第 6 章　真直はりの曲げ応力

第6章　真直はりの曲げ応力 6.1　真直はりの曲げ応力 6.2　各種物体の重心または図心　　　線，円板，板材，3次元物体 6.3　断面２次モーメントについて平行軸の定理とその応用 6.4　極断面２次モーメントについて 6.５　はりのまげ強さについて各種はりの断面係数とはり針の強さ第６章　総合演習問題材料の力学

6.1　真直はりの曲げ応力 ☆右図に示すように，集中荷重Pが支点A,Bから距離a離れた点に作用する場合，両端支持はりにかかるSFD,BMDはどのようになるか。 ☆解答　はりがせん断力を受けない条件は，　　　である。この条件を満たすはりは，図に示すように左右対称に荷重を加えればよく，単純曲げ（purebending）はりを作ればよい。 ☆C-D間で曲げモーメントは一定，せん断力はである。図　単純曲げはり材料の力学

中立面，中立軸とは？ ☆中立面（neutral surface)：　曲げモーメントを受けても，伸びも縮みもしない面。　　　　　　　　　　　　　　 ☆中立軸(neutral axis)：　中立面とその垂直横断面との交わる線(軸）演習問題：右図に示したはりおいて，中立面，中立軸はどこか？記号で答えよ。材料の力学

6.1.1　はりの曲げひずみεと曲率半径ｒの関係6.1.1　はりの曲げひずみεと曲率半径ｒの関係 ☆図に示すように，中立面m0n0から距離ｙ離れた円弧m1n1に生じるｘ方向ひずみはεxは ☆材料のポアソン比をνとすれば，ｚ方向のひずみεｚは上の式から材料の力学

6.1.1はりの曲げひずみεと曲率半径ｒの関係(続き）6.1.1はりの曲げひずみεと曲率半径ｒの関係(続き） ☆真直はりの曲げ応力σxについて（6.4）応力分布の解答は次のページＱ１：式(6.4)を使ってｙｚ断面における応力分布σｘを図示せよ。Ｑ２：式(6.4)から応力σｘは，はりの曲率半径ｒ，ヤング率E，はりの中立軸からの距離厚さｙに対してどのようになるか理解できたか。材料の力学

真直はりの上面，下面の応力は？ はりの上面y=-e2の応力：はりの下面y=＋e1の応力：したがって，真直はりにかかる曲げモーメントによって上面は圧縮応力，下面は引張応力を受けることがわかる。なぜこの式になる？だから。材料の力学

はりの曲げ剛性と断面２次モーメント このはりには，x方向に力が働いていない(外力＝０）から，ｘ方向の応力σｘをはりの（ｙ，ｚ）断面内で積分した値は０となるはずである。そこで，次式が成立する。；（6.7）さて，はりの中立軸に関するモーメントの総和は，（モーメント＝力×距離＝応力×面積×距離）曲げモーメントに等しいはずであるから，上の文章右の式が成立つ。：断面２次モーメント（ｍ４）;moment of inertia of area

はりの曲げ剛性と断面２次モーメント（その２）はりの曲げ剛性と断面２次モーメント（その２）式（6.7）を書き換えれば，曲げモーメントMとはりの曲率半径ｒの関係： EIｚ：曲げこわさまたは曲げ剛性（flexuralrigidity） EIzが大きいほど曲がりにくい。曲げ剛性が大きいという。任意のｙ位置の応力： ☆最小圧縮応力と最大引張応力：材料の力学

真直はりの最大圧縮応力と最大引張応力と断面係数の関係真直はりの最大圧縮応力と最大引張応力と断面係数の関係 ☆真直はりの最大圧縮応力，引張り応力一定のモーメントMをかけた場合，材料の断面係数Zが大きいほど曲げ応力は小さくなる。 Ⅰz:断面2次モーメント（ｍ４）， Z1，Z2:断面係数（ｍ３） ☆：断面係数（sectionmodulus）の定義(重要）材料の力学

