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13.1 斜率

13. 三角比的應用. 13.1 斜率. 13.2 仰角和俯角. 13.3 方位. A. B. 斜坡的斜率. 求地圖上兩地的斜率. 13.1 斜率. A. B. 方位的表示方法. 利用三角比解決有關方位的問題. 13.3 方位. (a) 斜坡 AB 的 斜率 可用它的上升距離與平移距離的比來表示，即. 上升距離 平移距離. AB 的斜率 = = 。. (b) 斜率可以用來表示傾斜程度，它通常寫成 （或 1 : n ） 的形式，其中 n 是一個整數。. 13.1 斜率.

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13.1 斜率

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Presentation Transcript

  1. 13 三角比的應用 13.1斜率 13.2仰角和俯角 13.3方位

  2. A B 斜坡的斜率 求地圖上兩地的斜率 13.1斜率

  3. A B 方位的表示方法 利用三角比解決有關方位的問題 13.3方位

  4. (a) 斜坡 AB 的斜率可用它的上升距離與平移距離的比來表示，即 上升距離 平移距離 AB 的斜率 = = 。 (b) 斜率可以用來表示傾斜程度，它通常寫成 （或 1 : n）的形式，其中 n 是一個整數。 13.1斜率 • 例題演示 斜坡的斜率 一次方程的意義 A) (c) 當 AB 的傾角是時，它的斜率 = tan。 • 目錄 13.1

  5. 13.1斜率 在圖中，AB 和 AD 代表兩條直路。已知 AC⊥BD，∠ABC = 12°， AC = 2 m 及 BD = 19 m。 (a) 求每條路的斜率，準確至三位小數。 (b) 哪一條路比較斜？

  6. AD 的斜率 在 △ABC中， = 0.209（準確至三位小數） ∴ CD = BD – BC 13.1斜率 • 返回問題 (a) AB 的斜率 = tan 12° = 0.213（準確至三位小數） (b) ∵ AB 的斜率 >AD 的斜率 ∴ 直路 AB 比較斜。

  7. 13.1斜率 下圖所示為一項室內電單車障礙賽中所用的斜台。已知 AC⊥BD，∠ABC = 18°，BC = 3 m 及 CD = 5 m。 (a) 求 AB 和 AD 的斜率，準確至三位小數。 (b) 斜台的哪一邊比較斜， AB 還是AD ？

  8. 在 △ABC中， 13.1斜率 • 返回問題 (a) AB 的斜率 = tan 18° = 0.325（準確至三位小數） 即 AC = BC tan 18° AD 的斜率 (b) 由於 0.325 > 0.195， 所以 AB 的斜率 > AD 的斜率。 ∴ AB 的一邊比較斜。 = 0.195（準確至三位小數） • 重點理解 13.1.1

  9. 上升距離 平移距離 13.1斜率 • 例題演示 求地圖上兩地的斜率 B) 右面的地圖上有一些標示 50 m、100 m 等的等高線。PQ 代表一條傾斜的直路。 PQ 的上升距離 = (150 – 100) m = 50 m PQ 的平移距離 = 地圖上量得 PQ 的長度 20 000 = 2.5  20 000 cm = 500 m PQ 的斜率 = = = • 目錄 13.1

  10. 13.1斜率 比例尺 1 : 60 000 附圖是大嶼山昂坪附近的地圖。現正計劃沿 AB 興建一條纜車路軌，連接東涌和昂坪。在地圖上，AB 的水平距離是 4.8 cm。 (a) 求 AB 的斜率，答案以 1 : n 的形式表示，其中 n 須準確至最接近的整數。 解 (b) (i) 求 AB 的傾角，準確至最接近的度。 (ii) 求 AB 的實際長度，準確至最接近的 10 m 。 解

  11. = 4.8  m 上升距離 平移距離 13.1斜率 • 返回問題 (a) AB 的上升距離 = 400 m 設 AB 的斜率是 1 : n。 AB 的平移距離 = 4.8  60 000 cm = 2 880 m = 7（準確至最接近的整數） ∴ AB 的斜率是 1 : 7。 ∴ AB 的斜率 =

  12. 則 (ii) ∵ ∴ 13.1斜率 • 返回問題 (b) (i) 設 AB 的傾角是， ∴  = 8° （準確至最接近的度） ∴ AB 的傾角是 8°。 = 2 910 m（準確至最接近的 10m） ∴ AB 的實際長度是 2 910 m。

  13. 13.1斜率 右圖為大嶼山中部鳳凰山一帶的地圖，A 點是三條小徑的交匯處。假設 AP 是由 A 點直達山峰的一條陡斜直路，而在地圖上量得 AP = 5.2 cm。 • 求 AP 的斜率。由此，求直路 AP 的傾角。（答案須準確至三位有效數字。） 解 (b) 明慧在 A 點望向天壇大佛，測得她視線的傾角為 10.7°。如果在地圖上量得 A 點與天壇大佛的距離為 4.7 cm，求天壇大佛離水平面的高度，準確至最接近的 m。 解

  14. = 上升距離 平移距離 13.1斜率 • 返回問題 (a) AP 的上升距離 = (933 – 200) m = 733 m AP 的平移距離 = 5.2  36 000 cm = 187 200 cm = 1 872 m ∴ AP 的斜率 = = 0.392（準確至三位有效數字） 設 AP 的傾角為， 則 tan = 0.391 56  = 21.4° （準確至三位有效數字） ∴ AP 的傾角是 21.4°。

  15. 則 13.1斜率 • 返回問題 (b) 由 A 至天壇大佛的平移距離 = 4.7  36 000 cm = 169 200 cm = 1 692 m 設由 A 至天壇大佛的上升距離為 d m， d = 1 692 tan 10.7° = 319. 71（準確至五位有效數字） ∴ 天壇大佛離水平面的高度 = (200 + 319.71) m = 520 m （準確至三位有效數字） • 重點理解 13.1.2

  16. 13.2 仰角和俯角 • 例題演示 (a) 當一個人觀察一件位置比他高的物體時，他的視線與水平線所形成的角稱為仰角。 (b) 當一個人觀察一件位置比他低的物體時，他的視線與水平線所形成的角稱為俯角。 (c) 由一點 B 測得另一點 A 的仰角，與由 A 點測得B 點的俯角的角度是相等的。

  17. 13.2 仰角和俯角 參看附圖，求 (a) 由 Q 測得 P 的俯角； (b) 由 R 測得 Q 的仰角。 (a) 由 Q 測得 P 的俯角 = 30° (b) 由 R 測得 Q 的仰角 = 15° + 60° = 75°

  18. 13.2 仰角和俯角 由一個距離中銀大廈204 m 遠的巴士站位置，可測得大廈頂端的仰角是 61°，求中銀大廈的高度。 （答案須準確至最接近的m。）

  19. 13.2 仰角和俯角 • 返回問題 如圖標示 △ABC， AC = BC tan 61° = 204 tan 61° m = 368 m（準確至最接近的m） ∴ 中銀大廈的高度是 368 m。

  20. 13.2 仰角和俯角 從比薩斜塔離地 50 m 高的 P 點觀察到一名在 A 點的跳傘表演者的俯角為 10°。當跳傘員垂直降落地面 B 點時，則測得他的俯角為 70°。求其間跳傘員下降的距離 (AB)。（答案須準確至三位有效數字。）

  21. 如附圖，在 △PQB中， ∴ PQ = = tan 10° m 13.2 仰角和俯角 • 返回問題 在 △PQA中， ∴ QA = PQ tan 10° ∴ AB = QB – QA = 46.8 m（準確至三位有效數字） ∴ 跳傘員下降的距離是 46.8 m。

  22. 13.2 仰角和俯角 由一艘在 P 點的渡輪，可測得自由神像頂部 A 點的仰 角為 30°。由另一艘在 Q 點的渡輪，則可測得 A 點的 仰角為 40°。如果 P 點與 Q 點相距 270 m 且 PBQ 是 一條直線，求自由神像的高度 (AB)。 （答案須準確至二位有效數字。）

  23. ∴ PB = ∴ BQ = ∴ 13.2 仰角和俯角 • 返回問題 參看右圖，設 AB = h m。 在 △APB中， 在 △AQB中， = 92（準確至二位有效數字） ∵ PB + BQ = PQ = 270 m ∴ 自由神像的高度是 92 m。 • 重點理解 13.2.1

  24. 13.3方位 方位的表示方法 A) • 象限角 Nx°E、Nx°W、Sx°E 和 Sx°W （其中 0 < x <90）稱為象限角，是表示方位的一種方法。 例如：在圖中，由 A測得 B的方位是 S20°W。

  25. 13.3方位 • 例題演示 方位的表示方法 A) (b) 方位角 方位角是表示方位的另一種方法。我們由正北開始，並按順時針方向量度有關角度。方位角是以 y° 的形式表示，其中 y 通常寫成一個三位整數且 0 ≦y <360。 例如：在圖中，由 A測得 B的方位是 320°。 • 目錄 13.3

  26. 13.3方位 參看附圖，求由 O 點分別測得 A 點和 B 點的象限角。 由 O 點測得 A 點的象限角是 N50°E。 ∵= 90° – 62° = 28° ∴ 由 O 點測得 B 點的象限角是 S28°W。

  27. 13.3方位 參看附圖，求由 O 點分別測得 A 點和 B 點的方位角。 由 O 點測得 A 點的方位角是 008°。 由 O 點測得 B 點的方位角是 290°。 • 重點理解 13.3.1

  28. 13.3方位 • 例題演示 利用三角比解決有關方位的問題 B) 很多涉及方位的問題都可以利用三角比來解決。 • 目錄 13.3

  29. 13.3方位 在圖中，A、B、C 是三艘船，其中∠CAB = 70° 及∠ACB = 45°。如果由 A 測得 C 的象限角是 N10°E，求 (a) 由 A 測得 B 的象限角； (b) 由 C 測得 B 的方位角。

  30. 13.3方位 • 返回問題 (a) 設 P 是位於 A 正北方的一點。 ∠PAB = 10° + 70° = 80° ∴ 由 A 測得 B 的象限角是 N80°E 。 (b) 作 DC // AP 。（參看左圖。） ∠ACD = ∠PAC = 10° ∠DCB = 45° – 10° = 35° 由 C 測得 B 的方位角 = 180° – 35° = 145°

  31. 13.3方位 在圖中，C 代表一隻小船，而 P 及 R 代表兩個碼頭。已知 Q 點在 C 以南 500 m 的位置，且 PQR 是一條垂直於 CQ 的直線。又已知由 C 測得 P 的方位是 S58°W，以及由 R 測得 C 的方位是 N36°W。

  32. 13.3方位 (a) 求由 C 測得 R 的方位。 (b) 求以下兩點的距離。 (i) R 與 C (ii) P 與 C （答案須準確至三位有效數字。） (c) 如果小船要選擇最短的航線泊岸，它應該駛往哪一個碼頭？ 解 解 解 (a) 參看右圖。  = 36° ∴ 由 C測得 R的方位是 S36°E。

  33. 13.3方位 返回問題 (b) (i) 考慮 △CQR， = 618 m（準確至三位有效數字） ∴ R 與 C 的距離是 618 m。

  34. 13.3方位 返回問題 (b) (ii) 考慮 △CPQ， = 944 m（準確至三位有效數字） ∴ P 與 C 的距離是 944 m。 (c)因為 CR <PC ， 所以小船應該駛往碼頭 R。

  35. 13.3方位 圖中的 C 點表示位於蒲台島的燈塔，它是香港境內最南端的燈塔。A 、B 表示兩艘遊艇。已知由 C 測得 A 和 B 的方位分別是 197° 和 160°，而由 A 測得 B 的方位則是 070°。 (a) 求∠ACB 和∠ABC。 (b) 如果 BC = 100 m， 求 CA 的長度。 （答案須準確至最接近的 0.1 m。） 解 解

  36. 13.3方位 返回問題 (a) 如右圖標明， z + 70° = 180° z = 110° x + 160° = 180° ∴ x = 20° 197° – y = 180° ∴ y = 17° ∴ ∠ACB = x + y = 20° + 17° = 37° 在 △BCD 中， ∠ABC + x = z ∠ABC + 20° = 110° ∴ ∠ABC = 90°

  37. ∴ 13.3方位 返回問題 (b) 由 (a) 部結果可知 △ABC是一個直角三角形。 ∵ ∠ACB = 37° = 125.2 m（準確至最接近的 0.1 m）  完  • 重點理解 13.3.2

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