2つの最小特異値下界に対する dqds 法の収束性について 2007年3月4日山本有作　　　　宮田考史名古屋大学　大学院工学研究科　計算理工学専攻

2つの最小特異値下界に対するdqds 法の収束性について2007年3月4日山本有作　　　　宮田考史名古屋大学　大学院工学研究科　計算理工学専攻

目次 • はじめに • 特異値計算のための dqds 法 • シフトによる収束の加速 • 収束性理論解析 • dqds 法 + Ostrowski 型下界 • dqds 法 + Brauer 型下界 • 数値実験 • まとめ

はじめに 0 0 二重対角化対角化 0 0 • 本研究で扱う問題 • 特異値分解 • 計算機を用いた特異値計算 • 行列を扱いやすい形に直交変換 • 直交変換で特異値は不変対角成分に特異値

dqds法（The differential quotient-difference with shift method） 0 0 LR 法による対称正定値行列の固有値計算 0 0 0 ・・・・・・ 0 0 二重対角行列特異値 • 特異値計算の数値解法 • dqds 法 (K. Fernando and B. N. Parlett 1994) • 高速 : Root free • 高精度 : 減算なし　（収束を速めるシフト部分以外） 0 0 0 ・・・・・・ 0 相似変換 0 0 0 0 三重対角行列固有値 = （特異値）2 非対角成分

dqds法のアルゴリズム 0 0

目的 • 在来研究(K. Aishima et al. 2006) • dqds 法の収束性理論解析 • 大域的収束性のための条件 • Johnson 下界 (C. R. Johnson 1989) • 大域的な収束性保証 & 漸近的に 1.5 次収束 • 本研究の目的 • dqds 法の収束性理論解析 • Ostrowski 型下界(C. R. Johnson 1989) • 漸近的に？次収束 • Brauer 型下界(C. R. Johnson 1989) • Nakatsukasa 下界(Y. Nakatsukasa 2006) • 漸近的に？次収束

最小特異値に対する いくつかの下界

シフト選択 • 大域的収束性の十分条件 • 0 ≦ シフト＜ • Johnson 下界（Gerschgorin の定理） • 大域的収束性保証 & 漸近的に 1.5 次収束 • 本研究で用いるシフト • Ostrowski 型下界（Ostrowski の定理） • 大域的収束性保証 • Brauer 型下界（Cassini の卵形） • Nakatsukasa 下界（Cassini の卵形の改良） • 大域的収束性保証

各下界の導出 (1) • Johnson下界，Brauer型下界，Nakatsukasa下界 • 三重対角行列の最小固有値に関する下界から導かれる。 • 補題 • A，B をそれぞれ m×mの対称三重対角行列，上二重対角行列とし， lm(A)，sm(B) をそれぞれ Aの最小固有値，Bの最小特異値とする。このとき，　　さらに，Bの二重対角成分がすべて非零ならば，狭義の不等式が　　成り立つ。

三重対角行列の最小固有値に対する下界 • Gerschgorin 型下界 • Gerschgorin の定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より • Brauer 型下界 • Brauer の定理（Cassini の卵形） • Nakatsukasa 下界 • Brauer 型下界で実は j = k–1 と置いてよいことがわかるので，より

二重対角行列の最小特異値に対する下界 sm < sm < sm < • 三重対角行列に対する3つの下界に補題を適用すると，最小特異値に対する次の3つの下界を導ける。 • Johnson 下界 • Brauer 型下界 • Nakatsukasa 下界二重対角成分が非零の場合，これらはすべて狭義の下界

各下界の導出 (2) • Ostrowski 型下界 • Ostrowski の定理　を非正則行列　に適用し，零固有値を含む領域が存在することを用いると，次の下界を導ける。 sm ≦ Ostrowski 型下界では，等号が成立する場合が起こりうる。

Ostrowski 型下界の等号成立条件 • 定理： Bを二重対角成分がすべて非零の上二重対角行列とする。このとき，次の3つの条件は同値である。 (1) Bに対する Ostrowski 型下界が最小特異値を与える。 (2) Bに対する Ostrowski 型下界の式において，min の中の式が kによらずすべて同じ値を与える。 (3) Bの正規化された右特異ベクトル，左特異ベクトルをそれぞれ x，yとするとき，|yk| = |xk+1| （1≦k≦m – 1）かつ |ym| = |x1| が成り立つ。 • これより，次のことが言える。 • Ostrowski 型下界の値は最小特異値に一致する状況はありうるが，それは極めて特殊な場合である。 • この状況が起こったときは，容易に検知できる。実用上は，狭義の下界を与えると考えても問題ない。

下界のまとめと演算量 • Johnson 下界 • Ostrowski 型下界 • Brauer 型下界 • Nakatsukasa 下界

下界間の関係 大域的収束性の保証 Johnson 下界よりも効果的なシフト（？）より効果的なシフト • 下界 • Johnson 下界 : • Ostrowski 型下界 : • Brauer 型下界 : • Nakatsukasa 下界 : • 包含関係

収束性理論解析

理論的な結果 • 定理 1 （dqds 法 + Ostrowski 型下界） • 漸近的に 1.5 次収束 1 反復 • 定理 2 （dqds 法 + Brauer 型下界） • 漸近的に超1.5 次収束 • （Nakatsukasa 下界に対しても成立）・・・ 0

証明のあらすじ（Ostrowski 型下界，1/5） • シフトの設定法 • Ostrowski 型下界　を使って，シフトを次のように設定。 • すると，（特殊な場合を除いて） 0 ≦sO(n) < sm　が成り立つ。

証明のあらすじ（2/5）

証明のあらすじ（3/5） n が十分大きいとき，シフト量の式が確定

証明のあらすじ（Brauer 型下界） • 証明の道筋は Ostrowski 型下界の場合とほぼ同じ • ただし，各補題の証明において，不等式のより精密な評価が必要 • 特に，「ある整数 Nが存在して，任意の n > Nで Brauer 型下界の値が正となる」ことを示すのが難しい

数値実験

数値実験 • テスト問題 • 厳密解の分かる上二重対角行列 B (n = 10) • Type 1 : (a, b) = (1.0, 0.2) • Type 2 : (a, b) = (1.0, 0.02) • 計算機環境 • PowerPC G5 (2.0 GHz) , Memory (2.0 GB) 特異値分布が密集

収束次数 (Type1) Ostrowski 型下界 Brauer 型下界 • Ostrowski 型下界：漸近的に 1.5 次収束 • Brauer 型下界：漸近的に超1.5 次収束 • Nakatsukasa 下界は，より速く収束

収束次数 (Type2) Ostrowski 型下界 Brauer 型下界 • Ostrowski 型下界：漸近的に 1.5 次収束 • Brauer 型下界：漸近的に超 1.5 次収束 • Nakatsukasa 下界は，より速く収束

収束履歴 Type 1 Type 2 Johnson Ostrowski Brauer Nakatsukasa 収束の速さ　1. Nakatsukasa 下界 2. Ostrowski，Brauer 型下界 3. Johnson 下界

まとめ • 本研究では dqds 法の収束性を理論的に解析した． • Ostrowski 型下界：漸近的に 1.5 次収束 • Brauer 型下界：漸近的に超 1.5 次収束 • 数値実験より • dqds 法のシフトに Ostrowski，Brauer，Nakatsukasa 下界を用いると， Johnson 下界よりも速く収束した． • 今後の課題 • 減次を含めた場合の性能比較 • より多様な行列での性能比較 • より良いシフトの提案と理論解析

2つの最小特異値下界に対する dqds 法の収束性について 2007年3月4日 山本有作 宮田考史 名古屋大学 大学院工学研究科 計算理工学専攻