§2 － 1 二重积分

2. §2－1　二重积分

3. f ( i) y = f (x) y a xi b x  i 0 xi+1 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则 如图 　　其中 i[xi, xi+1], xi = xi+1 xi , 表小区间[xi, xi+1]的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.

4. z = f (x,y) z 0 y x D 一、例 1.求曲顶柱体的体积V. 　　设有一立体. 其底面是 xy面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 如图

5. z 0 y x D (i)用曲线将D分成n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. z = f (x,y) z = f (x,y) 如图 Di Di

6. z = f (x,y) f ( i , i) Di ( i , i) (ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体　可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积

7. (iii)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V. 也就是

8. x y Di (iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 如图 其中 ( i , i) Di ,  i = Di 的面积.

9. 2. 非均匀分布物体的质量 (1)平面薄板的质量 M. 　　当平面薄板的质量是均匀分布时, 有, 平面薄板的质量 = 面密度×面积. 　　若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M?

10. y D x 0 　　设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x, y)  0 连续. (x, y)  D. 求该平面薄板的质量M. (i)如图 用曲线将D分成n 个小区域 D1, D2,…, Dn , Di Di的面积记作  i .

11. y D x 0 Di 　　由于(x, y)  0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)在Di上是不变的. 　　从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.

12. (ii)即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一小　片薄板的面密度. 从而, 第 i片薄板的质量 mi ( i , i) i (iii)故, 平面薄板的质量 (iv)

13. 二、二重积分的概念与性质 1.定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数. 　　　　　　将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, …, n), 其面积记为 i. (i, i) Di, 作积 f (i, i) i,

14. 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式 则称f (x,y) 的极限存在且极限值都为I, 在D上可积, 记为f (x,y)  R(D), 并称此极限值 I 为 即 f (x,y)在D上的二重积分. 记作 其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式

15. 注1.定积分 二重积分 区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i, 将一元函数 f (x)在数轴上点 i处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i). 可见, 二重积分是定积分的推广.

16. Di D 注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图) 则除边界上区域外, Di 的面积i = xi  yi, 故也将二重积分写成

17. 注3.可以证明若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y)在D　　上可积, 　　　　若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积.

18. 2. 二重积分的性质. 设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在. 性质1. 性质2. 性质3. 性质4.

19. 性质5. 若在D上有f (x, y)g (x, y), 则 特别: (i) 若在D上f (x, y)0, 则 (ii) 这是因为 | f (x, y)|  f (x, y)  | f (x, y) | 积分后即得.

20. 若在D上 m f (x, y)  M, 则 性质6. 设f (x, y) C(D), 则(,)D, 使得 性质7.

21. 3. 二重积分的几何意义设 x, y 在 D上可积, 则 (i) 当z=f (x, y)0时, (ii) 当z= f (x, y)<0时, (iii) = (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积)

22. y A(x) x a x 0 三、二重积分的计算 1. 直角坐标系下二重积分的计算. 由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时, 如图 若点x处截面面积为A(x), 则体积

23. y y = y2(x) A E D y = y1(x) B F x b 0 a (1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成. 如图 即, D: y1(x) y  y2(x), a x  b 特别情形是 称为x—型区域. A、B退缩成一点, E、F退缩成一点.

24. z z=f(x, y) z=f(x0, y) y y=y2(x) y2(x0) D y=y1(x) y1(x0) x 0 x0 a b 由几何意义知, 如图. 以D为底的曲顶柱体体积V. 过点x0作平面x= x0, 截面是平面x= x0上的, 以z=f(x0, y)为曲边的曲边梯形. 由定积分的几何意义,

25. 从而, 故 右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分). 　　　　　即先将x 看作常数, 以y为积分变量, 求里层积分. 计算原则:由里到外. 　　　　　　　　　得到的结果是只含x, 不含 y的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量).

26. 注1.公式 虽是在条件 f (x, y)  0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是x—型区域即可. 注2.习惯上常将右端的二次积分记作 即

27. y d E x=x1(y) x=x2(y) D c F x 0 (2)类似, 若D: x1(y) x  x2(y), c  y  d, 称为 y —型区域, 则二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分. 即

28. y y y x x x 0 0 0 (3)若D既是 x—型区域, 又是 y—型区域. 比如 等等, 则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分. 此时, 当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.

29. y D2 D D1 D3 x 0 (4)若D的形状较复杂, 既不是 x—型区域, 也不是 　y—型区域. 则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为x—型, 或为 y—型, 分块积. 如图

30. y y = 1(x) y = 2(x) D1 D2 x a 0 b (5) 设D: y1(x) y  y2(x), a  x  b, 为 x —型区域. 其中y2(x)为分段函数. 如图 则 由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式. 　　　　　　　故应将D分成D1, D2, 分块积分.

31. (6) 不论是先对 x积分 还是先对 y积分 　　里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标. 称为从里到外、线—线; 点—点. 且上限下限.

32. y=x2 y y=x x 0 x 例1. 解:先画区域D的图形. 　　　　　　　为确定累次积分的上、下限. 法1. 先对y积分. 作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D. 则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的. 里层积分的下限为x2, 上限为x. 由于该射线变化范围是[0, 1]. 因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即

34. y=x2 y y=x 1 y x 0 1 法2.先对 x积分. 作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D. 则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即 故里层对 x积分的下限为y, 上限为 而该射线的变化范围是[0, 1]. 故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1.

36. y=x2 y y=x+2 1 x 0 2 1 例2. 解:先画D的图形. 先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x从左方曲线y=x2即 右方曲线 y=x+2即 x=2 y. 而 y[0, 1]. 故

37. 所以, 原式 = y=x2 y y=x+2 1 x 0 2 1 问, 若先对 y积分, 情形怎样?

38. y y= x D 0 x 例3.求 解：由于 是“积不出”的，怎么办？ 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形. 由积分表达式知，D： y x  1, 0  y  1 如图： 画曲线 x=y和 x=1，直线y=0, y=1. 故 原式 =

39. 　　由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。　　由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。

40. y 2 D 0 x 4 例4.改换 解：写出D的表达式， 画 D 的图形 改为先对x再对y的积分

41. y y= x 1 D1 D y–x, 当y  x时, D2 = 0 x 1 x–y, 当y < x时, 例5.关于分块函数在D上的积分. 其中D：0  x  1, 0  y  1 解：积分区域如图 记 f (x, y) = | y – x | 且区域D1: y  x和D2: y < x分处在直线y=x的上，下方. 故，原式 =

42. y y= x 1 D1 D D2 0 x 1 注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。

43. 在将二重积分化为二次积分的公式 右边的二次积分不是两个定积分之积， 计算时必须由 但在某些情形下，可将右端 里至外，这当然较繁琐. 化为两个定积分之积。

44. 则 y d c 0 a b x 例6.设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)·f2(y)可积，

45. 比如， 只须要求里层积分 的被积函数f2(y)和 上、下限都与x无关即可。

46. y D1 x 0 D2 关于利用对称性积分的问题 (1) 若D的图形关于x轴对称. (i) 若f (x, –y) = f (x, y), 即函数也关于x轴对称. 其中点(x, –y) 与(x, y) 关于x轴对称， (ii) 若f (x, –y) = – f (x, y),

47. y D2 D1 x 0 (2) 若D的图形关于y轴对称. (i) 若f (–x, y) = f ( x, y). 其中(–x, y)是 (x, y)的关于y轴的对称点. (ii) f (–x, y) = –f( x, y)，则

48. y y= x D1 D2 0 x (3) 一般，若D关于平面上某直线l对称. 对(x, y)D1，有关于l的对称点(x1, y1)D2. 若f (x, y) = f (x1, y1). 若f (x, y)= –f (x1, y1)，则

49. y y= x (x0, y0) y0 (y0, x0) x x0 0 例7.(1) 易知

50. 考虑 若作变量代换x=g(u, v), y=(u, v), 应如何计算作了变量代换后的二重积分？ 2. 二重积分的换元法 定理1.设变换x=g(u, v), y= (u, v)时uov平面上的有　　　界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有　　　界闭区域D，且满足