Algebraická teória

1. Algebraická teória Úvod

2. Algebraická teória riadenia: • Nový prístup k analýze a syntéze riadenia lineárnych dynamických systémov • Opis dynamických javov moderné štruktúry algebry • Zjednotenie prístupov stavového priestoru s prenosovými metódami • Nové algoritmy a jednoduché výpočtové postupy, riadiace algoritmy DDC riadenie. • Prenosová funkcia- algebraický objekt. • Zákon riadenia je určený riešením polynomiálnej rovnice • A(z)X(z) + B(z)Y(z) = C(z)

3. Základné definície a pojmy Okruh je množina prvkov, ktorej prvky môžeme navzájom sčítať,odčítať a násobíť s využitím asociatívnych, komutatívnycha distributívnych zákonov. Telesomá definované všetky vlastnosti okruhu a naviac je tudefinovaná operácia delenia. Prenosová funkcia je definovaná ako racionálna funkciapremennej q (q=z), teda ako prvok telesa R(q). Toto teleso môže byť podielovým telesom rôznych okruhov napr.: R(q) - zabezpečuje rýdzosť (bezimpulzné chovanie) spojitých systémov a kauzálnosť diskrétnych systémovRps(q) - rýdzosť a asymptotickú stabilitu spojitých systémovRCs(q) - kauzalitu a asymtotickú stabilitu diskrétnych systémovRf(q) - modálne vlastnosti systémov

4. Diskrétne prenosové funkcie vyjadrujeme v tvare podielu dvoch polynómov premennej z. • Polynómy sú zároveň prvkami okruhov RCs(z)a R(z), a tým umožňujú štúdium konečných stabilných a kauzálnych procesov. • Pri návrhu diskrétnych regulátorov úloha syntézy vedie na riešenie tzv. diofantických rovníc. • Rovnica typuA(z)X(z) + B(z)Y(z) = C(z)sa nazýva • diofantická • - nie sú známe stupne ani koeficienty polynómov X(z) a Y(z) . • Má riešenie vtedy, ak každý spoločný deliteľ prvkov (polynómov) A,B delí prvok (polynóm) C. • PolynómyAz) a B(z) predstavujú známe polynómy procesu riadeniaa polynómy X(z) a Y(z) nepoznáme a určíme ich riešením diofantickej rovnice (predstavujú polynómy diskrétneho regulátora).

5. Rovnica (5.1) je rovnica nad okruhom. Ak B(z) = 0, prechádza rovnica na tvarA(z)X(z) = C(z)(5.2)Rovnica (5.2) má jediné riešenie vtedy, ak C delí A (je deliteľné). • Tento prípad nie je pre úlohy automatickej regulácie zaujímavý, a preto v ďalších úlohách budeme predpokladať, že A0,B0. • Ak označíme najväčšieho spoločného deliteľa A a B ako D, čo zapíšeme d(A,B) = D, potom riešenie diofantickej rovnice (5.1) existuje, ak ľavá aj pravá strana je deliteľná D. • Dá sa dokázať, že uvedená vlastnosť je nutná a postačujúca podmienka preexistenciu riešenia diofantickej rovnice. • Rovnica (5.1) má teda riešenie vtedy, ak D delí C, čo môžeme vyjadriť:A = A´D B = B´'D a C = C‚´D(5.3) • (kde A', B', C' sú redukované polynómy)

6. Ak rovnicu (5.1) krátime D0, potom získame ekvivalentnú diofantickú rovnicuA'(z)X(z) + B'(z)Y(z) = C'(z)(5.4) Ďalej už predpokladáme,že A', B'sú nesúdeliteľné. Diofantická rovnica (5.1) je lineárna, a preto jej riešenie je súčet partikulár-neho riešenia úplnej rovnice a riešenia skrátenej rovnices nenulovou) pravou stranou. Ak označíme partikulárne riešenie rovnice (5.1) X' a Y', potom všeobecné riešenie sa dá vyjadriťXv = X' + B'H Yv = Y' - A´H(5.5)kde H(z) je ľubovoľný polynóm.

7. Ak existuje riešenie rovnice (5.1), potom existuje nekonečne veľaďalších riešení, medzi ktorými je jediné také riešenie, ktoréspĺňa podmienku, že deg(Y)<deg(A´) (kde deg označuje stupeňpremennej z v Y resp. A´). • Toto riešenie dáva minimálny stupeň polynómu Y(z). • Podobným spôsobom sa dá ukázať, že existuje jedinériešenie deg(X) deg(B´),teda s minimálnym stupňom polynómu X(z). • Ak deg(C´)<deg(A´)+deg(B´), obidve minimálne riešenia splývajú.

