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De la narration de recherche au travail collaboratif

De la narration de recherche au travail collaboratif. Publications, site.

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De la narration de recherche au travail collaboratif

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Presentation Transcript

  1. De la narration de recherche au travail collaboratif

  2. Publications, site • Les Narrations de Recherche de l’école primaire au lycéeFreddy BONAFE - Arlette CHEVALIER - Marie-Claire COMBES - Alain DEVILLE - Liliane DRAY - Jean Pierre ROBERT - Mireille SAUTER coéditions (2002) de l’IREM de Montpellier et de l’APMEP n°151 • Narrations de recherche : une nouvelle pratique pédagogique, Mireille SAUTER, IREM de MontpellierRepères IREM, n° 30 • Formation de l’esprit scientifique par les narrations de recherche au collège,Mireille SAUTER, IREM de MontpellierRepères IREM, n° 39 • Une communautéd’enseignants pour une recherche collaborative de problèmes Mireille SAUTER, IREM de MontpellierRepères IREM, n° 72 • http://www.irem.univ-montp2.fr/SPIP/Resolution-collaborative-de,96

  3. Recherche et formation continue des enseignants • Objectifs du groupe de recherche - évolutions des pratiques des enseignants - géométrie dans l’espace, transformations - autour de la résolution de problèmes ouverts : les narrations de recherche - demandes institutionnelles • Méthodes pour la formation continue  : - mettre en situation les enseignants pour leur faire vivre des situations semblables à celles que vivront leurs élèves - mettre en réseau plusieurs classes de l’Académie afin d’instaurer un travail collaboratif à distance.

  4. Méthode de recherche dans le groupe : Démarche expérimentale • Diffusion : • Commissions inter irem collège, REPERES et comité scientifique • Colloques • Inter IREM géométrie, 1er cycle • Journées APMEP • Colloques EMF ( Grenoble 2000, Canada 2004) • Publications • Brochures IREM de Montpellier et Inter-IREM • Brochure APMEP-IREM • Articles dans REPERES, Cahiers Pédagogiques, Matématice • Sitographie : Plate forme : travail collaboratif sur le site de l’IREM de Montpellier

  5. L’histoire d’un groupe de recherche de l’IREM de Montpellier • Avant 1990 Expérimentations du groupe géométrie avec G. Audibert • Naissance des narrations de recherche : Arlette Chevalier Expérimentation dans le groupe, travaux de recherche : élaboration du dispositif Travaux avec D. Bucheton : GER maîtrise des langages en mathématiques (1998 - 2000) Brochure APMEP IREM n °151 • En 2000 SFODEM (Suivi de Formation à Distance des Enseignants de Mathématiques) naissance du groupe Résolution Collaborative de Problèmes Ouverts Stages académiques de formation continue • Travaux avec l’INRP • Site • Projets interactifs

  6. Groupe Géométrie AMSALEM André AUDIBERT Gérard BONAFE Freddy BRUNET Robert BASCOU Noel CHEVALIER Arlette COMBES Marie-Claire DEVILLE Alain DRAY Liliane FAVRAT Jean François NODEILLO Jacques ROBERT Jean Pierre SAUTER Mireille Groupe résolution collaborative de problèmes AZZIZ Saïd COUDERC Geneviève COMBES Marie Claire DE CROZALS Aurélia DRONIOU Jérome DURAND-GUERRIER Viviane LACAGE Michel RAY Benoît SAUMADE Henri SAUTER Mireille THERET David VIRDUCI Sébastien

  7. Hypothèses d’enseignements  • Modification de la représentation que l’élève a de lui-même, des autres élèves, de l’enseignant, comme mathématiciens, dans l’apprentissage des mathématiques • Rapports sociaux, respects mutuels : enseignant élèves, entre élèves • L’autonomie et la prise d’initiatives des élèves L’enseignement des mathématiques conduit à goûter le plaisir de découvrir par soi-même cette vérité établie rationnellement et non sur un argument d’autorité, et à la respecter (BO 2008 )

  8. Hypothèses d’enseignements • Construction d’un rapport aux mathématiques, qui doit se construire très tôt chez l’élève • Résolution de problème, démarche d’investigation, démarche scientifique Faire des mathématiques c’est se les approprier par l’imagination, la recherche, le tâtonnement et la résolution de problèmes, dans la rigueur de la logique et le plaisir de la découverte ( BO 2008)

  9. Deux dispositifs pédagogiques complémentaires Les narrations de recherche et Le travail collaboratif entre classes

  10. Les narrations de recherche • Espace de liberté sans exigence de formalisation - écrit semi privé - langage naturel - expression libre • Écriture de la phase heuristique - nouveau contrat didactique - séparer recherche et rédaction de la solution - regard réflexif • Choix des problèmes - énoncés des problèmes ouverts développés à l’IREM de Lyon - énoncés dans le champ des mathématiques - présence d’un questionnement dans l’énoncé et solutions accessibles - intégration dans la progression annuelle d’une classe

