Lineære funktioner

1. Lineære funktioner 4 indgangsvinkler til funktioner Den lineære funktion ~ forskrift Stigningstal og skæring med y-aksen Eksempler…

2. Lineære funktioner: Funktions-forskrift Udgangspunktet for arbejdet med funktioner er, at man har en forskrift – et funktionsudtryk. Ved hjælp af forskriften får man at vide, hvilken sammenhæng, der er mellem x og y. Mere præcist får man at vide, hvordan y-værdierne til punkterne, der er med i funktionen, skal beregnes. Alle funktionsforskrifter starter med y = ….

3. Lineære funktioner: Funktions-forskrift Udgangspunktet for arbejdet med funktioner er, at man har en forskrift – et funktionsudtryk. Ved hjælp af forskriften får man at vide, hvilken sammenhæng, der er mellem x og y. Mere præcist får man at vide, hvordan y-værdierne til punkterne, der er med i funktionen, skal beregnes. Alle funktionsforskrifter starter med y = ….

4. 1 1 y = ·x + 7 y = ·x - 1 2 4 Lineære funktioner: Funktions-forskrift Udgangspunktet for arbejdet med funktioner er, at man har en forskrift – et funktionsudtryk. Ved hjælp af forskriften får man at vide, hvilken sammenhæng, der er mellem x og y. Mere præcist får man at vide, hvordan y-værdierne til punkterne, der er med i funktionen, skal beregnes. Alle funktionsforskrifter starter med y = …. y = 3·x - 4 y = -5·x - 2 y = 3 - 1·x

5. y = 2 · x - 5 Lineære funktioner: Funktions-maskine Når en funktion skal tegnes, skal forskriften ”oversættes” til et grafisk billede i et koordinat-system. Dette kan ske i en funktions-maskine. Du fodrer maskinen med input (x-værdier) som maskinen omsætter til output (y-værdier) Dette sker ved hjælp af forskriften. På den måde beregnes værdier, der tilhører funktionens grafiske billede.

6. 6 y = 2 · x - 5 Lineære funktioner: Funktions-maskine Når en funktion skal tegnes, skal forskriften ”oversættes” til et grafisk billede i et koordinat-system. Dette kan ske i en funktions-maskine. Du fodrer maskinen med input (x-værdier) som maskinen omsætter til output (y-værdier) Dette sker ved hjælp af forskriften. På den måde beregnes værdier, der tilhører funktionens grafiske billede.

7. 6 y = 2 · 6 - 5 Lineære funktioner: Funktions-maskine Når en funktion skal tegnes, skal forskriften ”oversættes” til et grafisk billede i et koordinat-system. Dette kan ske i en funktions-maskine. Du fodrer maskinen med input (x-værdier) som maskinen omsætter til output (y-værdier) Dette sker ved hjælp af forskriften. På den måde beregnes værdier, der tilhører funktionens grafiske billede.

8. 6 y = 2 · 6 – 5 = 7 Lineære funktioner: Funktions-maskine Når en funktion skal tegnes, skal forskriften ”oversættes” til et grafisk billede i et koordinat-system. Dette kan ske i en funktions-maskine. Du fodrer maskinen med input (x-værdier) som maskinen omsætter til output (y-værdier) Dette sker ved hjælp af forskriften. På den måde beregnes værdier, der tilhører funktionens grafiske billede.

9. 6 y = 2 · x - 5 7 Lineære funktioner: Funktions-maskine Når en funktion skal tegnes, skal forskriften ”oversættes” til et grafisk billede i et koordinat-system. Dette kan ske i en funktions-maskine. Du fodrer maskinen med input (x-værdier) som maskinen omsætter til output (y-værdier) Dette sker ved hjælp af forskriften. På den måde beregnes værdier, der tilhører funktionens grafiske billede.

10. Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 x y

11. Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · (-2) – 5 = -9 x -2 y -9

12. Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · 0 – 5 = -5 x -2 0 y -9 -5

13. Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · 3 – 5 = 1 x -2 0 3 y -9 -5 1

14. Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · 7 – 5 = 9 x -2 0 3 7 9 y -9 -5 1

15. x -2 0 3 7 9 y -9 -5 1 Lineære funktioner: Tegning af funktionen i et koordinatsystem Funktionen tegnes ved at man afsætter de beregnede værdier i koordinatsystemet: y = 2 · x – 5

16. x -2 0 3 7 9 y -9 -5 1 Lineære funktioner: Tegning af funktionen i et koordinatsystem Funktionen tegnes ved at man afsætter de beregnede værdier i koordinatsystemet– og tegner linien, der dannes af punkterne. y = 2 · x – 5

17. Funktionsforskrift y = 2 · x – 5 Funktionsmaskine Grafisk billede y = 2 · x - 5 Sildeben x -2 0 3 7 9 y -9 -5 1 Lineære funktioner: Altså:

18. Funktionsforskrift y = 2 · x – 5 Grafisk billede Lineære funktioner: Lad os i det følgende koncentrere os om, hvordan man ud fra forskriften kan tegne det grafiske billede direkte…

19. Lineære funktioner: Lad os først koncentrere os om a-værdien

20. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner:

21. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b a = 1 … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner: y = 1 · x - 1

22. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b a = 1 … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner: a = - 0,25 y = 1 · x - 1 y = - 0,25 · x - 1

23. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b a = 1 … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! a = 0,5 Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner: a = - 0,25 y = 1 · x - 1 y = - 0,5 · x - 1 y = 0,5 · x - 1

24. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: a = 2 y = a· x + b a = 1 … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! a = 0,5 Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner: a = - 0,25 y = 2 · x - 1 y = 1 · x - 1 y = - 0,5 · x - 1 y = 0,5 · x - 1

25. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: a = 7 a = 2 y = a· x + b a = 1 … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! a = 0,5 Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner: a = - 0,25 y = 2 · x - 1 y = 1 · x - 1 y = - 0,5 · x - 1 y = 7 · x - 1 y = 0,5 · x - 1

26. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: a = 7 a = 2 y = a· x + b a = 1 … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! a = 0,5 Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner: a = - 0,25 y = 2 · x - 1 y = 1 · x - 1 y = - 0,5 · x - 1 y = 7 · x - 1 y = 0,5 · x - 1 y = - 1 · x - 1 a = - 1

27. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle a = 7 a = 2 y = a· x - 1 a = 1 … hvor a antager forskellige værdier. Læg mærke til, at … alle linierne går gennem samme punkt på y-aksen, (0,-1) … jo større værdien ”a” er, desto stejlere bliver linien … positive værdier af ”a” giver voksende linier, mens negative værdier giver aftagende linier. a = 0,5 a = - 0,25 a = - 1

28. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle a = 7 a = 2 y = a· x - 1 a = 1 … hvor a antager forskellige værdier. Læg mærke til, at … alle linierne går gennem samme punkt på 2. aksen, (0,-1) … jo større værdien ”a” er, desto stejlere bliver linien … positive værdier af ”a” giver voksende linier, mens negative værdier giver aftagende linier. a = 0,5 a = - 0,25 a = - 1

29. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle a = 7 a = 2 y = a· x - 1 a = 1 … hvor a antager forskellige værdier. Læg mærke til, at … alle linierne går gennem samme punkt på 2. aksen, (0,-1) … jo større værdien a er, desto stejlere bliver linien … positive værdier af ”a” giver voksende linier, mens negative værdier giver aftagende linier. a = 0,5 a = - 0,25 a = - 1

30. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle a = 7 a = 2 y = a· x - 1 a = 1 … hvor a antager forskellige værdier. Læg mærke til, at … alle linierne går gennem samme punkt på 2. aksen, (0,-1) … jo større værdien a er, desto stejlere bliver linien … positive værdier af a giver voksende linier, mens negative værdier giver aftagende linier. a = 0,5 a = - 0,25 a = - 1

31. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle a = 7 a = 2 y = a· x - 1 a = 1 … hvor a antager forskellige værdier. a kaldes liniens stigningstal, fordi a fortæller, hvor meget linien stiger Man kan også sige, at a kaldes liniens hældningskoefficient, fordi a fortæller, hvor meget linien hælder a = 0,5 a = - 0,25 a = - 1

32. Lineære funktioner: Lad os dernæst se på b-værdien

33. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! b = - 1 Lad os herefter se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af b, mens a = 1 i alle funktioner: y = 1 · x - 1

34. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! b = - 1 Lad os herefter se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af b, mens a = 1 i alle funktioner: b = - 3 y = 1 · x - 1 y = 1 · x - 3

35. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! b = - 1 Lad os herefter se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af b, mens a = 1 i alle funktioner: b = 0 b = - 3 y = 1 · x + 0 y = 1 · x - 1 y = 1 · x - 3

36. Lineære funktioner: Funktionsforskriften for en lineær funktion: y = a· x + b … hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem! b = - 1 b = 3 Lad os herefter se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af b, mens a = 1 i alle funktioner: b = 0 b = - 3 y = 1 · x + 0 y = 1 · x - 1 y = 1 · x - 3 y = 1 · x + 3

37. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle y = 1· x + b … hvor b antager forskellige værdier. Læg mærke til, at b = - 1 b = 3 b = 0 b = - 3

38. Lineære funktioner: Funktionerne til højre hedder alle y = 1· x + b … hvor b antager forskellige værdier. Læg mærke til, at … linier med samme a-værdi bliver parallelle b = - 1 b = 3 b = 0 b = - 3

39. Lineære funktioner: Altså… Alle lineære funktioner hedder y = a· x + b hvor a er stigningstallet og b er skæringspunktet med y-aksen Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,b) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a op (eller ned, hvis a er en negativ værdi).

40. Lineære funktioner: Eksempel: y = 2· x –3 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og 2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op.

41. Lineære funktioner: Eksempel: y = 2· x –3 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder næste punkt på linien ved at gå 1 vandret fremad fra punktet og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op.

42. Lineære funktioner: Eksempel: y = 2· x –3 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op.

43. Lineære funktioner: Eksempel: y = 2· x –3 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op. Og sådan kan man blive ved…

44. Lineære funktioner: Eksempel: y = 2· x –3 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op. Og linien kan tegnes…

45. Lineære funktioner: Eksempel 2: y = – 0,5· x +1 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,1) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og 0,5 ned. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 0,5 ned.

46. Lineære funktioner: Eksempel 2: y = – 0,5· x +1 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,1) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder næste punkt på linien ved at gå 1 vandret fremad fra punktet og a=0,5 ned. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 0,5 ned.

47. Lineære funktioner: Eksempel 2: y = – 0,5· x +1 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,1) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=0,5 ned. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 0,5 ned.

48. Lineære funktioner: Eksempel 2: y = – 0,5· x +1 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,1) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=0,5 ned. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 0,5 ned. Og sådan kan man blive ved…

49. Lineære funktioner: Eksempel 2: y = – 0,5· x +1 Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,1) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=0,5 ned. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 0,5 ned. Og linien kan tegnes…

50. Eksempler på problemer • … der giver lineære funktioner: • Peter køber mælk i supermarkedet. Mælken koster 7,50 kr/liter. Til at bære mælken hjem køber Peter en bærepose til 3,00 kr. Peter kommer af med: