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*{ 范例 14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度

*{ 范例 14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度. (1) 求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。 (2) 当氢原子主量子数 n 一定时，说明各种角量子数的径向概率密度的分布规律。. 为了简单起见，用 m 表示轨道磁量子数 m l 。. [ 解析 ](1) 求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数 ψ nlm ( r , θ , φ ) 。. 每一组量子数 ( n , l , m ) ，都有一组波函数描述一个确定的状态. ψ nlm ( r , θ, φ ) = R nl ( r ) Θ lm ( θ ) Φ m ( φ ) ，.

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Presentation Transcript

  1. *{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度 (1)求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。 (2)当氢原子主量子数n一定时，说明各种角量子数的径向概率密度的分布规律。 为了简单起见，用m表示轨道磁量子数ml。 [解析](1)求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数ψnlm(r,θ,φ)。 每一组量子数(n,l,m)，都有一组波函数描述一个确定的状态 ψnlm(r,θ, φ) = Rnl(r)Θlm(θ)Φm(φ)， 这里，Φm(φ)是氢原子的经度分布函数，Θlm(θ)是纬度分布函数，Rnl(r)是径向分布函数。 氢原子的经度分布函数为 是归一化常数。 纬度分布函数为 Plm(x)是缔合(连带)勒让德多项式，Nlm是归一化常数

  2. *{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度 在氢原子中取一个体积元dV = r2sinθdrdθdφ = r2drdΩ， dΩ = sinθdθdφ是立体角。 电子出现在距核为r，纬度为θ，经度为φ处的体积元dV中的概率为wnlmdV = |ψnlm|2dV = |Rnl|2|Θlm|2|Φm|2dV。 电子出现在φ到φ + dφ之间的概率为wmdφ = |Φm|2dφ。 根据经度分布函数可知：|Φm|2是常量，因此概率的角分布关于z轴具有旋转对称性。 电子出现在立体角dΩ之内的概率为 wlmdΩ = |Θlm|2|Φm|2dΩ 根据纬度分布函数可得角向概率密度

  3. 当氢原子角量子数为0时(l = 0)，磁量子数只能取0(m = 0)，氢原子中s态电子的角向概率密度wlm呈球状，其剖面是圆。

  4. 当l = 1，m = 0时，氢原子中p态电子的角向概率密度wlm之一呈纺锤状，其剖面是直立的双纽线。

  5. 当l = 1，m = ±1时，氢原子中p态电子的角向概率密度wlm之一呈轮胎状，其剖面是横置的双纽线。

  6. 当l = 2，m = 0时，氢原子中d态电子的角向概率密度wlm之一呈带盘的纺锤状，其剖面是带叶的双纽线。

  7. 当l = 2，m = ±1时，氢原子中d态电子的角向概率密度wlm之一呈双钵状，其剖面是四叶玫瑰线。

  8. 当l = 2，m = ±2时，氢原子中d态电子的角向概率密度wlm之一呈轮胎状。 与l = 1，m = ±1的图形相比，这种轮胎形状更扁。

  9. 当氢原子角量子数l = 3时，磁量子数m可取0，±1，±2，±3，角向概率密度如图所示。 当m = 0时，角向概率密度呈带盘的纺锤状； 当m = l时，角向概率密度呈轮胎状；

  10. 当m是其他数整数时，角向概率密度呈双钵状和带盘的双钵状。当m是其他数整数时，角向概率密度呈双钵状和带盘的双钵状。

  11. *{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度 (2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数的径向概率密度随距离分布的规律是什么？ [解析](2)氢原子薛定谔方程的径向分布函数为 Z为原子序数(氢原子Z = 1)，a0是第一玻尔半径，Mnl是归一化常数(以区别Nlm) 设 是缔合(连带)拉盖尔多项式。 下标n + l表示拉盖尔多项式阶数，即n + l阶拉盖尔多项式Ln+l(x)；上标2l + 1表示对Ln + l(x)求2l + 1阶导数。

  12. *{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度 (2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数的径向概率密度随距离分布的规律是什么？ n + l 阶拉盖尔多项式为 n阶拉盖尔多项式为 对于幂函数y = xk， 其n阶导数为 因此缔合拉盖尔多项式为 氢原子中的电子出现在r到dr之间的概率为wnldr = |Rnl|2r2dr 设k - 2l – 1 = i，即k = i + 2l + 1，可得 径向概率密度为

  13. 当氢原子主量子数n为1时，角量子数l只能取0，径向概率密度wnl随距离的增加先增后减，其峰值出现在r = a0处。

  14. 当主量子数n为2时，如果l为0，径向概率密度有两个峰，两峰之间有一个节点；如果l为1，径向概率密度只有一个峰，峰值出现在r = 4a0处。

  15. 当主量子数n为3时，如果l为0，曲线有3个峰，随着距离增加，一个峰比一个峰高，曲线共有2个节点；如果l为1，曲线有2个峰，1个节点；如果l为2，曲线只有1个峰，峰值出现在r = 9a0处。

  16. 当n = 4时，曲线族如图所示。

  17. 当n = 5时，曲线族如图所示。

  18. 当n = 6时，曲线族如图所示。

  19. 当n = 7时，曲线族如图所示。 比较这些图可知：对于主量子数n来说，角量子数l可取0，1，...，n – 1，共n个值，每条曲线有n - l个峰。当l = n – 1时，峰值出现在r = n2a0处，这个峰比其他曲线的最高峰还要高一些。

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