6.2　各種物体の重心または図心6.2.1　重心の定義6.2　各種物体の重心または図心6.2.1　重心の定義 ☆３次元直交座標系における任意物体の各重心位置は，つぎの定義式から求められる。 :座標系（ｚは重力方向）ｍ：物体の全質量 ρ:物体の密度 V:物体の全体積ｄｖ：微小要素の体積

6.2　各種物体の重心または図心6.2.2　重心，図心および断面１次モーメントの求め方6.2　各種物体の重心または図心6.2.2　重心，図心および断面１次モーメントの求め方 ☆まず物体の密度ρが一定で，物体の形状が（ｘ，ｙ）平面に限定され，重力方向ｚ方向に厚さWが一定な平面的な物体について，一例として（ｘG)の位置を求める。全体の質量ｍおよび区間dxにおける微小質量ｄｍは，同様にｙGはこの形で求められる位置：図心という，

6.2.2　断面１次モーメント定義と図心 ☆断面１次モーメント(面積モーメント）　の定義；Jx，Jy 　単位：（ｍ３） ☆図心とは；　断面一次モーメントの定義から求められる図形の中心位置座標ｘG,yG ； ☆重心・図心ｘG,yGの求め方　単位：（ｍ）； ☆注意：図心は直交2次元座標系に描かれた図形の面積モーメント中心位置座標

1.2　断面１次モーメントの定義と図心 ☆断面１次モーメント(面積モーメント）　の定義；Jx，Jy 　単位：（ｍ３） ☆図心とは断面1次モーメントの定義から求められる図形の中心位置座標ｘG,yG ； ☆重心・図心ｘG,yGの求め方　単位：（ｍ）； ☆注意：図心とは直交2次元座標系に描かれた図形の面積モーメント（ｘｄAなど)によって求められる図形の中心位置座標

6.2.2　断面１次モーメントの定義物体の重心を原点とする場合の断面１次モーメントは？6.2.2　断面１次モーメントの定義物体の重心を原点とする場合の断面１次モーメントは？いま，上図左側の座標系　　　　における物体の重心（ｘG,ｙG)を，右側に示す新しい座標系　　　　の原点（０，０）に一致させ座標軸を平行移動させる。右側の新しい座標系　　　におけるつぎの１次モーメントJxおよびJyはいくらか。；材料の力学

例題：３次元物体の重心密度ρ，板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合例題：３次元物体の重心密度ρ，板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合は ∴重心ｘG； Q１:密度ρ，z方向の板厚W，y方向幅ｔが一定の場合におけるｙG，ｚGを求める公式を作りなさい。 Ans: そこで，公式が作れて Q２:z方向の板厚がw=一定で，x方向の板厚がt=to+axと直線的に厚くなり，ｘ＝Lでt=４toとなる台形板の重心ｘGを求めなさい。Ans(ｘG=3L/5) ；材料の力学

6.2.3　各種物体の重心の例題（１）細長い線要素（丸棒）の重心6.2.3　各種物体の重心の例題（１）細長い線要素（丸棒）の重心 ☆細長い線の密度をρ一定と仮定し，　線の直径をｄ，全長をLとし，微小線要素ｄｘの質量をｄｍ，全質量ｍとすれば，；次の重心の定義式により長い線，全長Lの重心がL/2になることは自明だよね。 ☆こうして，細長い線の重心は線の1次モーメント積分に置きかえられ，質量モーメントｘｄｍではなく，線モーメント(長さ×長さ）ｘｄｘで計算できるのだ。すなわち材料の力学

6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その2）（2）細長い円弧形状をした線要素の重心6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その2）（2）細長い円弧形状をした線要素の重心 ☆円弧の線の場合は図心を求めるのに，半径ｒと角度θ座標で計算した方がより簡単で，分かりやすい。すなわち，右図において； ☆さて，線要素の重心は次に示すように，線積分ｘｄLに置き換えられたので Q：α=π(180°）の細長い半円線の重心XGを求めよ。Ans：XG=2r/π（約0.637ｒ）材料の力学

