МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.

1. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ. Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ № 32 Иванова Софья Андрияновна Учитель: Стаханова Полина Александровна.

2. Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач. Методы исследования: • 1.Изучение теории по вспомогательной окружности • 2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к применению вспомогательной окружности • 3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и решением задач • 4. Выполнение практической части.

3. Вспомогательная окружность -одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.

4. Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность: Первый признак: Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

5. Второй признак: Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

6. Третий признак: Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. a+b=c+d.

7. Углы, связанные с окружностью. Угол с вершиной вне круга равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла. Угол с вершиной внутри круга равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла.

8. Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.

9. Отрезки, связанные с окружностью. Равные хорды стягивают равные дуги. Радиус перпендикулярен хорде тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.

10. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

11. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

12. Задача№4: Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба. Первый случай: Если угол В - тупой 1.Вокруг ABCD- можно описать окружность. 2. BD- диаметр 3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус). 4.∆MON-равносторонний Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

13. Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности. Задача№1: Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.

14. Задача№2:   В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний.

15. Задача№3: Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ. a М А b 1.Вокруг АВМС можно описать окружность; В 3.АМ -диаметр С

16. Задача№4: Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба. Первый случай: Если угол В - тупой 1.Вокруг ABCD- можно описать окружность. 2. BD- диаметр 3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус). 4.∆MON-равносторонний Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

17. Второй случай: Если угол В – тупой. Второй случай: Если угол В – тупой. • Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

18. Задача№5:  Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. 1. вокруг ABCD можно описать окружность. 2. AD- диаметр; R=13 3.трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё можно описать окружность. HD= 26-18=8. СН= =12 S тр. = =216

19. Задача №7(теорема о квадрате биссектрисы): Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону на которую падает.

20. Задача№8(вспомогательная): Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1 перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус? R= =

21. Задача№6: ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма, так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO.

22. Задача№11(задача Брахмагупта):  Докажите справедливость формулы для треугольника АВС: b*c=h*2R.

23. Задача № 9:  В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМN. С В В С N1 М1 Н M M А А D D N N

24. “ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”. И.Ф. Шарыгин www.themegallery.com