Вектори

1. Вектори Сбор и разлика на вектори. Умножение на вектор с число.

2. Фиг.1.1       N N N A A A B B B M M M g g g На фиг. 1.1 точките A и B лежат на една права g. Всяка от точките A и B разделя правата g на два лъча: AM, AN, BM, BN. Тъй като В лежи на лъча AM , то лъчът AMсъдържа лъча BM. По аналогия лъчите AM и BM ги наричаме еднопосочни, лежащи на една права. Следователно лъчите AMи BN са противопосочни. Еднопосочни и противопосочни лъчи, лежащи на една права Условно приемаме, че точките N, A, B и M са градове, разположени на една права линия g и B се намира между A и M. Ако от град A се движи кола към град M и от град B се движи друга кола към M е ясно, че движението на колите е еднопосочно. Ако от град A се движи кола към M и от град B се движи друга кола към N тогава движението е противопосочно.

3. B Фиг.1.2 Q P b M a A N • На фиг 1.2 точките A и B лежат съответно на успоредните прави a и b; • Лъчите AMи BP лежат в една полуравнина, относно правата AB; • Ако една кола от правата aсе движи от точка A към точка M, а друга от правата b се движи от B към P, то двете коли се движат еднопосочно по успоредни пътища; • Двата лъча AMи BPсъщо се намират в една полуравнина, относно правата AB която съединява началните им точки (A и B). Те сенаричат еднопосочни; P C Лесно се установява следното: Ако два лъча са еднопосочни с трети лъч, то те са еднопосочни помежду си. N B A M Ако една кола от правата a се движи от точка A към точка N, а друга се движи от правата bот B към P, то двете коли се движат противопосочно по успоредни пътища. Съответно лъчите ANи BPсе наричат противопосочни, относно правата която съединява началните им точки (т. е. A и B). P B Q b M N a A Еднопосочни и противопосочни лъчи, нележащи на една права

4. Точките A и B опредят отсечката AB. • Краищата A и B могат да се определят до два начина: • първи край A, втори край B; • първи край B, втори край A. • Отсечка, на която единият край е избран за първи, а другият – за втори се нарича вектор. • В случай a) се бележи с AB (фиг 1.3) или а. Фиг1.3 Дължината на отсечката AB се нарича дължина на вектора AB. Бележи се с AB или просто с AB. Всяка точка A е вектор със съвпадащи крайща. Това е нулев вектор – AA=0. Фиг.1.5 Фиг.1.4   B A C D B C D A A B Ако лъчите AB и CD са еднопосочни, векторите AB и CD се наричат еднопосочни D C D C a Ако лъчите AB и CD са противопосочни, векторите AB и CD се наричат противопосочни A B B A A B A C B D C D Вектор. Равенство на вектори Два вектора се наричат равни, ако са еднопосочни и имат равни дължини.AB=CD

5. Даден е векторът AB иточката O. Да се построи точка M така, че OM=AB. O M Q P  A B Върху лъча PQ, който е еднопосочен с лъча AB, построяваме точка M така, че OM=AB. Тогава OM=AB.  O v M a a Фиг.1.6 O На фиг. 1.7 векторът a преставя силата на тежестта на дадено тяло. Фиг.1.7 M Пример за равенство на вектори Решение: През O построяваме правата PQ || AB. Ако Q лежи на AB, тогава правата PQ съвпада с AB. Някои физични величини, като скорост и сила се представят като вектори: На фиг. 1.6 векторът преставя скоростта на точка, която се движи праволинейно равномерно.

6. Фиг.1.8 Нека MN=a и PQ=b са два вектора, а O е произволна точка. C Q Построяваме векторите: 1) OA=MN=a; 2) AC=PQ=b. a A  O b b a P  Векторът OC се нарича сбор на двата вектора MN=a и PQ=b и се означава OC = OA+MN или c = a + b N M Фиг.1.9 Два вектора се наричат противоположни, ако имат равни дължини иса противопосочни. На фиг.1.9 векторите AB=a и CD имат равни дължини и са противоположни. Векторите AB и CD са противоположни, което записваме: CD= - AB=- a, или AB=-CD. b a Нека a и b са два вектора. Векторът a и (- b) се нарича разлика на векторите a и b и се бележи с a - b B -a D C  O A  c = a - b c =a + b B A a Сбор и разлика на два вектора

