3 层合板的刚度与强度

1. 3 层合板的刚度与强度 • 层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单层刚度与强度的基础上。 • 假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的单层构成的一种连续性材料，并假设各单层之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层合理论称为经典层合理论。 • 本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚度与强度。

2. 3.1 对称层合板的面内刚度 • 所谓对称层合板，是指层合板的铺层方向相对于层合板的几何中面是镜面对称的，也就是说，从中面向上或向下观察各铺层方向，铺设顺序是相同的，单向层合板可看作是对称层合板的一种特例。 3.1.1层合板的标记 层合板各铺层的方向随设计者的需要可以任意铺设。为 了分析各种铺设顺序层合板的力学性能，应简明地给出表征 层合板铺层或铺层组铺设顺序的符号，即层合板的标记。 • 偶数层：对称铺层只写出一半，括号外加写下标“s”表示对称。

3. 例如：【05/902/45/-453】s 这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组包含五层相对参考轴为0˚方向的铺层，接着向上是两层90˚方向铺层，再向上是一层45˚方向铺层，最后至中面的三层是 －45˚方向的铺层。下角标s，表示对称层合板。 • 对于非对称层合板，必须在标记中表明全部铺层组的铺设顺序，并标明下角标T。例如：【05/902/45/90/03】T 这种层合板标记，仅表明由底面向上至顶面的铺设顺序，而不能相反。 • 当然，即使为对称层合板，有时也可采用标出全部铺层组的标记，例如前面给出的对称层合板可写成： 【05/902/45/-453/-453/45/902/05】T • 奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。 例如：【0/90】s 即【0/90/0】

4. 或【05/902/45/-456/45/902/05】T 另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用T的标记法。 例如：【05/903/05】T 对于这样的层合板，当作用力的合力作用线位于层合板 的几何中面内时（如图），由于层合板刚度的中面对称性， 层合板将引起面内变形（厚度方向的变形可忽略），不引起 弯曲变形。 3.1.2 面内力——面内应变关系 由于本章讨论的是对称层合板，所以 各单层铺层角：θ（z）= θ（- z） 各单层模量：

5. 在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移，即在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移，即 u(z)=u0 v(z)=v0 这在层合板的厚度与长度、宽度相比为很小时是合理的。 所以沿层合板厚度上各点的应变是一样的。 εx(z)=εx˚ εy (z)=εy˚ γxy(z)=γxy˚ 但因为层合板各个铺层的Qij可以不同，所以应力未必是一样的。

6. 为了确定层合板的面内刚度，必须建立层合板的面内力与面内应变的关系。所谓层合板的面内力，就是层合板各铺层应力的合力。（其单位为Pa·m，表示厚度为h的层合板横截面单位宽度的力。）为了确定层合板的面内刚度，必须建立层合板的面内力与面内应变的关系。所谓层合板的面内力，就是层合板各铺层应力的合力。（其单位为Pa·m，表示厚度为h的层合板横截面单位宽度的力。） 面内力的符号仍规定正面正向和负面负向为正，否则为负。 与应力符号规则一致。

7. 为了建立面内力——面内应变关系式，只需要将各铺层的为了建立面内力——面内应变关系式，只需要将各铺层的 应力—应变关系式代入上式中，【利用（σ）＝（Qij）（ε）】 由于中面应变与Z无关，所以 利用同样方法， 可导出Ny 、 Nxy， 简写为 （3－1）

8. 式中 （i,j=1,2,6） 称为层合板的面内刚度系数。面内刚度系数也象模量分量一样，具有对称性。即Aij=Aji 为了使本章讨论对称层合板的刚度与以前讨论单向层合板的刚度相关联。因此，将面内力与面内刚度系数进行正则化，即设 Nx*、Ny*、Nxy*称为层合板的正则化面内力，单位是Pa或N/m2，它们实际上表示了层合板的平均应力，又称层合板应力。 Aij* 称为层合板的正则化面内刚度系数，单位是Pa或N/m2， 与模量分量的量纲一样。

9. 所以 （3－2） 上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式，实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应变的关系式。 我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内应变与面内力的关系式。 （3－3）

10. 式中aij称为层合板面内柔度系数。 正则化形式： （3－4） 很明显，aij*=aijh，称为对称层合板的正则化面内柔度系数。 aij*的意义是，当对称层合板为单向层合板时， 即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。 • （3－1）～（3－4）均可写成矩阵形式。（略）

11. 3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数 类似于定义单层的工程弹性常数，利用单轴层合板应力或 纯剪层合板应力来定义对称层合板的面内工程弹性常数，可以 得到面内拉压弹性模量 例： Nx*≠0, Ny*= Nxy*=0, 利用公式（3－4），得 同理，

12. 面内剪切弹性模量 面内泊松耦合系数 拉剪耦合系数 剪拉耦合系数

13. 3.1.4 面内刚度系数的计算 • 由于面内刚度系数与构成对称层合板的各铺层模量有简单的积分关系式，而且各铺层可以有不同的偏轴模量，所以正则化面内刚度系数可改写成求和的形式进行计算。 • 利用偏轴模量的计算公式及面内刚度系数的定义 则可得正则化面内刚度系数的计算式，见书中(3-24)

14. 3.1.5几种典型对称层合板的面内刚度 层合结构的复合材料，利用铺层的各单层材料和方向的随意性可以得到各种各样的层合板。这一节将主要讨论各铺层具有同样材料和厚度的一些特殊的对称层合板。 • A.正交铺设对称层合板 凡各铺层只有00和900铺层方向的对称层合板称为正交铺设对称层合板。 由正则化面内刚度系数的计算式可以求得正交铺设对称层合板的Aij*。 A12*=Q12 A66*=Q66 A16*= A26*=0

15. 式中 V(0)=n(0)/n, V(90)=n(90)/n 分别表示0˚方向和90˚方向铺层的体积含量。 由正则化面内刚度系数矩阵求逆，即得正则化面内柔度系数矩阵（aij*）。 P48 例题 • B. 斜交铺设对称层合板 • 凡各个单层只按±φ两种方向铺设的对称层合板称为斜交铺设对称层合板。如果两种方向的层数相同，则称为均衡斜交铺设对称层合板。 • 对于均衡斜交铺设对称层合板，存在两个弹性主方向。

16. 同样，由正则化面内刚度系数的计算式可以求得Aij*。同样，由正则化面内刚度系数的计算式可以求得Aij*。 表示铺层方向角θ＝φ时的偏轴模量分量。但要注 意，当θ＝φ时的偏轴模量分量 不为零。 因为此时铺层呈现各向异性。但层合板有两种偏轴方向 ＋φ和－φ，使参考轴为主方向时，不存在拉剪耦合或 剪拉耦合；因此， 也即层合板呈现正交各向异性。

17. 凡面内各个方向的刚度为相同的对称层合板称为准各向同性层合板。凡面内各个方向的刚度为相同的对称层合板称为准各向同性层合板。 根据上述定义，可以证明，准各向同性层合板的充要条件： A16*=A26*=0, A11*=A22*, A66*=(A11*-A12*)/2 （3－6） 满足式中A16*=A26*=0表示层合板具有正交各向异性的性能，又满足A11*=A22*，表示层合板具有正方对称的性能，再满足A66*=(A11*-A12*)/2 表示层合板具有准各向同性的性能。 • c.准各向同性层合板 为满足（3－6）的条件，可以采用定向层体积含量相同的 m(m≥3)种定向层，以间隔为π/m弧度的方向铺设成对称层合板，即为准各向同性层合板。 例如： 【-60/0/60】s的m＝3的π/3层合板 【-45/0/45/90】s的m＝4的π/4层合板 均可推出（3－6）

18. 由于正则化面内刚度系数与铺设顺序无关，而与铺层比有关，所以按上述方法构成的准各向同性层合板，若改变它的铺层顺序，也不会改变其准各向同性的性能。由于正则化面内刚度系数与铺设顺序无关，而与铺层比有关，所以按上述方法构成的准各向同性层合板，若改变它的铺层顺序，也不会改变其准各向同性的性能。 例如： 【-602/02/602】s 【-60/02/60/-60/60】s • D.一般π/4层合板 凡是具有四个铺层方向彼此相隔45˚（即π/4），且各铺层 组可具有任意厚度的对称层合板称为一般π/4层合板。当四个 铺层组具有相同铺层体积含量时称为标准的π/4层合板，它是 准各向同性层合板。 一般π/4层合板，各定向层包含不同体积含量所得的Aij* 之间有很简单的线性关系，书中51页给出了以T300/4211复合 材料的例子。 但一般π/4层合板的aij*的变化图线和工程弹性常数的变化 图线要比Aij*的变化图线复杂得多。因此，利用面内刚度系数进 行层合板的力学分析，将比利用面内柔度系数更方便。

19. 3.1.6对称层合板面内刚度的转换（不要求） • 3.1.7面内铺层应力和铺层应变分析 正则化面内力（aij*）=(Aij*)-1 面内应变 各铺层正轴 应变 各铺层正轴应力 强度校核 例3.1 （P54)