6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その3）　　　　　（３）平面・板要素の重心，ア）直角定規（スコヤ）の重心　　6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その3）　　　　　（３）平面・板要素の重心，ア）直角定規（スコヤ）の重心　　 ☆板厚が一定な直角定規の重心この場合は，右図に示すように，直角定規を構成する2つの要素の面積A1,A2とその個々要素の重心位置1,2が事前に分かっているから，モーメントの釣り合いの考え方を使うほうが簡単に重心が求められる。すなわち， ☆重要全体の面積モーメント＝個々の面積モーメントの和 X方向重心Ｙ方向重心

6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その4）イ)直角３角定規の重心6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その4）イ)直角３角定規の重心 ☆続いて，右図に示す厚さ一定の直角３角定規の重心（図心）を求めてみよう。この場合は，厚さが一定であるから面積モーメントの定義を忠実に実行すればよい。；ここで断面1次モーメントは ☆図の３角形の相似に着目して ∴ 同様にして，；

6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その5）ウ）板厚一定の半円板の重心6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その5）ウ）板厚一定の半円板の重心 ☆つぎに，右図に示す板厚一定の半円板の重心を各自空欄を埋めながら導こう。微小扇形の面積dAは，扇を三角形と近似すればしたがって，重心は定義どおり積分して

6.2.3　各種物体の重心または図心の例題（その6） エ）円錐体の重心 ☆右図に示される底面半径がRで，高さがｈである円錐体の重心を空欄を埋めながら各自で求めよう。まず，円錐体の全体積および微小な幅ｄｘの円板の体積ｄVは，それぞれ，；さらに，図に示す三角形の相似に着目して， ∴ この関係をｄVに代入すれば ☆重要：立方体の重心は物体の密度が一定であれば体積モーメント（ｘｄV）で求められるから，(証明は各自でしなさい）材料の力学

6.2.3　各種物体の重心または図心の演習例題（その7）オ）半球の重心（図心）6.2.3　各種物体の重心または図心の演習例題（その7）オ）半球の重心（図心）問：右図に示した半球の重心を以下の手順で求めよ。ア）半球の全体積Vは：イ）重心の定義を密度一定の場合に使うとで与えられるからウ）ここで，とおくと，となるから，上の式が積分でき，ここで，材料の力学

重心と図心のまとめ（密度は一定と仮定した場合）重心と図心のまとめ（密度は一定と仮定した場合）重心の定義重心・図心の求め方(平面物体，板厚も一定）重心・図心の求め方（細長い線）重心・図心の求め方（体積要素）材料の力学

第6章2節　重心の総合演習問題（その１） 問：図に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし，細い線で作られた円弧の重心は既に求めたように既知で以下に示す値が使えるものとする。円弧の重心：材料の力学

第6章2節　重心の総合演習問題（その2） 問：図に示す，板厚が一定な３角板と孔ありの長方形板から構成される，平板の重心を求めよ。材料の力学

第6章2節　重心の総合演習問題（その3） 問：図に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。また，特殊な例として，の場合の重心はいくらになるか。材料の力学

6.3　断面２次モーメント ☆すでに6.1節において，単純曲げを受けるはりの応力が，はりの図心からの距離eと断面２次モーメントⅠｚによって影響されることを学んだ。復習：　この節の学習目的は　　１）断面2次モーメントⅠｚの定義を覚えること。　　２）断面係数Zの定義を覚えること。　　３）任意断面形状を持ったはりの断面２次モーメントⅠｚを計　　　　算できるようにすること。である。材料の力学

6.3.1　長方形断面のはりにおける断面２次モーメント平行軸の定理 （parallel axis theorem）その1 ☆上図において，重心G（図心）を通る座標系ｘ-ｙにおいて，ｘ軸まわりの断面２次モーメントⅠxGおよびｙ軸まわりの断面２次モーメントⅠｙGは；；材料の力学

