1 / 135

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik. Klik untuk melanjutkan. Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org. Buku Fungsi dan Grafik ( pdf ) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan

yestin
Télécharger la présentation

Fungsi dan Grafik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sudaryatno Sudirham FungsidanGrafik Klikuntukmelanjutkan

  2. BahanKuliah Terbuka dalam format pdftersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format ppsberanimasitersedia di www.ee-cafe.org

  3. Buku FungsidanGrafik (pdf) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org

  4. Pembatasan PembahasanFungsidanGrafik dibatasihanyapadafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

  5. Keseluruhanbahasanmengenaifungsidangrafikakanmencakup • Pengertian Tentang Fungsi • Fungsi Linier • Gabungan Fungsi Linier • Mononom dan Polinom • Bangun Geometris • Fungsi Trigonometri • Gabungan Fungsi Sinus • Fungsi Logaritma Natural • FungsiEksponensial • FungsiHiperbolik • FungsidalamKoordinat Polar

  6. 1. PengertianTentangFungsi

  7. Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x

  8. Contoh: panjang sebatangbatang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secaraumumpernyataanbahway merupakanfungsix dituliskan ydisebutpeubahtakbebas nilainyatergantung x xdisebutpeubahbebas bisabernilaisembarang Walaupunnilaixbisaberubahsecarabebas, namunnilaixtetapharusditentukansebatasmanaiabolehbervariasi Dalampelajaraninikitahanyaakanmelihat x yang berupabilangannyata. Selainbilangannyatakitamengenalbilangankompleks yang dibahasdalampelajaranmengenaibilangankompleks.

  9. a b a b Domain Domain ialahrentangnilai (interval nilai) di manapeubah-bebasx bervariasi. Ada tigamacamrentangnilaiyaitu: rentang terbuka a < x < b a b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a xb a dan b masuk dalam rentang

  10. Sistemkoordinat x-y ataukoordinatsudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakanolehdes Cartes) Bidangdibatasiolehduasumbu, yaitusumbumendatar yang kitasebutsumbu-x dansumbutegak yang kitasebutsumbu-y. y 3 Bidangterbagidalam 4 kuadranyaituKuadranI, II, III, dan IV Posisititikpadabidangdinyatakandalamkoordinat [x, y] sumbu-y 2 1 x 0 sumbu-x Q[-2,2] -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -1 II I P[2,1] -2 -3 -4 III IV S[3,-2] R[-3,-3]

  11. Kurva dariSuatu Fungsi Kita lihatfungsi: Setiapnilaixakanmenentukansatunilaiy 2,5 y Kurva 2 R 1,5 Q Δy Titik P, Q, R, terletak pada kurva 1 Δx 0,5 0 Kemiringankurva: x 0 1 2 3 4 P -0,5 -1 (kitabaca: “delta x per delta y”)

  12. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca:limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c). Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

  13. Contoh: y = u(x) y Terdefinisikan di x = 0 1 yaituy|x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1) 0 x 0 y 1 Takterdefinisikan di x = 0 y = 1/x (y untuk x = 0 tidakdapatditentukannilainya) x 0 -10 0 5 10 -5 y = 1/x -1

  14. Simetri • Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka • kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; • 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva • fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. • 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva • fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. • 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, • kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

  15. Contoh: tidak berubah bila x diganti x y = 0,3x2 6 y (simetristerhadapsumbu-y) 3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y y = 0,05x3 (simetristerhadaptitik [0,0]) 0 x -6 -3 0 3 6 tidak berubah jika: x diganti x x dan y diganti dengan x dan y x dan y dipertukarkan y diganti dengan y -3 y2 + x2 = 9 -6

  16. 8 y 4 x 0 0 2 4 -4 -2 -4 -8 PernyataanFungsiBentuk Implisit Pernyataanfungsi • disebutbentukeksplisit. dapatdiubahkebentukeksplisit Pernyataanbentukimplisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y

  17. Fungsi Bernilai Tunggal Fungsibernilaitunggaladalahfungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: 1,6 8 x 0 y y 0 1 2 0,8 4 -0,8 y x x 0 -1,6 0 0 0 1 2 -1 1 2 3 4 0,8 y 4 y 0 x 2 0 1 2 3 4 x 0 -0,8 -4 -2 0 2 4

  18. Fungsi Bernilai Banyak Fungsibernilaibanyakadalahfungsi yang memilikilebihdarisatunilaipeubah-tak-bebas untuksetiapnilaipeubah-bebas Contoh: 10 2 y y 5 1 x x 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 -5 -1 -2 -10

  19. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

  20. y rcos P r rsin  x Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalahsebagaiberikut

  21. 3 y P[r,] 2 r 1  0 x -5 -3 -1 1 -1 -2 -3 Contoh: Bentukinidisebutcardioid

  22. P[r,] y = 2 2 y 1,5 r 1  0,5 0 -1 0 1 2 3 x -0,5 -1 Contoh:

  23. 2. Fungsi Linier

  24. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari  sampai +. Contoh: y = 4 y 5 0 x - 5 0 5 - 4

  25. Persamaan Garis Lurusyang melalui[0,0] y garislurusmelalui [0,0] 2 kemiringangarislurus Δy 1 Δx 0 x 0 1 2 3 4 -1 Contoh: y 8 y = 2x 6 m > 0 y = x 4 y = 0,5x 2 0 x -1 0 1 2 3 4 -2 -4 y = -1,5 x m < 0 -6

  26. Pergeseran Kurva dan Persamaan GarisLurus pergeserankearahsumbu-x pergeserankearahsumbu-y 8 y y 10 y = 2x y 2 = 2x 6 8 4 6 y = 2x y =2(x–1) titikpotongdengansumbu-y 4 2 2 0 0 -1 1 2 3 4 x 0 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2 titikpotongdengansumbu-x -4 -4 Secaraumum, persamaangarislurus yang tergesersebesarbkearahsumbu-y positifadalah menunjukkanpergeseransebesarakearahsumbu-x positif menunjukkanpergeseransebesarbkearahsumbu-y positif Bentukumumpersamaangarislurus

  27. Contoh: y 8 6 memotongsumbuy di 4 4 2 memotongsumbux di 2 0 0 x -1 1 2 3 4 -2 -4 dapatdilihatsebagaigarismelalui (0,0) yaitu y = -2x yang tergeserkearahsumbu-y atautergeserkearahsumbu-x Persamaangaris: atau

  28. persamaangaris: atau Persamaan Garis Lurusyang melaluiduatitik Q 8 y P [x2,y2] 6 Persamaan garis lurusmelalui [0,0] yang sejajardengangaris yang melalui P dan Q [x1,y1] 4 2 0 0 -1 1 3 2 x Garisiniharusdigeserhinggamelalui P dan Q -2 -4 Contoh: [3,8] 8 y 6 4 [1,4] 2 0 0 -1 1 2 3 4 x -2 -4

  29. y1 30 y y2 20 P 10 0 x -10 -5 0 5 10 -10 -20 -30 Titik potong: Perpotongan GarisLurus dan Duagaris: Koordinat titik potong P harus memenuhi: Contoh: Koordinat titikpotongP harusmemenuhi persamaan y1maupuny2. xP yP

  30. anoda  katoda l Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Contoh: Suatu benda dengan massa myang mendapat gaya F akan memperoleh percepatana Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalamtabung katodaadalah V Kuatmedanlistrik: Gaya padaelektron: gayafungsi linier dariV Percepatanpadaelektron: percepatanfungsi linier dariFe Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

  31. Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikanmerupakanfungsi linier daripanjangtarikan. panjangtarikan gaya konstantapegas Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arusmerupakanfungsi linier daritegangan. G dan R adalah tetapan konduktansi resistansi panjangkonduktor kerapatan arus resistivitas Luaspenampangkonduktor

  32. Contoh: Peristiwadifusi: materimenembusmateri lain Peristiwadifusimencapaikeadaanmantap,jikakonsentrasimateriCadi xadan Cxdi xbernilai konstan materimasuk di xa materikeluar di x Ca Cx gradienkonsentrasi xa x x Fluksimateri yang berdifusikearahx koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi InilahHukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

  33. 3. GabunganFungsi Linier

  34. Fungsi Anak Tangga Fungsianaktanggasatuan Fungsiinimemiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 y 2 1 muncul pada x = 0 0 x 1 0 5 y 5 Secaraumum amplitudo 0 x 0 5 Contoh: - 4

  35. Fungsianaktanggatergeser Pergeseransebesarakearahsumbu-x positif Contoh: y 5 0 x 1 0 5 -4

  36. Fungsi Ramp Fungsiinibarumunculpadax = 0karenaadafaktoru(x) yang didefinisikanmunculpadax = 0 (fungsianaktangga) kemiringan Fungsi ramp satuan : kemiringana = 1 Fungsi ramp tergeser: Contoh: 6 y2 = 2xu(x) y 5 y1 = xu(x) 4 3 y3 = 1,5(x-2)u(x-2) 2 1 Pergeseransearahsumbu-x 0 -1 3 4 1 x 0 2

  37. perioda y x Pulsa Pulsamerupakanfungsi yang munculpadasuatunilaix1tertentudanmenghilangpadax2 > x1 Contoh: lebar pulsa y1=2u(x-1) 2 y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) 1 0 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 y2 = 2u(x2) DeretanPulsa:

  38. Perkalian Ramp dan Pulsa pulsa hanyamempunyainilaidalamselanglebarnya makayjugaakanbernilaidalamselanglebarpulsasaja ramp Contoh: y3 = y1y2 10 y 8 6 y1=2xu(x) 4 y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} 2 0 x -1 0 1 2 3 4 5

  39. Contoh: y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y2 = {u(x)-u(x-b)} 10 y y 8 6 4 2 0 b x -1 0 1 2 3 4 5

  40. GabunganFungsi Ramp y 12 8 Contoh: y3= 2xu(x)2(x2)u(x2) 4 y1= 2xu(x) 0 x 0 1 2 3 4 5 Kemiringan yang berlawananmembuaty3 bernilaikonstanmulaidarixtertentu -4 -8 y2= 2(x2)u(x2)

  41. Contoh: y3=2xu(x)4(x2)u(x2) y1=2xu(x) y2lebihcepatmenurundariy1 makay3menurunmulaidarixtertentu y2= 4(x2)u(x2) 15 y 10 5 0 x 0 1 2 3 4 5 -5 -10

  42. Contoh: Pulsainimembuaty3hanyabernilaidalamselang 1 x  3 15 y y3={2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} 10 5 y1= 2xu(x) 0 x 0 1 2 3 4 5 -5 -10 y2= 4(x-2)u(x-2)

  43. 4. MononomdanPolinom

  44. Mononom

  45. 0 x - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 -20 -40 -60 -80 y -100 Mononom Mononomadalahpernyataan tunggal yang berbentuk kxn Karenax2 0,maka jikak > 0  y > 0 jikak < 0 y < 0 Mononom Pangkat Dua: Contoh: y = 5x2 y = 3x2 y 10 9 8 7 6 5 y = x2 4 3 2 1 0 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y memiliki nilai maksimum y memilikinilai minimum

  46. Pergeseran kurva mononom pangkat dua y3= 10(x2)2 + 30 y Pergeserankearahsumbu-y positif 100 y1= 10x2 50 y2= 10(x2)2 Pergeserankearahsumbu-xpositif 0 x -5 -3 -1 1 3 5

  47. y 3 y1= 2x2 2 1 y2= 2x4 y3= 2x6 0 x 1.5 0 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 8 y y = 6x2 6 4 y = 3x4 2 y = x6 0 x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Mononom Pangkat Genappadaumumnya Contoh: Padamononomberpangkatgenap, makinbesarpangkatmakinmelandaikurva di sekitartitikpuncak Jikakurva-kurvainimemilikinilaik yang samamakamerekaberpotongan di titik P[1,k] Koordinattitikpotongantarakurva Kurvamononompangkatgenapsimetristerhadapsumbu-y

  48. y y = 2x y = 2x5 y = 2x3 3 x 2 1 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -2 -3 MononomPangkatGanjil Pangkatganjilterendah: linier Makin tinggipangkatmononom, makinlandaikurva di sekitartitik [0,0] yaitutitik yang merupakantitikbelok Jikakurva-kurvainimemilikinilaik yang samamakamerekaberpotongan di titik P[1,k] Kurvamononompangkatganjilsimetristerhadaptitik [0,0]

  49. Mononom Pangkat Tiga Pergeserankearahsumbu-y positif y = 10(x2)3 + 100 y 500 600 y = 10x3 400 y 300 400 200 200 100 0 0 x -5 -3 -1 1 3 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -100 x -200 -200 -400 -300 -400 -600 y = 10(x2)3 -500 Mononompangkattiga Simetristerhadap [0,0] Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif

  50. Polinom

More Related