20. 3.2 对称层合板的弯曲刚度 • 上一节讨论了对称层合板在面内力作用下面内变形时的刚度，本章将讨论对称层合板在弯曲力矩作用下发生弯曲变形时的刚度。 象利用面内力——面内应变关系式确定面内刚度一样，可以利用弯曲力矩与曲率关系式确定弯曲刚度。 • 3.2.1 对称层合板的弯曲力矩——曲率关系式 首先作如下假设来近似处理层合板的弯曲问题。 1.层合板的刚度是中面对称的，弯曲是几何中面就是中性曲面，即在小变形情况下几何中面各点没有平行于中面的位移。 2.直法线假设：弯曲前层合板内垂直于几何中面的直法线段在弯曲后仍保持为垂直于弯曲后中面的直线，且直线段的长度不变。

21. 3.忽略σz，各铺层按平面应力状态进行分析。 为了依据上述假设导出弯曲力矩——曲率关系式，补充给 出如下的应变定义： 这里w是对应于z轴方向的位移 u是对应于x轴方向的位移 v是对应于y轴方向的位移 根据假2， 所以位移w与坐标z无关，仅为x 和y的函数，即w=w(x,y) 同样根据假设2，中面法线变形后仍为中面法线，故得 γxz=γyz=0

22. 即 对z求积分，得 依据假设1，在z＝0处，u=v=0,所以c1(x,y)=c2(x,y)=0 由此，可以用位移w来表达其他应变分量。

23. 根据微分几何可知： 分别为层合板的曲率和扭率Kx、Ky、Kxy。 所以上式可写为εx=zKx εy=zKy γxy=zKxy 为了确定层合板的弯曲刚度，需定义引起弯曲变形的力矩，它 们是层合板各铺层应力的合力矩。（图3－22） Mx , My 为弯距，Mxy为扭距。弯距和扭距的单位为N或N·m/m, 表示厚度为h的层合板横截面单位宽度上的力矩。符号与构成 弯距和扭距的层合板下半部分的应力符号规则是一致的。

24. 依据假设3，将各铺层应力——应变关系式代入，得依据假设3，将各铺层应力——应变关系式代入，得 即 由于kx 、ky 、kxy与坐标z无关，所以上式可写成下式： （3－7） 式中 称为层合板的弯曲刚度系数， 而且Dij=Dji (3-7)就是对称层合板的弯曲力矩——曲率关系式。

25. 为了使同一块层合板的弯曲刚度系数与面内刚度系数易为了使同一块层合板的弯曲刚度系数与面内刚度系数易 于比较，以及与单向层合板相关联，因此进行正则化处理， M*=6M/h2 K*=Kh/2 (3-8) Dij*=12Dij/h3 正则化弯曲力矩M*在数字上相当于假设弯曲变形引起的 应力为线性分布时的底面应力。 正则化曲率k*是弯曲变形引起的底面应变。 【注意】对称层合板的应变是线性分布的，而应力一般不是 线性分布的，所以kx*是底面的真实应变，而Mx*一般不是底 面的真实应力。 如果对称层合板为单向层合板，则弯曲时应力沿厚度 是线性分布。Mx*、My*、Mxy*也就变成底面的真实应力。 （公式3－59）

26. 利用正则化参数式（3－8）可将（3－7）改写成如下利用正则化参数式（3－8）可将（3－7）改写成如下 正则化形式——（公式3－55） 作逆变换，可得正则化曲率与弯曲力矩的关系式—— （公式3－56）。

27. 3.2.2对称层合板的弯曲工程弹性常数 弯曲工程弹性常数是表达某一方向弯曲或扭转时层合板刚度性能的参数。因此，可分别令 ①Mx*≠0,My*=Mxy*=0； ②My*≠0,Mx*=My*=0； ③Mxy*≠0,Mx*=0,My*=0来定义弯曲工程弹性常数。 由①，可得 Kx* =d11*Mx*, Ky*=d21*Mx*, Kxy*=d61*Mx* 定义x轴向等效的弯曲弹性模量 弯曲泊松耦合系数： 弯扭耦合系数： 类似可得其他弯曲工程弹性常数。公式（3－65）～（3－69）

28. 3.2.2 弯曲刚度系数的计算 将偏轴模量分量的计算公式代入层合板的弯曲刚度系数定义式： 则可得弯曲刚度系数的计算式——公式（3－73）。 注意：这里k是从中面至底面的。

29. 3.2.4几种典型对称层合板的弯曲刚度 • A单向层合板 单向层合板是对称层合板的特例。 如果将参考坐标系置于单向层合板的正轴方向，则由于单层 的正轴模量分量Q16=Q26=0，所以 D16*=D26*=0 或 d16*=d26*=0

30. B正交铺设对称层合板 正交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数，在同样的定向层数比，即0˚与90˚层的层数比为一定的情况下，不同的铺层顺序也会得到不同的弯曲刚度系数。 例如【04/904】s、【02/902】2s、【0/90】4s，它们的单层组数分别为m=2、m=4、m=8，利用弯曲刚度系数的计算公式， 得到正则化规则正交铺设对称 层合板的正则化弯曲刚度系数： 见（3－81）

31. 由此可知，正交铺设对称层合板在弯曲时D16*=D26*=0，由此可知，正交铺设对称层合板在弯曲时D16*=D26*=0， • 所以无弯扭之间的耦合，呈现弯曲正交各向异性。D12*、D66* • 不随铺层顺序而变化；D11*与D22*随单层组数m的变化而变化， • 随m增大 而相近。 • 如果将上式与这类规则正交铺设对称层合板的Aij*比较， • 可知，当m→∞时，Dij*=Aij*。 • 此时的正交铺设对称层合板称为准均匀正交铺设对称层 • 合板。一般当m≥8时可近似按准均匀处理。 • 对于不同定向层数比按上述方法讨论，当m→∞，仍满足 • Dij*=Aij*，所以仍为准均匀正交铺设对称层合板。 • 单向层合板，依据线弹性假设，应力沿厚度是线性分布的， • 因此Mx*、My*、Mxy*就变成底面的真实应力，且

32. 按照绪论假设，多向层合板是分段均匀的，而单向层合板是均匀层合板，因此，如果对称层合板满足Dij*=Aij*，则称此层合板为准均匀层合板。按照绪论假设，多向层合板是分段均匀的，而单向层合板是均匀层合板，因此，如果对称层合板满足Dij*=Aij*，则称此层合板为准均匀层合板。 • C.斜交铺设对称层合板 斜交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数，在±Φ两种方向的层数相同的情况下，不同的铺层顺序也会得到不同的Dij*（公式3－86）。 例如【-604/604】s(m=2) 【-602/602】2s(m=4) 【-60/60】4s (m=8) 由此可知，规则斜交铺设对称层合板在弯曲存在D16*≠0，D26*≠0，即有弯扭之间的耦合。 • 同规则正交铺设对称层合板一样，当m→∞，其满足 Dij*=Aij*。一般，当m≥8时可近似按准均匀处理。

33. D准各向同性层合板 准各向同性层合板是指面内刚度而言的，这一类层 合板的弯曲刚度不一定是各向同性的。 • E一般π/4层合板 • 3.2.5 对称层合板弯曲刚度的转换（不要求） 例3.4 （p68）

34. 3.3一般层合板的刚度 前面我们讨论的是对称层合板，因此，当受有面内力时将引起面内变形而无弯曲变形，当受有弯曲力矩时将引起弯曲变形而无面内变形。但对于非对称层合板，一般情况下，面内力还将引起弯曲变形，或弯曲力矩还将引起面内变形，即存在拉弯耦合或弯拉耦合。所以，一般层合板的刚度系数除了面内刚度系数和弯曲刚度系数外，还存在耦合刚度系数。 • 3.3.1一般层合板的内力——应变关系 依据直法线假设和应变定义导得的公式在这里同样成立：

35. 由于几何中面z=0处，u和v不一定为零，故设 代入应变的定义式，得

36. 设中面应变为 则得到一般层合板的应变关系式： 式中kx、ky、kxy仍为中面曲率和扭率。 将上式分别代入面内力式（3－4）和弯曲力矩（3－46）中， 可以推得如下一般层合板的内力——应变关系式，

37. 式中 称为层合板的耦合刚度系数。 对于层合板对称的情况：

38. 可见对称层合板的耦合刚度系数Bij=0,即此类层合板无拉可见对称层合板的耦合刚度系数Bij=0,即此类层合板无拉 —弯之间的耦合效应。 为了使同一块层合板的这些刚度系数易于比较，作正则化处理，Bij*=2Bij/h2 则一般层合板的内力——应变关系式可简写成：

39. N*具有层合板平均应力的含义，k*具有层合板底面应变的含义。 所以由上式可知，B* 为假设层合板中面无应变时层合板平均应力—— 底面应变关系式的系数。系数3的存在，说明正则化弯曲力矩引起中面应变的刚度为正则化面内力引起正则化曲率刚度的三倍。 利用矩阵求逆的方法，可求得一般层合板的正则化应变—内力关系式：

40. 式中αij*为层合板的正则化面内柔度系数。 βij*为层合板的正则化耦合柔度系数。 δij*为层合板的正则化弯曲柔度系数。 刚度系数与柔度系数除βij*不具有对称性外，其余均具有 对称性。 注意，一般情况下，因为分块矩阵不可逆，所以

41. 在对称层合板时，利用 推得 即得 • 3.3.2一般层合板的工程弹性常数 象以往定义工程弹性常数一样，分别设某一内力不为零，而其余五个内力均为零，即可定义各个工程弹性常数。 例如，设Nx*≠0，而其余内力均为零，则得 这再一次说明，对称层合板不存在拉弯耦合或弯拉耦合。

42. 这些关系式表明，一种外力可能引起拉伸（或压缩）、剪这些关系式表明，一种外力可能引起拉伸（或压缩）、剪 切、弯曲、扭转四种基本变形。 面内拉压弹性模量 面内泊松耦合系数 拉剪耦合系数 拉弯耦合系数 拉扭耦合系数

43. 仿照上述方法，可得其他工程弹性常数表达式。(p76)仿照上述方法，可得其他工程弹性常数表达式。(p76) • 3.3.3一般层合板刚度系数的计算 一般层合板面内刚度系数与弯曲刚度系数的定义表达式与对称层合板相同，对称层合板的正则化面内刚度系数计算式（3－24），以及正则化弯曲刚度系数计算式（3－73）同样适用于一般层合板。由于一般层合板不存在中性对称性，所以计算正则化几何因子时必须改用如下形式的公式： （3－144）、（3－145）、 （3－146）、 （3－147）、 （3－148）。

44. 3.3.4两种非对称层合板的刚度 A 规则非对称正交铺设层合板 这里讨论的非对称正交铺设层合板是指0˚铺层和90˚铺层材料相同与体积含量相同的、且每一铺层组中具有相同铺层数的非对称正交铺设层合板。 例如 【08/908】T 或【04/904】2T 或【02/902】4T 或【0/90】8T 它们的铺层组数分别为m=2,4,8,16。顺便指出，非对称层合板的铺层组数m是指整个层合板的铺层组总数，这与对称层合板按一半计数是不同的。

45. 所以，对于这类非对称正交铺设层合板有Aij*=Dij*。所以，对于这类非对称正交铺设层合板有Aij*=Dij*。

46. 此时，层合板为准均匀层合板。对于Bij*≠0，而满足此时，层合板为准均匀层合板。对于Bij*≠0，而满足 Aij*=Dij*条件的层合板称为伪均匀层合板。事实上，当m大到一定数值时，Bij*与Aij*或Dij*相比就很小，可看作准均匀层合板。（m≥8） 另外，依据上述分析，这类非对称正交铺设层合板的刚度系数可构成如下关系式（3－153）

47. 由上式可以看出，面内剪切和扭转变形均不与其他变形耦由上式可以看出，面内剪切和扭转变形均不与其他变形耦 合，因此面内剪切和扭转变形的行为均象单向层合板正轴时一 样。 上式求逆可得书中公式（3－155）。

48. 定义：规则反对称层合板是指包含有两种铺设方向，且相定义：规则反对称层合板是指包含有两种铺设方向，且相 对于中面其铺层方向角的大小相同、符号相反，即 θ（z)= –θ(–z) 上式说明，铺层方向角是坐标z的奇函数。 • B.规则反对称层合板 同样，这里讨论的规则反对称层合板是指Φ铺层与－Φ铺 层材料相同。体积含量相同，且每一铺层组中具有相同铺层数 的反对称层合板。 例如【－ Φ8 /Φ8 】 T 【－ Φ4 /Φ4 】2T 【－ Φ2 /Φ2 】4T 【－ Φ/ Φ 】8T 铺层组数m分别为2，4，8，16。 该反对称层合板铺层模量具有如下特点： （1）拉剪或剪拉耦合分量是反对称的，即是z的奇函数：

49. （2）其余四个分量是对称的，即是z的偶函数。（2）其余四个分量是对称的，即是z的偶函数。 因此，我们可以计算得到如下的刚度系数为零： 另外，依据正则化面内刚度系数的计算公式、正则化弯曲刚度系数的计算公式、正则化几何因子的计算公式、正则

50. 化耦合刚度系数的计算公式，可得： 同样，Dij*=Aij*,但由于一般反对称层合板存在B16*和B26*， 所以是伪均匀层合板。只有当m→∞时， B16*＝B26*＝0，此时 反对称层合板为准均匀层合板。 综合上述分析，这种规则反对称层合板的正则化内力与应 变的关系可写成如下关系式（3－163）