6.3.1　長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント平行軸の定理 （parallel axis theorem）その2 ☆一方，図の右側に示されるように，重心Gから距離ｄ離れた任意のX軸まわりの断面２次モーメントIxは，定義に従って，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さらに，左のｘ-ｙ座標と右のX-Y座標を比較すればであるから，材料の力学

6.3.2　平行軸の定理のまとめ 材料の力学

6.3.3　平行軸の定理の応用　（１）３角形断面のはり6.3.3　平行軸の定理の応用　（１）３角形断面のはり・まず底辺ABに平行で，　図心Gを通る断面２次モーメントIxGは・３角はりの場合，図心Gと底　辺までの距離ｄおよび面積Aは；・底辺ｘ軸まわりの断面2次モーメントIxは；

6.3.3　平行軸の定理の応用　　　　　　　　（２）円形断面のはり6.3.3　平行軸の定理の応用　　　　　　　　（２）円形断面のはり・断面形状が円形の場合は図に示すように，円筒座標ｒ，θで断面２次モーメントを求めた方が計算は簡単である。・任意点における幅ｂ（ｙ）とその微小面積ｄAは・したがって，重心Gをとおるｘ軸周りの断面2次モーメントは丸棒は軸対称だから IxG=IyG 材料の力学

6.3.3　平行軸の定理の応用　　　　　　　　（３）H形鋼断面のはり6.3.3　平行軸の定理の応用　　　　　　　　（３）H形鋼断面のはり H形鋼を図に示すように，面積A0の長方形板材から２個の面積A1 の板材を引いたものと考える。すなわち，重心Gをとおるｘ軸まわりの断面２次モーメントIxGは，材料の力学

6.3.4　極断面２次モーメント☆極断面２次モーメメントIpの紹介6.3.4　極断面２次モーメント☆極断面２次モーメメントIpの紹介 • 円形断面のように軸対称物体の断面２次モーメントIxG,IyGなどは以下に解説する極断面２次モーメメントIpを用いたほうが容易に求められることがある。 Iｐの定義材料の力学

6.3.4　極断面２次モーメントを利用した丸棒の断面２次モーメメントの求め方の紹介6.3.4　極断面２次モーメントを利用した丸棒の断面２次モーメメントの求め方の紹介・図に示した円形はりの断面２次モーメンIｘG，IyGトを極断面２次モーメントIpの定義式から求めなさい。ところで，円形断面では軸対称であるから極断面２次モーメントをといて微小面積ｄA 材料の力学

断面２次モーメントの演習問題（１）銭型平次型断面断面２次モーメントの演習問題（１）銭型平次型断面（１）図に示す丸棒（円板）から長方形を切り出した時の断面２次モーメントを求める。(いわゆる，銭方平次の６文銭) 解答：材料の力学

断面２次モーメントの演習問題（２）三角・四角板+穴抜き円板断面２次モーメントの演習問題（２）三角・四角板+穴抜き円板（２）図に示される孔抜き３角板と長方形板から構成される物体の軸（底辺），すなわち，底辺まわりの断面２次モーメントを，以下の設問手順にしたがって求めよう。 Q1穴抜き合成板材の全面積はいくら？ Q2；底辺軸から測った，１）板材の重心座標はいくらか？２）３角板の重心座標は底辺からいくらか？３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？。４）板材のｘ軸からの断面2次モーメントはいくらか？　　　　　　　　　　５）３角板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？７）以上の結果を使って，Ixを求めよ。８）この図形の重心座標ｙGはいくらか？

断面２次モーメントの演習問題（４）家の側面図を描いてみました断面２次モーメントの演習問題（４）家の側面図を描いてみました（４）図に示すような家の側面図を書いてみました。このような窓付き板材の軸まわりの断面２次モーメントを以下の設問手順にしたがって求めよう。　　　　　　　　　　　　　 Q1；合成板材の全面積はいくらか？ Q2；底辺軸から測った， 1）板材の重心座標はいくらか？２）三角板の重心座標はい　くらか？３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？さて，平行軸の定理，を使って，　　　　　　　　４）板材の軸からの断面2次モーメントはいくらか？５）三角板の軸からの断面２次モーメントはいくらか？６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？　　　７）穴抜き2枚の板材のｘ軸からの２次モーメントはいくらか？８）以上の結果を使って，この家のIxを求めよ。　９）この家の重心ｙGはいくらか？材料の力学

6.4.1　各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数(その１）6.4.1　各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数(その１） ☆復習：断面係数の定義ちなみに，右図に示す長方形断面のはりの断面２次モーメントおよび断面係数Zは材料の力学

6.4.1各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その２）6.4.1各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その２）１．図(a)，(b)，(c)に示す，長方形はりの中立軸に対称な断面の断面係数を求めなさい。解答：（ａ）の長方形が横置きの場合（ｂ）の長方形が縦置きの場合（ｃ）角パイプの場合材料の力学

6.4.1各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その３）6.4.1各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その３）２．図(a)，(b)に示す円形はりの断面係数を求めなさい。解答： (a)中実丸棒の断面係数（ｂ）中空丸棒の断面係数　この場合の断面２次モ－メントは，中実丸棒から中空丸棒の断面２次モーメントを引けばよい。すなわち，材料の力学

6.4.2　各種はりの強さ（その１） １．図に示したように，断面積が一定（質量が同じ）中実丸棒と中空丸棒のはりに，同じ曲げモーメントがかかる場合，どちらがどれほど丈夫であるか。ただし，中実丸棒の外径は中空丸棒の内径と等しいものとする。解答：円形断面のはりの応力はであるから，断面係数Zを比べればよい。断面積が一定の関係から， ∴ つぎに，中実円，中空円の断面係数はそれぞれ，材料の力学

☆第6章　総合演習問題（その１） １．許容曲げ応力60MPaのはりが，1.2×106（N・ｍｍ）の最大曲げモーメントを受ける，必要最小限の断面係数Zはいくらか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答：2×104mm３）２．図に示す長方形の断面を持った両端支持はりについて以下の設問に答えよ。ただし，はりの断面形状は長方形とする。１）支点反力はそれぞれいくらか。　　（解答：，）２）最大曲げモーメントはいくらか　　（解答：）３）断面係数はいくらか　　　　　　　　　　　（解答：）４）最大曲げ応力はいくらか　　　　　　（解答：材料の力学

総合演習問題（その２） ３.図に示すような断面形状の形鋼において，その許容曲げ応力をとするとき，片持ちはりの先端にかける最大荷重はいくらま　で許されるか。材料の力学

総合演習問題（その３） ４．右図に示すような直径ｄ一定の丸棒から長方形断面（ｈ×ｂ）を持ったはりを切り出し，その断面係数Zを最大としたい。ｈとｂの比はいくらにすればよいか５．同一断面積をもつ正方形と円の断面係数を比較し，両者の比を求めよ。材料の力学

総合演習問題（その４） ６．右図に示すような片持ちはりがある。このはりの許容曲げ応力σｂ＝60MPaとすれば，固定端に必要な断面係数Zはどれほどか。またはりの断面を幅b=50mmの長方形とした場合，高さはｈどれほどか。　(解答：Z=5.83×104mm３，h=83.6mm) 材料の力学

総合演習問題（その5） ７．断面が右図に示すような逆T字型はりに一様な　曲げモーメントが作用するとき，このはりの最大応力が最大圧縮応力の1/3になるためにはフランジ幅ｘはどれだけあればよいか。８．右図に示す段付の片持ちはりにおいて，A，Bに生じる最大応力を等しくするには直径D1,D2にどのような関係が必要か。材料の力学

第 6 章 真直はりの曲げ応力