7. C В равенството c = a + b всеки от векторите a, b и c може да се замести с кой и да е равен на него вектор. b a O A За всекипроизволни точки O, A и C е изпълнено OC=OA+ AC. Ако C A, получаваме OA=OA+ AA. Правилото за построяване на сбора c = a + b на два вектора a + b според определението се нарича правило на триъгълника. Нека OA=a, AC=b и OC= a + b. Да допълним OAC до успоредника OACB. Тогава OB=AC=b и BC=OA=a. Според определението за сбор на вектори от OBC следва, че OC = b + a. Това равенство е вярно и когато точките лежат на една права. C Тъй като OA=a и AA=0, то a +0 = a. b + a a + b b a O A a B Векторът OC, определен от диагонала OC на успоредника,е сбор на векторите a и b. Следователно за всеки два вектора a и b е вярно равенството: a+ b= b +a b Това правило за построяване на сбора a +b се нарича правило на успоредника. c =a + b От определението за сбор на два вектора следва:

8. Свойства на сбор и разлика на вектори • Събирането на векторите има следните свойства: • a + b = b + a (комутативно свойство на събирането на вектори); • (a + b) + c = a + (b + c) (асоциативно свойство на събирането на вектори); • a + 0 =a; • a + (-a) = 0; Фиг.1.10 Нека a и b са два равни вектора Равенството a и b се удволетворява не само за векторите a и b , но и за всеки два, равни на тях вектора (фиг.1.10). b h g d c f e a Дефинираме сбор на два вектораa + b, противоположен вектор –a и разлика на два вектора a - b с точност до равенство на вектори  От тези свойства следва: Преобразуването на векторните равенства по отношение на събирането на вектори се извършва както преобразуването на числови равенства по отношение на събирането на числата. Това свойство имат всички векторни равенства, с които ще се занимаваме.

9. Примерни задачи върху свойства на сбор и разлика на вектори Задача 1: Опростете израза (3a+2b) - ( b - a). Решение: (3a+2b) – ( b - a) = a + b - b + a = a + b - b + a = a = a Задача 2: Даден е векторът AB = a. При каква стойност на k векторът b =ka –a е еднопосочен с AB. Решение: b =ka –a ; b = a(k-1); B Знаем че, за да бъдат еднопосочни векторите a и b е достатъчно да е изпълнено неравенството:k -1>0, от което следва,чеk >1. A a b b D C N M

10. Нека AB=aе ненулев вектор, а е отрицателно число. Нека AB=aе ненулев вектор, а е положително число. Фиг.1.12 Фиг.1.11 Произведение на вектора a с положително число , се нарича векторътa, който е еднопосочен с вектораa иима дължина |a|.   C O O A A B На фиг. 1.11 е даден вектор OA=a и нека = Да построим вектора OB = OA. Тъй като векторът OAе еднопосочен с вектора OA, точката B ще лежи на лъча OA. Произведение на вектора a с отрицателно число , се нарича векторътa, който е противопосочен с вектораa иима дължина|a|. От условието OB= OA получаваме OB= OA, откъдето следва построението на точка B. На фиг. 1.12 е даден вектор OA=a и нека = - Да построим вектора OC = - OA. | | От условието OC= - OA получаваме OC= - OA, откъдето следва построението на точка C. В този случай точката C лежи на лъча, противоположен на лъча OA . Умножение на вектор с число

11. По определение 0.a = 0 и.0 =0. Ясно е, че за всеки векторa е вярно (-1).a = -a • Умножението на вектор с число има следните свойства: • 1.a =a; • (a )=()a ; • (+)a =a+a; • (a+b )=a+b. C A a B -a Фиг.1.13 Задача:Точката M е средата на отсечката AB, а O е произволна точка. Да се докаже, че OM = (OA + OB). Фиг.1.14 A Решение: За трите точки O, A и M (фиг.1.14) имаме OM=OA+AM M  Тъй като векторите AM и AB са еднопосочни и имат равни дължини, то AM = AB. Тогава OM = OA + AB B  O Като вземем предвид, че AB = OB-OA, получаваме: OM= OA+ (OB-OA)=OA+ OB - OA = OA + OB = (OA+OB) Свойства на умножението на вектор с число 