§4.5 (1) 单叶双曲面

§4.5 (1) 单叶双曲面 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：

第一章 点坐标第二章轨迹方程曲面曲线普通参数第三章方程与关系平面与直线第四章常见曲面和二次曲面一般曲面第五章二次曲线的一般理论一般曲线

一、概念 在空间直角坐标系中，由方程所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程. 方程与表示的曲面也是单叶双曲面.

二、性质 1. 对称性中心：坐标原点（1个）; 主轴： x轴、y轴和z轴（3条）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3个）. 2. 截距和顶点则z 轴上没有顶点； x=0, y=0 →z无解, x=0, z=0 →y = ±b, 则y轴上有顶点: （0，±b ，0）（2个）； z=0, y=0 →x = ±a, 则x轴上有顶点: （±a，0，0）（2个）.

3.主截线 实轴为y轴, 虚轴为z轴; : 双曲线 (1) 实轴为x轴, 虚轴为z轴; (2) : 双曲线 (3) : (腰椭圆）.

4.平行截线 无论h取何值，此方程组总表示在平面: 上的椭圆，它的两半轴为：与此时椭圆的两轴端点（± ，0， h）与（0， ± ， h）分别在两条主截线（双曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.

结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。三、图形根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下：

主双曲线（yoz面） 主双曲线（xoz面）腰椭圆（xoy面）

主双曲线 （yoz面）主双曲线（xoz面）腰椭圆（xoy面）

四、总结 单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此，在美国有一座天文馆，就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。“抽象的几何图形，一旦纳入审美的艺术范畴，会带来特殊的美感，因此，在观察几何图形时应重视美的联想。”（摘自“解析几何教学中的审美教育”，马世祥等，甘肃高师学报，2005，Vol.10 NO.2）作业：P165习题3,4,5.

已知轨迹求方程： 矢量式参数方程； 1.求出坐标式参数方程； 2.写出 3. 转化为普通方程。

已知方程， 求空间轨迹：参数方程数参数（一个参数为曲线， 1. 两个参数为曲面。） 2. 普通方程看形式（联立方程组为曲线，单独一个方程为曲面。）

(0≤t <+) 1. 只有一个参数t, 表示空间曲线。 (<u<+, <t<+) 2. 有两个参数u、t, 表示空间曲面。

1. 联立方程组的形式，表示曲线。 x=0 2. 单独一个方程，表示曲面（平面）。判断：（1）（2）

1.常见曲面 图形 → 方程方程 →图形 2.二次曲面 (1)对称性 (2)顶点 (3)主截线 (4)平行截线

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