二、有限多重集的 r- 组合数设多重集 S={n 1 ·a 1 ,n 2 ·a 2 ,…,n k ·a k }, n=n 1 +n 2 +…+n k ，

令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质Pi(i=1,2,3)的10-组合全体。则S的10-组合数等于令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质Pi(i=1,2,3)的10-组合全体。则S的10-组合数等于 • 二、有限多重集的r-组合数 • 设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}, n=n1+n2+…+nk， • 当r<n，且存在某个ni<r时，S的r-组合数没有一般的求解方法，但可利用容斥原理予以解决 • 例：求S={3·a,4·b,5·c}的10-组合数。 • 解：把容斥原理应用到多重集D={·a, ·b, ·c}的所有10-组合的集合Y上， • 则S的10-组合全体即为Y的子集。 • 令P1表示D的10-组合中多于3个a这一性质， • P2表示D的10-组合中多于4个b这一性质， • P3表示D的10-组合中多于5个c这一性质，考察A1：A1是D的10-组合中多于3个a的组合全体，即A1是D的10-组合中a至少出现4个的组合全体。对A1的任一10-组合中拿走4个a，就是D的6-组合。对D的任一6-组合，加入4个a，就是a至少出现4个的10-组合，所以|A1|就是D的6-组合数，即 |A1|=C(3+6-1,6)=C(8,6)=C(8,2)，

考察A2：A2是D的10-组合中多于4个b的组合全体 • 即A2是D的10-组合中b至少出现5个的组合全体 • 对A2的任一10-组合中拿走5个b，就是D的5-组合。 • 对D的任一5-组合，加入5个b，就是b至少出现5个的10-组合， • 所以|A2|就是D的5-组合数，即 • |A2|=C(3+5-1,5)=C(7,5)=C(7,2)， • 考察A3：A3是D的10-组合中多于5个c的组合全体， • 即A3是D的10-组合中c至少出现6个的组合全体 • 对A3的任一10-组合中拿走6个c，就是D的4-组合。 • 对D的任一4-组合，加入6个c，就是c至少出现6个的10-组合， • 所以|A3|就是D的4-组合数，即 • |A3|=C(3+4-1,4)=C(6,4)=C(6,2)，

考察A1∩A2：A1∩A2是D的10-组合中多于3个a和多于4个b的组合全体，考察A1∩A2：A1∩A2是D的10-组合中多于3个a和多于4个b的组合全体， • 即A1∩A2是D的10-组合中a至少出现4个且b至少出现5个的组合全体。 • 对A1∩A2的任一10-组合中拿走4个a和5个b就是D的1-组合。 • 对D的任一1-组合，加入4个a和5个b,就是a至少出现4个且b至少出现5个的10-组合， • 所以|A1∩A2|就是D的1-组合数，即 • |A1∩A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1)，

考察A1∩A2∩A3：A1∩A2∩A3是D的10-组合中多于3个a、多于 4个b和多于5个c的组合全体，即A1∩A2∩A3是D的10-组合中a至少出现4个,b至少出现5个且c至少出现6个的组合全体，这样的组合是不存在的。所以|A2∩A3|=| A1∩A2∩A3|=0。因此 • 考察A1∩A3：A1∩A3是D的10-组合中多于3个a和多于5个c的组合全体， • 即A1∩A3是D的10-组合中a至少出现4个且c至少出现6个的组合全体。 • 对A1∩A3的任一10-组合中拿走4个a，6个c就是D的0-组合。 • 所以|A1∩A3|就是D的0-组合数，即 • |A1∩A3|=1， • 考察A2∩A3：A2∩A3是D的10-组合中多于4个b和多于5个c的组合全体， • 即A2∩A3是D的10-组合中b至少出现5个且c至少出现6个的组合全体， • 这样的组合是不存在的。

