Методы обработки наблюдений

1. Методы обработки наблюдений А.С.Цветков СПбГУ

2. Измерение

3. Математическое ожидание

4. Закон распределения случайной величины

5. Нормальное распределение

6. Начальные и центральные моменты – начальный момент k-го порядка – центральный момент k-го порядка

7. Вычисление центральных моментов

8. Смысл моментов Математическое ожидание Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса

9. Дисперсия – центральный момент 2-го порядка – выборочная или смещенная дисперсия – несмещенная (исправленная) дисперсия

10. Среднеквадратическое отклонение (среднеквадратичное отклонение) Стандартное отклонение

11. Правило 3-х сигм – с вероятностью 99.73%

12. Асимметрия и эксцесс

13. Коэффициент корреляции Пусть задано две случайных последовательности Коэффициент корреляции меняется в диапазоне от –1 до +1

14. Линейная алгебра Справка

15. Векторы и матрицы Вектор в N-мерном пространстве Матрица N×N

16. Скалярное произведение векторов

17. Произведение матрицы на вектор

18. Произведение матрицы на матрицу

19. Единичная и обратная матрицы

20. Метод Гаусса нахождения обратной матрицы

21. Метод наименьших квадратов К.Ф. Гаусс (1795) А.М. Лежандр (1805)

22. Метод наименьших квадратов В процессе обработки экспериментальных данных исследователи сталкиваются с задачей решения избыточной системы линейных уравнений, т.е. такой системы, в которой число неизвестных меньше числа уравнений. Эта задача возникает в случае согласования параметров модели наблюдениям, что может быть показано графически: следует провести кривую известной формы так, чтобы сумма квадратов отклонений ее от наблюдательных точек была минимальна.

23. Постановка задачи Неизвестная функция Модель в виде базисных функций M – число наблюдений N – число неизвестных параметров модели

24. Матрица системы избыточных уравнений

25. Матрица нормальной системы

26. Матрица нормальной системы

27. Ошибки найденных параметров Сумма квадратов «невязок» Ошибка «единицы веса» Среднеквадратичные ошибки искомых параметров

28. Коэффициенты корреляции между параметрами Диагональные элементы этой симметрично матрицы равны 1, а не диагональные показывают взаимную корреляцию i-го и j-го параметров

29. Примерная реализация МНК на языке FORTRAN Subroutine LSQM(a,y,w, x,d, s, r) ! m - количество уравнений ! n - количество неизвестных ! a(m,n) - матрица плана ! y(m) - столбец правых частей, w(m) - столбец весов; ! x(n) - ответ, d(n) - среднеквадратичные ошибки x; ! s - среднеквадратичная ошибка единицы веса; ! r(n,n) - корреляционная матрица. real(8), intent(in) :: a(:,:), y(:), w(:) real(8), intent(out) :: x(:), d(:), s, r(:,:) integer i,j,k real(8) :: u real(8) :: c(size(x)) integer :: m,n m=size(a, dim=1) n=size(a, dim=2)

30. do i=1,n ! Заполнение матрицы нормальной системы do j=1,i u=0.0 do k=1,m u=u+a(k,i)*a(k,j)*w(k) end do r(i,j)=u; r(j,i)=u end do ! Заполнение столбца нормальной системы u=0.0 do k=1,m u=u+a(k,i)*y(k)*w(k) end do c(i)=u end do

31. ! Решение системы call Invert(r) call Multiply(r,c,x) ! Сумма квадратов невязок s=0.0 do k=1,m u=0.0 do i=1,n u=u+a(k,i)*x(i) enddo s=s+(u-y(k))**2 * w(k) enddo ! Ошибка единицы веса s=sqrt(s/(m-n)) ! Ошибки параметров do i=1,n d(i)=s*sqrt(r(i,i)) enddo

32. ! Вычисление корреляционной матрицы do i=1,n do j=1,i-1 r(i,j)=r(i,j)/sqrt(r(i,i)*r(j,j)) r(j,i)=r(i,j) enddo enddo do i=1,n r(i,i)=1.0_8 enddo