第六章積分方法

第六章積分方法 • 課程目標 • 基本積分公式 • 代換積分法 • 部分積分法 • 積分表法 • 瑕積分 • 數值積分法

基本積分公式 • 這些基本積分公式可以直接由微分公式反向推導而得。當使用連鎖律來計算微分時，這時反向求積分的過程稱為代換積分法(integration by substitution)。 • 第五章已介紹過積分的基本概念，也推導出幾個基本定理及公式。這些公式整理如下： 6-1 代換積分法

代換積分法 • 考慮 f(x) = (x4+1)3。其微分 f '(x) 可以由連鎖律求得 f '(x) = 3(x4+1)24x3 • 計算 f '(x) 的不定積分時我們引進新的變數如下：u = x4 + 1，則且 • 將不定積分中的 x4 + 1代換為 u且 4x3dx代換為 du，結果為 6-1 代換積分法

代換積分法 • 一般而言，在不定積分中，令 u = g(x) 則或 • 代回原式，得 • 找出 f 的反導數 F即可求出此不定積分如下： 6-1 代換積分法

利用代換積分法求不定積分 • 求。 • 求。 • 求。 • 求定積分。 6-1 代換積分法

代換積分法求定積分 • 定理6-1: 若函數 g'(x) 在 [a, b] 區間連續且 f(x) 在 g(x) 的值域亦連續，則 • 利用定理6-1求定積分 • 求 • 求不定積分 • 求，。 6-1 代換積分法

部分積分法 • 首先複習的乘法規則，對兩個可微的函數 u(x) 及 v(x) ，乘法規則為我們對等號兩邊進行積分，可得或將上式移項可得這個公式代表的積分方法稱為部分積分法(integration by parts)。 6-2 部分積分法

解: 令 u = x，dv = exdx；則 du = dx，v = ex。由部分積分法得部分積分法 • 部分積分法的關鍵是如何適當地選擇 u與 dv，使得等式右邊的不定積分會比原來的簡單。試作幾個範例後，就更能掌握此方法的精義。 • 利用部分積分法求不定積分 • 求。 6-2 部分積分法

如何選擇 u 與 dv • 上例中我們選擇 u = x，dv = exdx，將原式的積分轉換成較簡單的積分。如果我們選擇 u = ex，dv = xdx，這時 du = exdx，由部分積分法得這個積分比原來還要複雜。 • 一般來說u與 dv的最佳選擇有時需經嘗試錯誤的過程。但仍有以下的規則可供參考： • 1. 選擇 dv 為積分式中較複雜的部分，且容易求出其反導數。 • 2. 選擇 u使得 u' 的函數形態較 u簡單。 6-2 部分積分法

求不定積分 • 求。 • 解: 我們選擇 u = lnx。所以 u' = 1/x，其函數形態較 lnx簡單，因此dv = x2dx。故得 du= (1/x)dx，v = (1/3)x3。 6-2 部分積分法

求不定積分 • 求。 • 解: 令 u = x - 3，du = (x + 2)7，得 du = dx，v = (1/8) (x + 2)8，所以 6-2 部分積分法

求現值 • 某公司每年有 200t萬元的現金流入，其中 t表示現在開始之年度。在連續型的複利水準為 10% 時，求未來 5 年此現金流量的現值。 • 解: 先複習現金流入凈值的公式。如果每年產生的現金流入為 R(t) ，則T年的現值為所以 6-2 部分積分法

部分積分法 • 部分積分法的公式：是積分版的乘法規則。選擇 u與 dv的規則是為了使變換之後的變得更簡單。依據此規則我們整理出以下的結論供讀者參考： 6-2 部分積分法

求。 積分表法 • 求。 • 解: 分母 x2 - 9 的格式為 x2-a2 (其中 a = 3 )，使用積分表格式含 x2 -a2者，公式18： • 解:由公式13： 6-3 積分表法

解: 積分表中並無公式含 x4。但是 x4 = (x2)2，所以從含有 x2的公式著手。由公式21：利用代換積分法，令 x = u2，dx = 2udu，得將上式等號兩邊除以2，將 u換成 x即得利用代換積分法與積分表法 • 求。 6-3 積分表法

解:積分表內含 eax與 ln x的公式沒有這種形式的積分。但是如果令 e-t = x這時分母變成 x + 1，所以可以使用公式11：利用代換積分法，令 x = e-t，得 dx = -e-tdt，因此利用代換積分法與積分表法 • 求。 6-3 積分表法

解: 積分公式25： 應用積分公式若干次 • 求。等號右邊是另一個新的積分形式，但是 x的冪由 n降為 n- 1。應用公式若干次直到 x的冪降至 0 止。 6-3 積分表法

瑕積分 • 函數 y = f(x) 在 x = a與 x = b之間與 x軸所圍區域的面積為其中 f(x) 在 [a, b] 區間內為非負的連續函數。在許多的應用領域裡， a與 b所構成的區間任一方都可以延伸至無窮遠。這三種可能的區間表列於右，其對應的積分則稱為瑕積分(improper integral)。 6-4 瑕積分

瑕積分 • 定義6-1: 設 f(x) 在 [a, ) 區間連續，瑕積分定義為下述極限若此極限存在，則稱瑕積分收斂。當極限不存在時，則稱瑕積分發散。 • 一些常見的在無窮大處的極限: 6-4 瑕積分

求。 • 解:先求1至 b的定積分，然後令 b趨近無窮大求極限。發散。求瑕積分 • 求。 • 解:先求1至 b的定積分，然後令 b趨近無窮大求極限。 6-4 瑕積分