例：求x1+x2+x3=5(0x12,0x22,1x35)的整数解个数。例：求x1+x2+x3=5(0x12,0x22,1x35)的整数解个数。 • 解:将约束条件一律改为0。 • 令x3'=x3-1， • 则原问题即为求在约束条件0x12, 0x22,0x3'4下x1+x2+x3'=4的整数解个数。 • 此问题与多重集S={2·a,2·b,4·c}的4-组合数相同。 • 把容斥原理应用到多重集D={·a,·b,·c}的所有4-组合的集合Y上，则S的4-组合全体即为Y的子集。

令P1表示D的4-组合中多于2个a这一性质，P2表示D的4-组合中多于2个b这一性质，P3表示D的4-组合中多于4个c这一性质，令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质 Pi(i=1,2,3)的 4-组合全体。则4-组合数等于

考察A1：A1是D的4-组合中多于2个a的组合全体， • 即A1是D的4-组合中a至少出现3个的组合全体。 • 对A1的任一4-组合中拿走3个a，就是D的1-组合。 • 又对D的任一1-组合，加入3个a，就是a至少出现3个的4-组合， • 所以|A1|就是D的1-组合数，即 • |A1|=C(3+1-1,1)=C(3,1)， • 考察A2：A2是D的4-组合中多于2个b的组合全体， • 即A2是D的4-组合中b至少出现3个的组合全体。 • 对A2的任一4-组合中拿走3个b，就是D的1-组合。 • 对D的任一1-组合，加入3个b，就是b至少出现3个的4-组合， • 所以|A2|就是D的1-组合数，即 • |A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1)，

考察A3：A3是D的4-组合中多于4个c的组合全体 • 即A3是D的4-组合中c至少出现5个的组合全体, • 这样的组合是不存在的。即|A3|=0 • 考察A1∩A2：A1∩A2是D的4-组合中多于2个a和多于2个b的组合全体， • 即A1∩A2是D的4-组合中a至少出现3个且b至少出现3个的组合全体。 • 这样的组合是不存在的。即|A1∩A2|=0， • 类似可以知道|A1∩A3|=|A2∩A3|=| A1∩A2∩A3|=0。 • 因此

三、错位问题 • 现在考虑这样的问题：在书架上有5本书，把它们全部拿下来，然后再放回去，要使得没有一本在原来位置上，有多少种放法？ • 这就是错位排列问题。 • 定义：设集合S={1,2,…,n}，如果S的一个排列，i1,i2,…,in,满足i11,i22,…,inn,则称该排列是S的一个错位排列。S的所有错位排列数记为Dn。 • 当n=1时，只有一个数，不存在错位，所以D1=0； • 当n=2时，1,2错位，只能排成2,1，所以D2=1； • 当n=3时，1,2,3错位，可排成2,3,1，或3,1,2，所以D3=2；

定理：对于n1，有 证明：设S={1,2,…,n}，用X表示S的所有排列集合，则|X|=n!。对于j=1,2,…,n，规定在一个排列中，如果j在第j个位置上，则该排列具有性质pj。令Aj表示具有性质pj的所有排列集合。则S的错位排列全体是：

例：(1)重新排列1,2,…,8,9，使得偶数在其自然顺序位置上，而奇数不在其自然顺序位置上，问满足这样要求的排列个数是多少？例：(1)重新排列1,2,…,8,9，使得偶数在其自然顺序位置上，而奇数不在其自然顺序位置上，问满足这样要求的排列个数是多少？ • (2)若要求只有4个数在原来位置上，又有多少种排列个数？ • 解：(1)偶数在原来位置上，因此仅是把1,3,5,7,9重新排列问题， • 现要求奇数错位，因此是5个元素错位排列问题， • 所以D5=44。 • (2)在1,2,…,8,9中，只有4个数在原来位置上， • 对于确定的4个数，实质上是对其余5个数的错位排列问题。 • 而哪4个数在原来位置上，则是从{1,2,…,8,9}中无序选取4个数，所以有C(9,4)。 • 由乘法原理得所求排列数是C(9,4)D5=5544

