário • Derivações importantes: • Relação entre sinal impulso e sinal degrau unitário • Extração de valor pontual de função genérica

  21. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Impulso unitário • Derivações importantes: • Extração de valor pontual de função genérica • Propriedade de escala

  22. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Trem de impulsos • Note que o trem de impulsos é periódico • Período T = T0 • Útil para representar matematicamente a amostragem. • Conversão AD • Impossível de criar fisicamente.

  23. Sinais • Sinais com descontinuidades/singularidades • Pulso retangular unitário • Pulso triangular unitário

  24. Sinais • Sinais especiais • Sinc unitário • Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA) • Gerador do fenômeno de Gibbs • Veremos em transformada de Fourier

  25. Sinais • Sinais especiais • Sinc unitário

  26. Sinais • Sinais especiais • Sinal de Dirichlet • Serve para representação matemática da conversão AD • Similaridade com sinc(t) • N ímpar  soma infinita de sinc(t) igualmente espaçados. • N par  soma alternada de sinc(t) • Compare: sinal de Dirichlet trem de impulsos

  27. Sinais • Sinais especiais • Sinal de Dirichlet

  28. Sinais • Sinais pares e ímpares • Equivalente a idéia de funções pares e ímpares • Sinal par: • x(t) = x*(–t), para todo t ∈R. • Conjugado simétrico • Sinal ímpar: • x(t) = – x*(–t), para todo t ∈R. • Conjugado assimétrico • Todo x(t) = xp(t) + xi(t) • Como obter as partes par e ímpar de x(t)?

  29. Sinais • Sinais pares e ímpares • Exemplos/Exercícios

  30. Sinais • Operações básicas • Soma e subtração de sinais • Multiplicação e quociente de sinais • Multiplicação  Modulação • Observações importantes: • São realizadas ponto-a-ponto • Equivalente a operações envolvendo funções • Exemplo: w(t) = x(t) op y(t)  op = +, -, *, / • w(t0) = x(t0) op y(t0) • w(t1) = x(t1) op y(t1) • ...

  31. Sinais • Operações básicas • Soma e subtração de sinais • Multiplicação e quociente de sinais • Exemplos/Exercícios

  32. Sinais • Operações básicas • Deslocamento temporal • Operação de atraso ou avanço de sinais • f(t) = g(t + t0)  f(t) está adiantado em relação a g(t) • h(t) = g(t – t0)  h(t) está atrasada em relação a g(t) • Dado g(t) e t0 (tempo de atraso/avanço) • Exemplos: • Efeito Doppler • Representação de eco • Atraso de propagação em meios de comunicação

  33. Sinais • Operações básicas • Deslocamento temporal • Exemplos/Exercícios

  34. Sinais • Operações básicas • Escala em amplitude • h(t) = α g(t) • Dado g(t) e α (fator de ganho) • Pode representar: • Amplificação • Atenuação • Reflexão

  35. Sinais • Operações básicas • Escala em amplitude • Exemplos/Exercícios

  36. Sinais • Operações básicas • Escala no tempo • h(t) = g(t/A) • Dado g(t) e A(≠zero) (fator de encolhimento/dilatação) • Pode representar: • Amplificação • Atenuação • Reflexão (ou inversão temporal) • Disco sendo tocado de trás para frente.

  37. Sinais • Operações básicas • Escala em amplitude • Exemplos/Exercícios

  38. Sinais • Operações básicas • Integração/diferenciação • Diferenciação de g(t) • Inclinação de g(t) no instante t. • Integração de g(t) • Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.

  39. Sinais • Operações básicas • Integração/diferenciação • Diferenciação • Filtragem passa-alta • Integração • Filtragem passa-baixa • Genericamente • Diferenciação e integração são operações opostas • Lembrar da constante de integração por se tratar de sinais de duração infinita.

  40. Sinais • Operações básicas • Integração/diferenciação

  41. Sinais • Operações básicas • Integração/diferenciação

  42. Sinais • Operações básicas • Integração/diferenciação • Exemplos/Exercícios

  43. Sinais • Energia e Potência de Sinais • Abstração matemática • Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal • Exemplos: • Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada, temperatura • Energia de sinal • Calculada para sinais para o qual Ex converge!

  44. Sinais • Energia e Potência de Sinais • Potência de sinal • Propício para sinais periódicos • Para esses, Ex não converge (Ex oscila) • Neste caso, T = T0 (período do sinal)

  45. Sinais • Energia e Potência de Sinais • Classe de sinais: • Sinais com energia finita • Sinais com potência finita • Com energia “infinita” • Sinais com energia e potência infinitas

  46. Sinais • Energia e Potência de Sinais • Exemplos/Exercícios