8. Metóda neurčitých koeficientov riešenia diofantickejrovnice • Prakticky budeme pri riešení diofantickej rovnice postupovaťpodľa nasledujúceho návodu : • určíme stupne polynómov X',Y'(Hľadaný polynóm budeme označovať X', Y'‚kým všeobecné riešenieoznačujeme Xv,Yv) • degA'=deg(A)-deg(A,B);degB'=deg(B)-deg(A,B)degC'=deg(C)-deg(A,B) • kde deg(A,B) označuje stupeň najvyššieho spoločného deliteľa(A,B).

9. a) Ak degA'+degB‚>degC', potom existuje jedno riešenie diofantickej rovnice (5.1), (X´ a Y´označujú partikulárne riešenia)pričom stupne polynómov X' a Y‚sú: degX'  degB'-1 degY'  degA'-1 (5.7) a1) ak degB'=0, potom degX'<degB' a X' je nulový polynóm a2) ak degA'=0, potom degY‚<degA' a Y' je nulový polynóm b) Ak degA'+degB´  degC', potom existuje jedno riešenie, pre ktoré platí: degX'  degB'-1 degY'  degC'-degB' (5.8) alebo degY'  degA'-1 degX'  degC'-degA' (5.9)

10. určíme neznáme koeficienty polynómov X´(z), Y´(z), t.j. [x0,x1,....,xq-1],[y0,y1,...,yr-1]. • Dosadením za polynómy X´(z) a Y´(z) do diofantickej rovnice (5.4), porovnaním pravej a ľavej strany pri rovnakých mocninách z-i,i=1,2,...,q-1 dostaneme sústavu lineárnych algebraických rovníc, riešením ktorých určímekoeficienty polynómov : • X´(z) = x0+x1z-1+...+xq-1z-(q-1)Y´(z) = y0+y1z-1+...+yr-1z-(r-1)

11. Príklad ALG1: Je potrebné nájsť minimálne riešenie diofantickejrovnice: (1+2z-1+z-2)X+(1+z-1)Y = 1+3z-1 A(z) = (1+2z-1+z-2) B(z) = 1+z-1 C(z) = 1+3z-1 Najväčší spoločný deliteľ polynómov d(A,B)=D=1+z-1. Pretože D nedelí C, riešenie diofantickej rovnice neexistuje.

12. Príklad ALG2: Je potrebné nájsť riešenie diofantickej rovnice sminimálnymi stupňami polynómov X(z) a Y(z):(1+2z-1+z-2)X+(1+z-1)Y = 1+z-1 A(z) = 1+2z-1+z-2 B(z) = 1+z-1 C(z) = 1+z-1 Najväčší spoločný deliteľ polynómov A(z) a B(z): D = d(A,B) = 1-z-1, pretože D\C (najväčší spoločný deliteľ polynómov A(z) a B(z) Ddelí C (pravú stranu)), riešenie diofantickej rovnice existuje. Určenie stupňa polynómov A', B': deg(A,B) = deg(1-z-1) = 1 degA'= deg(A) - deg(A,B)= 2-1 = 1; degB'= degB - deg(A,B)= 1-1= 0 degC'= degC-deg(A,B)= 1-1= 0

13. Určenie stupňov polynómov X' a Y' podľa (5.7), resp.(5.8) a (5.9)Pretože platí degA'+degB'>degC', postupujeme pri určovaní stupňovX' a Y' podľa vzťahu (5.7): degX'  degB'-1 = 0-1 = -1, teda degX' = 0 (nulový polynóm) degY'  degA'-1 = 1-1 = 0 Y' je konštanta Y' = y0+0z-1+...+0 Dosadením za X' a Y' do diofantickej rovnice A'X' + B'Y' = C' A'(z) = 1-z-1 B'(z) = 1 C'(z) = 1, diofantická rovnica je potom: (1-z-1).0 + 1.y0 = 1 Riešením je y0 = 1; X´= 0;Y´= y0= 1Všeobecné riešenie: Xv(z) = X' + B'H = H Yv(z) = Y' - A'H = y0-(1-z-1)H kde H je ľubovolný polynóm premennej z-i.

14. Návrh algebraických regulátorov • stabilné časovo optimálne riadenie (slabá verzia) • konečné časovo optimálne riadenie (silná verzia) • konečné časovo optimálne riadenie s ohraničením akčného zásahu (silná verzia s - ohraničením) • feed-forward riadenie (ffw regulátor) • minimalizáciu („kvadratický regulátor“)

15. Časovo optimálne riadenie (slabá verzia Diofantická rovnica:

17. Regulátor: Diferenčná rovnica: