Základy elektrotechniky Složené obvody s harmonickým průběhem

1. Základy elektrotechnikySložené obvody s harmonickým průběhem

2. Základní pojmy Složené obvody vzniknou sériovým, paralelním nebo smíšeným řazením prvků R, L, C. Pro výpočet lze využít 1. a 2. Kirchhoffův zákon a obdobu Ohmova zákona pro vyjádření vztahu mezi napětím, proudem a odporem (reaktancí). 1. Kirchhoffův zákon pro střídavé obvody: Fázorový součet proudů v uzlu je roven nule 2. Kirchhoffův zákon pro střídavé obvody: Fázorový součet napětí v uzavřeném obvodu je roven nule Pro vyjádření odporu rezistoru se používá pojem činný odpor, v některé literatuře se pro cívku a kondenzátor používá pojem jalový odpor.

3. Î  ÛL L  Û ÛR R Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Výpočet indukční reaktance XL Oba prvky jsou zapojeny do série  prochází přes ně stejný proud. Na rezistoru je napětí ve fázi s proudem, na cívce je proud o 900 opožděn. Fázorový diagram kreslíme od proudu, který je pro oba prvky stejný Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem napětí na cívce předbíhá proud o 900. Výsledný fázor napětí je součtem dílčích obou fázorů Û ÛL ÛR  Î

4. Î U UL  ÛL L   Û UR ÛR R Û ÛL ÛR  Î Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Na základě fázorové diagramu lze v sériovém obvodu nakreslit trojúhelník napětí Pro výpočet jednotlivých složek a úhlu lze použít Pythagorovu větu nebo funkce úhlu  Určení celkového napětí pomocí Pythagorovy věty: Po úpravě (stejný proud přes oba prvky): kde Z je impedance obvodu ().

5. Î ÛL L  Û ÛR R Z XL  R Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Impedance (zdánlivý odpor) je matematické vyjádření celkového odporu obvodu V sériovém obvodu lze vytvořit trojúhelník odporů Pro výpočet jednotlivých složek a úhlu lze použít Pythagorovu větu nebo funkce úhlu  Určení celkové impedance pomocí Pythagorovy věty: Sériové zapojení ideální cívky a rezistoru se používá při znázornění skutečné cívky. kde R je činný odpor cívky a L vlastní indukčnost cívky. Pamatuj – v sériovém obvodu se sestavuje trojúhelník napětí a odporů

6. Î ÛL L  Û ÛR R Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Příklad: Skutečná cívka má činný odpor 200  a indukčnost 2,5 H. Vypočítejte celkovou impedanci, cos , proud a napětí na ideální cívce a činném odporu. Napětí zdroje je 100V/50Hz. Výpočet indukční reaktance: Výpočet impedance: Výpočet celkového proudu: Výpočet dílčích napětí:

7. Î  ÛL L  Û ÛR R Û ÛL  ÛR Î Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Příklad: Skutečná cívka má činný odpor 200  a indukčnost 2,5 H. Vypočítejte celkovou impedanci, cos , proud a napětí na ideální cívce a činném odporu. Napětí zdroje je 100V/50Hz. Ověření výpočtu – určení celkového napětí: Fázorový diagram: Výpočet cos : V praxi se cos  nazývá účiník

8. Î ÛC C   Û ÛR R Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru Výpočet kapacitní reaktance XC: Oba prvky jsou zapojeny do série  prochází přes ně stejný proud. Î  ÛR Fázorový diagram kreslíme od proudu. Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem, napětí na kondenzátoru je zpožděno o 900. Výsledný fázor napětí je součtem dílčích obou fázorů ÛC Û

9. Î ÛC C U UC   Û  ÛR R UR Î  ÛR ÛC Û Sériové zapojení ideálního rezistoru a kondenzátoru Na základě fázorové diagramu lze v sériovém obvodu nakreslit trojúhelník napětí Pro výpočet jednotlivých složek a úhlu lze použít Pythagorovu větu nebo funkce úhlu  Určení celkového napětí pomocí Pythagorovy věty: Po úpravě (stejný proud přes oba prvky): kde Z je impedance obvodu ().

10. Î ÛC C Z XC  Û  ÛR R R Sériové zapojení ideálního rezistoru a kondenzátoru V sériovém obvodu lze vytvořit trojúhelník odporů Pro výpočet jednotlivých složek a úhlu lze použít Pythagorovu větu nebo funkce úhlu  Určení celkové impedance pomocí Pythagorovy věty: Ve většině případů lze skutečný kondenzátor považovat za ideální

11. Î ÛC C  Û ÛR R Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Příklad: Kondenzátor s kapacitou 3 F je připojen sériově s rezistorem 2 k. Vypočítejte celkovou impedanci, cos , proud a napětí na kondenzátoru a činném odporu. Napětí zdroje je 200V/50Hz. Výpočet kapacitní reaktance: Výpočet impedance: Výpočet celkového proudu: Výpočet dílčích napětí:

12. Î ÛC C  Û ÛR R  Î  ÛR ÛC Û Sériové zapojení ideálního rezistoru a kondenzátoru Ověření výpočtu – určení celkového napětí: Výpočet cos : Fázorový diagram:

13. Î ÛC C   Û ÛR R Û ÛL L ÛL  Î ÛR ÛC Sériové zapojení rezistoru, ideální cívky a kondenzátoru Podle 2. Kirchhoffova zákona lze vyjádřit součet napětí v obvodu. Všemi prvky prochází stejný proud, od proudu kreslíme i fázorový diagram (předpoklad UL> UC).

14. Î ÛC C U UL-UC  Û  ÛR R UR ÛL L Sériové zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Na základě fázorové diagramu lze v sériovém obvodu nakreslit trojúhelník napětí (předpoklad UL>UC). Určení celkového napětí pomocí Pythagorovy věty: Po úpravě (stejný proud přes všechny prvky):

15. Î ÛC C Z XL-XC  Û  ÛR R R ÛL L Sériové zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru V sériovém obvodu lze vytvořit trojúhelník odporů Určení celkové impedance pomocí Pythagorovy věty: Zvláštní případ platí pro XL = XC (UL = UC) – obvod je v rezonanci

16. Î ÛC C  Û ÛR R ÛL L Sériové zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Příklad: Kondenzátor C = 2F, rezistor R=1k a ideální cívka L = 3H jsou připojen na zdroj napětí 20V/50Hz. Vypočítejte celkový proud, impedanci a napětí na všech prvcích. Výpočet kapacitní reaktance: Výpočet indukční reaktance: Výpočet impedance: Výpočet celkového proudu:

17. Î ÛC C  Û ÛR R ÛL L Sériové zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Výpočet dílčích napětí: Kontrola napětí: Výpočet cos : Sestrojte v měřítku fázorový diagram Simulace

18. Î ÎL ÎR Û  L R   Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Obvody lze řešit přes odpory, vodivosti nebo proudy . Nejjednodušší je výpočet pomocí proudů. Oba prvky jsou zapojeny paralelně  mají stejné napětí. Na rezistoru je napětí ve fázi s proudem, na cívce je proud o 900 opožděn. Fázorový diagram kreslíme od napětí, které je pro oba prvky stejné Proud na rezistoru je ve fázi s napětím proud na cívce je opožděn o 900 za napětím Výsledný fázor proudu je součtem dílčích obou fázorů Û ÎR ÎL Î

19. Î ÎL ÎR Û I IL  L R  IR  Û  ÎR ÎL Î Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Na základě fázorové diagramu lze v paralelním obvodu nakreslit trojúhelník proudů Pro výpočet jednotlivých složek a úhlu lze použít Pythagorovu větu nebo funkce úhlu  Určení celkového proudu pomocí Pythagorovy věty: Po úpravě (stejné napětí na obou prvcích): kde BL je indukční vodivost (susceptance) - (S) Y je admitance obvodu - (S).

20. Î ÎL ÎR Û  L R Y BL  G Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Admitance je matematické vyjádření celkové vodivosti obvodu V paralelním obvodu lze vytvořit trojúhelník vodivostí Určení celkové admitance pomocí Pythagorovy věty: Pamatuj – v paralelním obvodu se sestavuje trojúhelník proudů a vodivostí

21. Î ÎL ÎR Û  L R Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Příklad: Ideální cívka ma indukčnost 1,5 H je připojena paralelně k rezistoru 600 . Vypočítejte celkovou admitanci, cos , všechny proudy v obvodu. Napětí zdroje je 100V/50Hz. Výpočet indukční reaktance: Výpočet dílčích proudů: Výpočet celkového proudu: Výpočet celkové admitance:

22. Î ÎL ÎR Û  L R Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky Ověření výpočtu – určení dílčích admitancí: Výpočet celkové admitance: Výpočet cos : Simulace: zde

23. Î ÎC ÎR Û  R C   Paralelní zapojení ideálního rezistoru a kondenzátoru Oba prvky jsou zapojeny paralelně  mají stejné napětí. Na rezistoru je napětí ve fázi s proudem, na kondenzátoru předbíhá proud o 900. ÎC Î Fázorový diagram kreslíme od napětí, které je pro oba prvky stejné Proud na rezistoru je ve fázi s napětím proud na kondenzátoru předbíhá napětí o 900 Výsledný fázor proudu je součtem dílčích obou fázorů Û ÎR

24. Î ÎC ÎR I IC Û   R C IR ÎC Î  Û ÎR  Paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru Na základě fázorové diagramu lze v paralelním obvodu nakreslit trojúhelník proudů Určení celkového proudu pomocí Pythagorovy věty: Po úpravě (stejné napětí na obou prvcích): kde BC je kapacitní vodivost (susceptance) - (S) Y je admitance obvodu - (S).

25. Î ÎC ÎR Û  R C Y BC  G Paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru Admitance je matematické vyjádření celkové vodivosti obvodu V paralelním obvodu lze vytvořit trojúhelník vodivostí Určení celkové admitance pomocí Pythagorovy věty: Pamatuj – v paralelním obvodu se sestavuje trojúhelník proudů a vodivostí

26. Î ÎC ÎR Û  R C Paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru Příklad: Kondenzátor má kapacitu 200nF je připojen paralelně k rezistoru 2k. Vypočítejte celkovou admitanci, cos , všechny proudy v obvodu. Napětí zdroje je 100V/500Hz. Výpočet kapacitní reaktance: Výpočet dílčích proudů: Výpočet celkového proudu: Výpočet celkové admitance:

27. Î ÎC ÎR Û  R C Paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru Ověření výpočtu – určení dílčích admitancí: Výpočet celkové admitance: Výpočet cos : Simulace: zde

28. Î ÎC ÎL ÎR Û  L R C   Paralelní zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Prvky jsou zapojeny paralelně  mají stejné napětí. Na rezistoru je napětí ve fázi s proudem, na kondenzátoru předbíhá proud o 900, na cívce je proud o 900 opožděn. ÎC Fázorový diagram kreslíme od napětí, které je pro všechny prvky stejné Proud na rezistoru je ve fázi s napětím proud na kondenzátoru předbíhá napětí o 900 proud na cívce je o 900 opožděn (předpoklad IL> IC) Výsledný fázor proudu je součtem dílčích obou fázorů Û ÎR ÎL Î

29. Î ÎC ÎL ÎR I IL - IC Û   L R C IR ÎC  Û ÎR ÎL  Î Paralelní zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Na základě fázorové diagramu lze v paralelním obvodu nakreslit trojúhelník proudů Určení celkového proudu pomocí Pythagorovy věty: Po úpravě (stejné napětí na všech prvcích): kde Y je celková admitance obvodu - (S).

30. Î ÎC ÎL ÎR Û  L R Y BL - BC C  G Paralelní zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Admitance je matematické vyjádření celkové vodivosti obvodu V paralelním obvodu lze vytvořit trojúhelník vodivostí Určení celkové admitance pomocí Pythagorovy věty:

31. Î ÎC ÎL ÎR Û  L R C Paralelní zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Příklad: Kondenzátor má kapacitu 300nF, cívka indukčnost 1,2H a odpor rezistoru je 2k. Vypočítejte celkovou admitanci, cos , všechny proudy v obvodu. Napětí zdroje je 100V/500Hz. Výpočet kapacitní reaktance: Výpočet indukční reaktance: Výpočet dílčích proudů:

32. Î ÎC ÎL ÎR Û  L R C Paralelní zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Příklad: Kondenzátor má kapacitu 300nF, cívka indukčnost 1,2H a odpor rezistoru je 2k. Vypočítejte celkovou admitanci, cos , všechny proudy v obvodu. Napětí zdroje je 100V/500Hz. Výpočet celkového proudu: Výpočet celkové admitance:

33. Î ÎC ÎL ÎR Û  L R C Paralelní zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru Ověření výpočtu – určení dílčích admitancí: Výpočet celkové admitance: Výpočet cos : Simulace: zde

34. Î Î1 Î2 Î3 Û  Z1 Z2 Z3 Paralelní řazení impedancí Jednotlivé impedance mohou být tvořeny samostatnými prvky R, L, C nebo jejich sériovou kombinací. Při praktických výpočtech je vhodnější použít pro výpočet komplexní čísla, obvod lze řešit i s využitím Pythagorovy věty. Při výpočtu je třeba neustále brát v úvahu fázové posuny na jednotlivých prvcích. Postup výpočtu: 1. Výpočet dílčích reaktancí (jestliže již nejsou zadány) 2. Výpočet impedancí Z1, Z2, Z3, … - pomocí trojúhelníku odporů 3. Výpočet fázových posunů (účiníků) v jednotlivých větvích – cos1, cos2, cos3, … 4. Výpočet celkového proudu v jednotlivých větvích – I1, I2, I3, … 5. Výpočet složek proudů v jednotlivých větvích – Ič1, Ij1, Ič2, Ij2, Ič3, Ij3, … 6. Výpočet celkové činné a jalové složky Ič, a Ij 7. Výpočet celkového proudu I, celkového účiníku cos

35. Î Î1 Î2 Î3 Û  Z1 Z2 Z3 Paralelní řazení impedancí Postup výpočtu: 1. Výpočet dílčích reaktancí (jestliže již nejsou zadány) 2. Výpočet impedancí Z1, Z2, Z3, … - pomocí trojúhelníku odporů Obecně: 3. Výpočet fázových posunů (účiníků) v jednotlivých větvích – cos1, cos2, cos3, … Obecně: 4. Výpočet celkového proudu v jednotlivých větvích – I1, I2, I3, … Obecně:

36. Î Î1 Î2 Î3 Û  Z1 Z2 Z3 Paralelní řazení impedancí 5. Výpočet složek proudů v jednotlivých větvích – Ič1, Ij1, Ič2, Ij2, Ič3, Ij3, … Činná složka: Jalová složka: 6. Výpočet celkové činné a jalové složky Ič, a Ij Obecně: Indukční jalové složky jsou záporné, kapacitní jalové složky jsou kladné 7. Výpočet celkového proudu I, celkového účiníku cos

37. Î Î1 Î2 Î3 Û L2  C3 R1 R2 Paralelní řazení impedancí - příklad Vypočítejte celkový proud a účiník 1. větev – ideální rezistor R1 = 2k 2. větev – skutečná cívka L2 = 0,5 H, R2= 1k 3. větev – ideální kondenzátor C3 = 0,3F Napětí zdroje je 50V, 500Hz. 1. Výpočet dílčích reaktancí (jestliže již nejsou zadány) 2. Výpočet impedancí Z1, Z2, Z3

38. Î Î1 Î2 Î3 Û L2  C3 R1 R2 Paralelní řazení impedancí - příklad Vypočítejte celkový proud a účiník 1. větev – ideální rezistor R1 = 2k 2. větev – skutečná cívka L2 = 0,5 H, R2= 1k 3. větev – ideální kondenzátor C3 = 0,3F Napětí zdroje je 50V, 500Hz. 3. Výpočet fázových posunů (účiníků) v jednotlivých větvích – cos1, cos2, cos3 4. Výpočet celkového proudu v jednotlivých větvích – I1, I2, I3

39. Î Î1 Î2 Î3 Û L2  C3 R1 R2 Paralelní řazení impedancí - příklad Vypočítejte celkový proud a účiník 1. větev – ideální rezistor R1 = 2k 2. větev – skutečná cívka L2 = 0,5 H, R2= 1k 3. větev – ideální kondenzátor C3 = 0,3F Napětí zdroje je 50V, 500Hz. 5. Výpočet složek proudů v jednotlivých větvích – Ič1, Ij1, Ič2, Ij2, Ič3, Ij3, …

40. Î Î1 Î2 Î3 Û L2  C3 R1 R2 Paralelní řazení impedancí - příklad Vypočítejte celkový proud a účiník 1. větev – ideální rezistor R1 = 2k 2. větev – skutečná cívka L2 = 0,5 H, R2= 1k 3. větev – ideální kondenzátor C3 = 0,3F Napětí zdroje je 50V, 500Hz. 6. Výpočet celkové činné a jalové složky Ič, a Ij Simulace: zde 7. Výpočet celkového proudu I, celkového účiníku cos

41. R L C ÛR ÛL ÛC  Î Û Rezonanční obvody – sériová rezonance Pojem rezonance se nevyskytuje pouze v elektrotechnice, řeší se i v oblasti strojírenství (mechanická rezonance) a stavebnictví. Rezonanční obvody jsou obvody R, L, C, ve kterých má dominantní postavení cívka a kondenzátor. Jelikož každý elektrický obvod obsahuje prvky R, L, C (buď jako skutečný prvek nebo parazitní), projevuje se rezonance více či méně ve všech střídavých obvodech. Nejjednodušší rezonanční obvod je kondenzátor (skutečný = ideální) a skutečná cívka (obvod RL). Kondenzátor a cívka mohou být zapojeny sériově (sériový rezonanční obvod) nebo paralelně (paralelní rezonanční obvod). Rezonanční obvody jsou frekvenčně závislé.

42. R L C ÛR ÛL ÛC   Î Û Î ÛR= Û ÛC ÛL Sériová rezonance Sériová rezonance je stav, ve kterém se ideální cívka a kondenzátor vzájemně „negují“  obvod se navenek chová tak, jako kdyby v něm byl pouze rezistor. Co musí platit pro celkovou impedanci ? Kdy je tato podmínka splněna (z trojúhelníku odporů) ? Fázorový diagram Jaký je vztah mezi napětími ?

43. R L C ÛR ÛL ÛC  Î Û Sériová rezonance Určení celkového proudu pro obvod v rezonanci: Čím je dáno napětí na ideální cívce (kondenzátoru) ? Napětí na ideální cívce (kondenzátoru) je omezeno proudem, velikost proudu při rezonanci závisí na napětí zdroje a velikosti rezistoru  při malém odporu rezistoru hrozí výrazný nárůst napětí, které může mít mnohem vyšší hodnotu, než je napětí zdroje  nebezpečí úrazu. Zhodnocení: impedance obvodu je při rezonanci minimální – Z0 = R proud obvodu je při rezonanci maximální -

44. R L C ÛR ÛL ÛC  Î Û Sériová rezonance Rezonanční kmitočet lze odvodit z rovnosti reaktancí (XL = XC) Vztah pro rezonanční kmitočet se nazývá Thomsonův vzorec. Obdobně lze odvodit vztah pro kapacitu při daném kmitočtu: Příklad: Vypočítejte rezonanční kmitočet sériového RLC obvodu a celkový proud, je-li R=500, L=3H, C=100nF a U=20V

45. Sériová rezonance

46. R L C ÛR ÛL ÛC  Î Û Rezonanční křivky Křivka vyjadřuje závislost impedance rezonančního obvodu na frekvenci: Je-li frekvence nulová je impedance … nekonečně velká, je-li frekvence velká je impedance … opět také velká (blíží se k nekonečnu). Pro rezonanční kmitočet je impedance minimální

48. R L C ÛR ÛL ÛC  Î Û Činitel jakosti Činitel jakosti určuje kvalitu rezonančního obvodu a je jedním z kritérií jeho hodnocení. Jaký je vztah mezi napětím na cívce a kondenzátoru ? Jaké je napětí na cívce při rezonanci ? Ztráty na kondenzátoru se zanedbávají  lze činitel jakosti rezonančního obvodu převést na činitel jakosti skutečné cívky. Činitel jakosti zároveň vyjadřuje násobek napětí na cívce (kondenzátoru) v porovnání s napětím zdroje. kde Q je činitel jakosti.

49. R L C ÛR ÛL ÛC  Î Û Příklad Vypočítejte rezonanční kmitočet, činitel jakosti a napětí na cívce sériového rezonančního obvodu. Kapacita kondenzátoru je 50nF, skutečná cívka má indukčnost 3,5 H a vnitřní odpor 300. Napětí zdroje je 12 V. Rezonanční kmitočet: Činitel jakosti: Napětí na cívce:

50. R L ÛR ÛL ÛC C  Î Û Rezonanční obvody – paralelní rezonance Paralelní rezonanční obvod bývá v praxi tvořen paralelní kombinací skutečné cívky a kondenzátoru. Řešení obvodu je přes paralelní řazení impedancí. ÎRL ÎC Kdy je obvod v rezonanci ? Jestliže jsou jalové složky proudů v obou větvích stejné. Při rezonanci se účinky obou proudů vzájemně ruší, obvod při rezonanci má odporový charakter. Celkový proud při rezonanci je minimální, impedance je maximální.