求現金流量的現值 • 一片國有林每年產出價值 10000 萬元的原木。10 年的原木產值為 10(10000) = 100000 萬元。原木的產值我們可以看成為每年 10000 萬元的收入流量，雖然其10年的名目價值為 100000 萬元，但是這 10年的收入流量的現值應該小於 100000 萬元，因為以現行利率水準計算的機會投資利潤在實際收到現金時已經流失了。假設名目利率 r = 0.1 = 10%且 10 年中均不變 6-4 瑕積分

求現金流量的現值 • 如果這片森林能永遠一直持續每年產出 10000 萬元，則其現值為何？換言之，什麼是這片林地該有的公正價值？這稱為收入型資產的資本價值(capital value)。雖然林地可以一直生產原木直到無限長的時間，但是其現值並非是無窮大的。我們先將收入流量的現值算至 T年: 當 T → 時取極限，這就是每年收入流量 10000 萬元以名目利率 10% 的連續型複利所算出來的現值。 6-4 瑕積分

求基金規模 • 設立一個基金，希望該基金每年能有 20 萬的利息收入供做獎學金之用直到永遠。假設連續型複利為 5%，則第t年所產出的 20 萬元在銀行應存入的金額為200000e-0.05t 。 • 因此希望永遠產出 20 萬元的基金其規模應為基金規模每年產出20萬的基金規模只需400萬元 6-4 瑕積分

求瑕積分 • 定義6-2: 設 f(x) 在 (- , a] 區間連續，瑕積分定義為下述極限若此極限存在，則稱瑕積分收斂。當極限不存在時，則稱瑕積分發散。 • 定義6-3: 設 f(x) 在 (- , ) 連續，則定義若兩個極限均存在，則稱瑕積分收斂。若有一極限不存在，則瑕積分為發散。 6-4 瑕積分

數值積分法 • 許多函數不容易找到其反導數。對於這類函數，微積分基本定理派不上用場，這時只能使用數值近似法(numerical approximation)求其定積分。 • 我們用矩形來近似曲線下的面積，這些矩形的面積和稱為黎曼和。然而，這些矩形面積低估了實際的面積，如圖所示，曲線下白色部分就是其誤差(error)。 6-4 數值積分法

如何提高精確度 • 要提高精確度，可以增加矩形的數量，但必須增加許多計算且仍存在白色區域的誤差。此外，是否可以用更契合此曲線的圖形代替矩形呢？我們可以連接兩個矩形的頂點使圖形更接近曲線y = f(x) ，如圖所示。即我們可以使用梯形(trapezoid)來近似曲線下的面積。顯然地，使用此種方法要比使用矩形來得更精確。使用梯形法誤差區域遠小於使用矩形法。 6-4 數值積分法

梯形法 • 利用 n個梯形求的近似值的步驟： • 1. 計算 Dx = (b – a) / n。 • 2. 計算 x1, x2, …, xn+1 的值： x1 = a, xi = a + (i - 1)Dx, i = 2, …, n + 1, xn+1 = b。 • 3. 積分的近似值為 6-4 數值積分法

梯形法求積分 • 利用四個梯形近似。 • 解:1. 計算Dx = (5-1) / 4 = 1。 2. 計算xi與 f(xi) ，i = 1, 2, … , 5。如右表：而其正確值為 ln 5  1.6094 6-4 數值積分法

梯形法的誤差 • 定理6-2: 利用 n個梯形來近似的積分值，其誤差滿足下式：誤差其中 M為 |f ''(x)| 在 [a, b] 區間的最大值。 • 求梯形法的誤差 • 利用四個梯形近似，估計其誤差上限。 • 解:因為 f(x)= 1/x，所以 f ''(x) = 2x-3。 f ''(x) 在 [1, 5] 區間的最大值 M = 2。由定理6-2 得知誤差的上界為誤差 6-4 數值積分法

辛普森法 • 根據定理6-2，可知要增加積分近似值的精確度可以提高梯形的個數，就是增加 n。此外也可考慮每一小段的曲線不再使用梯形近似之，而將梯形頂端的直線改用「曲線」(拋物線)來代替。 • 我們觀察到每條拋物線涵蓋了兩個區域，因為界定二個區域的三點決定一條拋物線。使用這個方法時要求區域的個數必須為偶數。這方法以最早的使用者來命名，稱為辛普森法(Simpson's rule)，又稱為拋物線近似法(parabolic approximation)。 6-4 數值積分法

辛普森法 6-4 數值積分法

因此辛普森法所求的近似值為 辛普森法求積分 • 利用辛普森法以 n = 4 近似之值，計算至小數點第4 位。而其正確值為 ln 5  1.6094這個誤差已經非常小了。 6-4 數值積分法

辛普森法的誤差 • 定理6-3: 以 n個區域，利用辛普森法求的近似值其最大可能誤差為誤差其中 M為 |f(4)(x)| 在 [a, b] 區間的最大值。 • 這個誤差公式含有求 f(x) 的四階導數在 [a, b] 區間的最大值，是其計算上最困難之處。公式中的 n4表示子區域每增加1倍，則誤差將縮小16倍。 6-4 數值積分法

估計誤差 • 求使用多大的 n，會使上例的近似值誤差小於0.005。 • 解:因為 f(x) = x-1，所以 f (4)(x) = 24x-5。 f (4)(x) 於 [1, 5] 的最大值 M = 24 。根據定理6-3，我們希望n能滿足解此不等式，可得當 n = 13 ，可得 134 = 28561 > 27307。又因 n必須為偶數故取 n = 14 。束第六章結 6-4 數值積分法

第六章 積分方法