  11. 1ères NR en 2nde • 1ère NR individuelle en classe: « Vous disposez d'un cube de 10cm d'arête et vous désignez par A l’un de ses sommets. Déterminez tous les points du cube situés à 15 cm de A ». • 2ème NR à la maison: « 1ère énigme Vrai ou faux ? Si je multiplie ensemble quatre entiers consécutifs et que j’ajoute un, je trouve un carré parfait. 2ème énigme Vrai ou faux ? Pour tout entier naturel non nul n ,2 n2 est supérieur ou égal à 2n ». • 3ème NR individuelle en classe et débat : « 3ème énigme Vrai ou faux ? n étant un entier naturel différent de 1 ,n2 – 17 n + 1517 n’est jamais divisible par n . 3ème énigme (complément) Vrai ou faux ? n étant un entier naturel différent de 1 et 1517,n2 – 17 n + 1517 n’est jamais divisible par n » .

  12. NR en groupe On considère une pyramide régulière à base carrée. On souhaite construire celle de plus grand volume à partir d’une feuille de format A4. à partir d’une idée d’AER proposée par le groupe AMPERE de l’INRP

  13. NR individuelle à partir de la proposition d’un groupe

  14. Le travail collaboratif • Apparition des TICE : nouvelle demande institutionnelle pour la formation continue • Nouveau dispositif : SFODEM Suivi de Formation à Distance des Enseignants de Mathématiques • Naissance du groupe ResCo : mise en réseau de classes sur la résolution d’un problème ouvert • Nouveau contrat avec les enseignants • Nouvelles situations de recherche • Création d’une communauté d’enseignants dans l ’académie, vivier de formateurs • Diffusion du dispositif dans d’autres académies

  15. Communauté de pratique sur la résolution de problèmes Tuteurs Classes Présentiel Plateforme Messagerie Problème Classes Stagiaires

  16. Principaux concepts relatifs aux communautés de pratique (Wengen 1999) Une communauté de pratique est un groupe dont les membres s’engagent régulièrement dans des activités de partage de connaissances et d’apprentissage à partir d’intérêts communs • L’engagement mutuel Engagement des individus dans la négociation, la communication, l’entraide. • L’entreprise commune Négociation des actions communes,socialisation des membres avec responsabilisation. • Un répertoire partagé Mutualisation, innovation et production de nouvelles connaissances. • Les facilitateurs Coordonnateurs, régulateurs. • Travail collaboratif

  17. Nature des problèmes ou situations proposées initialement « …nous apprenons aux élèves à résoudre des problèmes, mais nous ne leur apprenons pas à s'en poser….. » David Théret Essentiellement déjà dans le champ des mathématiques par la forme et le vocabulaire Encore en recherche dans la communauté des mathématiciens « Au cœur même de la notion de culture mathématique se trouve la capacité de poser, de formuler et de résoudre des problèmes……..les élèves devraient non seulement être à même de résoudre des problèmes, mais aussi de se les poser. » rapport PISA 2003

  18. Problème des gardiens de muséeProblème inventé par V.KLEE 1973 On s’intéresse à la surveillance d’une salle de musée, dont les murs sont rectilignes : on y place des gardiens qui sont assis sur des chaises. Ces chaises sont fixées au sol (les gardiens ne peuvent donc pas se déplacer dans la salle), mais elles sont pivotantes (les gardiens peuvent donc voir dans toutes les directions à partir de leur position). Quel est le nombre minimum de gardiens dont il faut disposer pour surveiller toute la salle, et où faut-il les placer ?

  19. Problème de la roulette hollandaise

  20. Évolution de la nature des problèmes ou situations proposées « … Il faut que les élèves sachent remettre en cause les mathématiques qu'on leur enseigne, et qu'ils comprennent qu'on ne leur enseigne pas qu'une discipline abstraite mais aussi un langage et des outils pour comprendre le monde … ….J'ai donc souhaité apporter des problèmes ayant une base plus « concrète », plus axée sur des situations réelles, en espérant que les élèves voient d'eux-mêmes que des questions non-mathématiques peuvent avoir des réponses mathématiques. Bref, que les mathématiques s'invitent d'elles-mêmes, y compris quand elles n'ont pas forcément reçu de carton d'invitation .. » Jérome Droniou • Présentation dans le champ de la réalité • Situations concrètes nécessitant et facilitant des allers retour indispensables dans leur résolution.

  21. Caractéristiques des situations problèmes L’exploration de la situation nécessite, au départ, un débat pour identifier les paramètres, les possibilités de choix mathématiques ; Les décisions sur les objets mathématiques à retenir permettent une modélisation de la situation et des recherches de solutions ; Des échanges entre pairs sur les recherches, sur les résultats sont nécessaires pour avancer ; Le problème est « vivant », évolutif, avec retour à la réalité et remise en cause des choix initiaux. Le problème n’est jamais terminé, ayant des prolongements possibles.

  22. L’écologie des Lemmings Le lemming est un petit rongeur qui vit dans les régions nordiques (Suède, Finlande, Sibérie, Canada…). C’est un animal extrêmement prolifique, il devient mature quelques semaines à peine après sa naissance, et les femelles peuvent avoir plusieurs portées par an. Il a divers prédateurs naturels : renards, hermines, loups, faucons… Au Canada, le lemming vit en particulier dans l’archipel arctique, constitué d’une centaine d’îles principales (un peu plus de 1 km² chacune) et de milliers d’îles secondaires. On cherche justement à prévoir l’évolution de la population d’une de ces îles. On sait qu’il y avait, en 2005, 3000 individus environ sur l’île en question, et on a constaté que le lemming a un taux de natalité (nombre de naissances par an divisé par le nombre d’individus) égal à 110% et un taux de mortalité (nombre de décès par an divisé par le nombre d’individus) égal à 60%. Peut-on prévoir la population dans les années futures? Que peut-on en conclure ? Est-ce possible de prévoir la population au milieu (ou au quart, au tiers…) d’une année donnée? Et si l’on s’intéresse à la même espèce de Lemmings qui vivent en Sibérie, le problème change-t-il de nature ?

  23. Évolution de la nature des problèmes ou situations proposées « … Il faut que les élèves sachent remettre en cause les mathématiques qu'on leur enseigne, et qu'ils comprennent qu'on ne leur enseigne pas qu'une discipline abstraite mais aussi un langage et des outils pour comprendre le monde … ….J'ai donc souhaité apporter des problèmes ayant une base plus « concrète », plus axée sur des situations réelles, en espérant que les élèves voient d'eux-mêmes que des questions non-mathématiques peuvent avoir des réponses mathématiques. Bref, que les mathématiques s'invitent d'elles-mêmes, y compris quand elles n'ont pas forcément reçu de carton d'invitation .. » Jérome Droniou • Présentation dans le champ de la réalité • Situations concrètes nécessitant et facilitant des allers retour indispensables dans leur résolution.

  24. Un exemple de recherche collaborative Le problème de l’artiste

  25. Démarche d’investigation (BO 2008) Choix d’une situation-problème Appropriation du problème par les élèves ( semaine 1) Formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives ( semaine 2) La relance Investigation ou résolution du problème ( semaine 3 – 4) Échanges argumentés Acquisition et structuration des connaissances ( semaine 5)

  26. Choix de la situation problème : le pb de l’artiste Point de départ : - étudier le régionnement du cercle : On place n points sur un cercle. Combien de régions détermine-t-on à l'intérieur de ce cercle en joignant les points deux à deux ? - confronter les élèves à un problème géométrique dont la solution numérique conjecturée à partir des premiers résultats s’avère fausse Obstacles : - ce problème et ses solutions expertes se trouvent facilement sur Internet - l’énoncé est trop « mathématique » : en général, les problèmes étudiés présentent une situation proche de la réalité, qui demande une modélisation Des idées de contextualisation : - Puzzle - Jeu vidéo - tableau contemporain Énoncé définitif : le problème de l’artiste

  27. Le problème de l’artiste Un artiste contemporain veut réaliser une œuvre sur un support rond, en plantant des clous sur le pourtour et en tendant des fils entre les clous. Il se propose de peindre chaque zone d’une couleur différente. De combien de couleurs aura-t-il besoin ?

  28. Appropriation du problème par les élèvesLes questions ( semaine 1) Les réponses ( semaine 2) Questions des élèves de 6e4 d’Argelès sur Mer Séance 1 (12-11-2009) Réponses des élèves de 5e3 de Montivilliers Séance 2 (19-11-2009) Combien de clous ? On ne peut pas savoir mais ça ne peut être ni 1, ni 2 car sinon on ne pourra tendre plusieurs fils Combien de cm le support ? On se demande si c’est vraiment important de connaître les dimensions du support. Peut-être que si le support est très grand, on pourra mettre plus de clous et donc il aura plus de zones. Le fil, il le place comment ? Il peut traverser ou il fait le tour ? Le fil est placé entre les clous et donc il traverse le cercle. Si on ne fait que le tour, le fil ne sera pas tendu. Quel espacement entre les clous ? On ne peut pas savoir. Comment sont plantés les clous sur le pourtour ? Cela ne sert à rien de savoir comment sont plantés les clous. A-t-on assez de couleurs ? Oui, il y a une infinité de couleurs.

  29. La relance (début de la semaine 3) Bonjour à tous et à toutes, Dans toutes les classes, vous avez déjà bien travaillé sur le problème de l’Artiste que nous vous avons proposé et plusieurs pistes possibles ont été envisagées. On voudrait pouvoir donner une réponse précise à l’Artiste afin de l’aider à faire ses choix pour réaliser son œuvre. Pour cela, on se propose de traiter mathématiquement le Problème de l’Artiste. Dans ce but, je vous propose de considérer que : 1. le nombre de couleurs est le nombre de zones 2. on cherche une solution générale, c’est-à-dire qu’on cherche le nombre maximum de zones en fonction du nombre de clous 3. le support de l’œuvre est un disque et les clous sont répartis sur sa circonférence 4. la taille du support est suffisante pour que l’on puisse négliger la taille des clous et l’épaisseur des fils. Par conséquent, on assimile les clous à des points, et les fils tendus à des segments de droite. Je vous souhaite à tous et à toutes une très bonne poursuite de la recherche. Viviane DURAND-GUERRIER

  30. Compétences travaillées a priori • La capacité à identifier qu’une mathématisation est nécessaire pour pouvoir apporter une réponse au problème concret de l’artiste. • La capacité à reconnaître l’importance des résultats partiels et l’identification de sous problèmes • La capacité à utiliser des résultats identifiés pour orienter l’action sur les objets • La capacité à persister dans la recherche : changer de stratégies, de cadre • La capacité à se détacher de la nécessité d’avoir des nombres pour résoudre un problème

  31. Dénombrement sur des figures très complexes

  32. La recherche s’organise et devient plus méthodique

  33. Evolution du dessin vers une modélisation

  34. Recherche de relation : nombre de zones en fonction du nombre de clous

  35. Recherche de relations : Nombre de fils en fonction du nombre de clous

  36. Une synthèse des résultats des recherches dans une classe de sixième

  37. Formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives (semaines 3 et 4) COMPTE RENDU DES RECHERCHES DE LA 3D DE JACOU - 03 – 12 2009 pour avoir le maximum de zones il faut tendre le maximum de fils à partir de chaque clou, il est facile de compter ce maximum de fils Exemple : si on a 5 clous il doit partir 4 fils de chaque clou si on a 6 clous il doit partir 5 fils de chaque clous pour le nombre de zones en fonction du nombre de clous avec des dessins nous avons trouvé : pour 2 clous 2 zones 3 clous 4 zones 4 clous 8 zones 5 clous 16 zones on dirait qu’il faut multiplier par 2 le résultat à chaque étape mais pour 6 clous certains ont trouvé 30, 31 zones, aucun n’a trouvé 32 zones nous avons remarqué que la position des clous a de l’importance. Dans beaucoup de groupes nous avons d’abord fait des dessins avec les clous diamétralement opposés, les fils se coupent tous alors au centre : il est facile de compter les zones mais on n’a pas le nombre maximum de zones pour avoir le nombre maximum de zones, il ne faut pas qu’il y ait 3 fils qui se coupent au même point ; si 3 fils se coupent au même point en déplaçant un clou on crée une nouvelle zone. pour 6 clous on n’arrive pas à dépasser 31 zones car il n’y a pas de points intersection de 3 fils.

  38. Les mathématiques travaillées Travail sur les fonctions, sur les suites Travail en géométrie  Travail lié à la topologie  Démarche scientifique : Mathématisation d’un problème concret par un modèle mathématique (modélisation des clous par des points, des fils par des segments, des zones par des surfaces) Démarche par essais successifs Formulation de conjectures, confrontation à d’autres exemples, remise en cause des conjectures, validation ou invalidation des conjectures Travail de dénombrement, stratégies de dénombrement (comment compter des objets sans compter plusieurs fois les mêmes et être sûr de la validité du résultat : numéros, points, coloriages) Allers-retours fréquents entre les champs numérique, algébrique et géométrique

  39. http://www.irem.univ-montp2.fr/SPIP/Resolution-collaborative-de,96http://www.irem.univ-montp2.fr/SPIP/Resolution-collaborative-de,96 Identifiant : resco Mot de passe : juin2010 Le site

  40. Perspectives • Poursuite du travail sur les compétences (socle) • Identification des connaissances mathématiques travaillées en liaison avec EXPRIME • Projets suivis interactifs • Plateforme site

  41. Partager une valeur financière implique qu’on la divise. La connaissance est la seule valeur qui augmente lorsqu’on la partage. Proverbe indien

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