2、相邻禁位排列问题 • 定义：设集合S={1,2,…,n}，如果S的一个排列的任何两个相邻位置上不出现i,i+1(i=1,2,…,n)的模式,则称该排列是S的一个相邻禁位排列。S的所有相邻禁位排列数记为Qn。 • 当n=1时，只有一个数，当然不相邻，所以Q1=1； • 当n=2时，只能排成2,1，所以Q2=1； • 当n=3时，可排成1,3,2或2,1,3，或3,2,1,所以Q3=3；

定理：对任意的正整数n，有 • Qn=n!-C(n-1,1)(n-1)!+C(n-1,2)(n-2)!-…+(-1)n-1C(n-1,n-1)0! • 证明：设S={1,2,…,n}，用X表示S的所有排列集合，则|X|=n!。 • 对于j=1,2,…,n，规定在一个排列中，有j(j+1)出现，则该排列具有性质pj。 • 令Aj表示具有性质pj的所有排列集合。 • 则S的相邻禁位排列全体是：

例：8人一列行走一天,现要变换位置,使得第2天行走时,没有一个人的前面是第一天在他前面的人,求变换位置方式数.例：8人一列行走一天,现要变换位置,使得第2天行走时,没有一个人的前面是第一天在他前面的人,求变换位置方式数. • 解：把这些人用1,2,3,4,5,6,7,8按第一天的位置编号,排在最后的为1,排在首位的为8,则所求问题就是8个数的相邻禁位排列问题,所以Q8=8!-C(7,1)(7)!+C(7,2)(6)!- C(7,3)(5)!+C(7,4)(4)!-C(7,5)(3)!+C(7,6)(2)!-C(7,7)1!。 • 相邻禁位排列与错位排列之间有着密切的联系: • Qn=Dn+Dn-1

3. 相邻禁位环排列问题 • 定义：设集合S={1,2,…,n}，如果S的一个环排列的任何两个相邻位置上不出现i,i+1(i=1,2,…,n)的模式,并且也没有出现n,1的模式,则称该环排列是S的一个相邻禁位环排列。S的所有相邻禁位环排列数记为An。 • 当n=1时，只有一个数，当然不相邻，所以A1=1； • 当n=2时，无法满足要求,所以A2=0；

定理：对任意的正整数n，有 • An=(n-1)!-C(n,1)(n-2)!+C(n,2)(n-3)!-…+(-1)n-1C(n,n-1)0!+(-1)nC(n,n)1! • 例：8个小孩坐在旋转的木马上,,如果让他们交换位置,使得每个小孩前面都不是原来在他前面的孩子,问有多少种变换位置方式? • 解：把这些孩子用1,2,3,4,5,6,7,8编号,则所求问题就是8个数的相邻禁位环排列问题,所以Q8=7!-C(8,1)(6)!+C(8,2)(5)!-C(8,3)(4)!+C(8,4)(3)!-C(8,5)(2)! +C(8,6)1! -C(8,8)1!=1625。

第十二章生成函数与递推关系 生成函数(称为母函数)是组合数学中的一个重要内容，可用来求解组合计数问题。

12.1幂级数型生成函数 • 在前面讨论多重集S={n1·a1,n2·a2,…, nk·ak}(n=n1+n2+…+nk})的r-组合数时， • 当对一切i=1,2,…,k有nir时，有计算公式N=C(k+r-1,r)； • 当r<n，且存在某个ni<r,利用容斥原理予以解决。

利用下面的组合模型来模拟多重集的r-组合数 • 设有n个标志为1,2,…,n的网袋，第i个(i=1,2,…n)网袋里放有ni个球 • (不同网袋里的球是不同的，同一网袋里的球则是没有差别的，认为是相同的)。 • 因此多重集S的一个6-组合{a1a1a3a3a3a4}就相应于从第1个网袋里取2个球，第3个网袋里取3个球，第4个网袋里取1个球。 • 反之，从第1个网袋里取2个球，第3个网袋里取3个球，第4个网袋里取1个球。就对应了S的一个6-组合a1a1a3a3a3a4。 • 一般地，多重集S的r-组合数就等于从n个网袋里取r个球的取法数。

现在用x代表球，xi1代表从第1个网袋里取i1个球，xi2代表从第2个网袋里取i2个球，…, xik代表从第k个网袋里取ik个球。 • i1,i2,…,ik个满足条件i1+i2+…+ik=r (ijnj,j=1,2,…,k)。 • 故xi1xi2…xik= xi1+i2+…+ik=xr就对应了多重集S的一个r-组合。 • 因为给出1个xr的构成就等于给出了多重集S的一个r-组合， • 所以xr的系数就是多重集S的r-组合数。 • 利用上述方法就得到了求组合数的方法，就称为生成函数法。

定义12.1：设a0,a1,…,an,…是一个数列，构造形式幂级数f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ anxn+…,称f(x)是数列a0,a1,…,an,…的生成函数，且两个形式幂级数相等当且仅当对每个i，有ai=bi。对于有限序列，可看成自某项后全为0的无穷序列。为什么称为形式幂级数？作为幂级数要讨论它们的收敛范围，即当x在收敛范围内取值时，幂级数才会收敛于某个函数f(x)。而这里，x仅是记号，并不需要赋值，也不需要考虑收敛范围，故称为形式幂级数，而x也称为形式变元。

定理12.1：设数列{an},{bn},{cn}的生成函数分别是 f(x),g(x)和h(x)，r为常数。 • (1)如果bn=ran，则g(x)=rf(x)。 • (2)如果cn=an+bn，则h(x)=f(x)+g(x)。

(8)如果bn=rnan，则g(x)=f(rx)。 (9)如果bn=nan，则g(x)=xf '(x)。证明略。

例：(1)设有质量分别为n1克，n2克，…,nk克的k个砝码。现要用天平称i克的物体，物体放在左边，砝码放在右边，共有多少种不同称法?例：(1)设有质量分别为n1克，n2克，…,nk克的k个砝码。现要用天平称i克的物体，物体放在左边，砝码放在右边，共有多少种不同称法? • 解：设有ai种方法称i克物体。则{ai}的生成函数为 • (1+xn1)(1+xn2)…(1+xnk)。 • 该展开式中的xi幂来源于xm1xm2…xmk=xi， • m1+m2+…+mk=i,mj{0,nj}。 • 其中第一个括弧提供m1次幂， • 第二个括弧提供m2次幂，…， • 第k个括弧提供mk次幂， • mj=0表示nj克砝码没有用上，mj=nj表示nj克砝码用上了， • 因此展开式中xi的系数恰好是称i克物体的方法数，故有：

(2)用质量分别为1克，2克，4克，8克，16克的5个砝码，在天平上能称几种质量的物体？每种质量的物体有几种不同的称法?(2)用质量分别为1克，2克，4克，8克，16克的5个砝码，在天平上能称几种质量的物体？每种质量的物体有几种不同的称法? • 解:设质量r克物体有ar种称法，则数列{ar}的生成函数是 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16), • (1+x)表示砝码为1克的或者不取或者取,取了就是1克, • 1+x16表示砝码为16克的或者不取或者取,取了就是16克) • (1-x)f(x)=(1-x)(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) =1-x32。 • 所以f(x)=(1-x32)/(1-x)=1+x+x2+…+x31。 • 因为xi前面系数都是1，这表明凡是不超过31克的物体都能用给定的5个砝码称出，且每个恰有一种称法。

(3)用2个质量为1克，3个质量为2克，2个质量为5克的砝码在天平上能称几种质量的物体?且每种质量的物体有几种不同的称法?(3)用2个质量为1克，3个质量为2克，2个质量为5克的砝码在天平上能称几种质量的物体?且每种质量的物体有几种不同的称法? • 解:设质量r克物体有ar种称法，则数列{ar}的生成函数是f(x)=(1+x+x2)(1+x2+(x2)2+(x2)3)(1+x5+(x5)2)) • =1+x+2x2+x3+2x4+2x5+3x6+3x7+2x8+2x9+2x10+3x11+3x12+2x13+ 2x14+x15+2x16+x17+x18。 • 这表明凡是质量不超过 18 克的物体都能用给定的砝码称出。 • 其中质量为 1,3,15,17,18克的只有一种称法， • 质量为 2,4,5,8,9,10,13,14,16克的物体有2种称法，质量为 6,7,11,12克的物体有3种称法。 • 从上例中看出用生成函数可比较容易地解决一些计数问题。 • 下面用生成函数来求多重集的r-组合数。

因此展开式中yr的系数对应了不定方程x1+x2+…+xk=r的非负整数解的个数。故所构造的幂级数就是{ar}的生成函数 f(y)。由推论11.4可得: • 例：设多重集S={·a1,·a2,…, ·ak}，S的r-组合数是ar=C(r+k-1,r)，它也是方程x1+x2+…+xk=r的非负整数解的个数。 • 现用生成函数的方法求ar。 • 设{ar}的生成函数为f(y)， • 构造幂级数(1+y+y2+…)k， • (1+y+y2+…)表示ai可以不取,取1个,2个…, • 把幂级数(1+y+y2+…)k展开后， • yr幂来源于yx1yx2…yxk=yx1+x2+…+xk,x1+x2+…+xk=r， • 其中 yx1来自第一个因式(1+y+y2+…)， • yx2来自第二个因式(1+y+y2+…)，…， • yxk来自第k个因式(1+y+y2+…)，且x1,x2,…,xk为非负整数。所以ar=C(k+r-1,r) 设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}，S的r-组合数ar就相当于方程x1+x2+…+xk=r(x1n1,x2n2,…,xknk}的非负整数解的组数。设{ar}的生成函数为f(y)，类似可以得到： f(y)=(1+y+y2+…+yn1)(1+y+y2+…+yn2)…(1+y+y2+…+ynk)，则 f(y)的展开式中yr的系数ar就是所求的S的r-组合数。

例:设S={·a1,·a2,…, ·ak}，求S的每个元素只出现偶数次的r-组合数ar。 • 解：令{ar}的生成函数是f(y)，因为要求S的每个元素只出现偶数次，则对a1来讲，或者不出现，或者是2，4，6，…其他也类似。故生成函数为： • f(y)=(1+y2+y4+…)k=1/(1-y2)k • =1+ky2+C(k+1,2)y4+…+C(k+n-1,n)y2n+… • 所以有

例：求S={3·a,4·b,5·c}的10-组合数a10。 • 令{ar}的生成函数是f(y)， • 则 • f(y)=(1+y+y2+y3)(1+y+y2+y3+y4) (1+y+y2+y3+y4+y5) • =1+3y+6y2+10y3+14y4+17y5+18y6+17y7+14y8+ 10y9+6y10+3y11+y12 • 所以10-组合数是6， • 事实上我们已求得S的所有r-组合数。 • 同样，用生成函数的方法也可求解不定方程的整数解组数。

例：求x1+x2+x3=5(0x1,0x2,1x3)的整数解组数。例：求x1+x2+x3=5(0x1,0x2,1x3)的整数解组数。 • 解：令x3'=x3-1， • 则原问题即为求在约束条件 0x1,0x2,0x3‘下x1+x2+x3’=4的非负整数解组数。 • 解的组数为a4,{ar}的生成函数是所以有a4=C(4+2,4)=15。

作业: • P238:35, 36(2),37,39,40 • P253:2,5

二、有限多重集的 r- 组合数 设多重集 S={n 1 ·a 1 ,n 2 ·a 2 ,…,n k ·a k }, n=n 1 +n 2 +…+n k ，