1 / 25

Povijest matematike (7)

Povijest matematike (7). F. M. Br ü ckler Ak.God. 2005/06. Otkriće logaritama. Zašto uvesti logaritme?. lakše je zbrajati nego množiti  korisno je moći svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja

zamir
Télécharger la présentation

Povijest matematike (7)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Povijest matematike (7) F. M. Brückler Ak.God. 2005/06

  2. Otkriće logaritama

  3. Zašto uvesti logaritme? • lakše je zbrajati nego množiti  korisno je moći svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja • ideja: napraviti tablice koje brojevima koje treba množiti pridružuju brojeve koje ćemo umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara dobivenom zbroju • dva izvora otkrića logaritama: izrada trigonometrijskih tablica za korištenje u navigaciji; kamatni račun • 1593.dva danska matematičara predlažu korištenje trig. tablica za olakšanje računa pomoću formule sin(A)cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B) • npr. za 0.17365·0.99027, u tablicama nađemo 0.17365 = sin(10), 0.99027 = cos(8) te iz formule slijedi 0.17365·0.99027 =sin(10)cos(8) = (sin(18) + sin(2))/2 = /tablice/ = (0.30902 + 0.03490)/2 = 0.17196

  4. Tko je izmislio logaritme? • John Napier (Neper, 1550-1617) • škotski aristokrat, fanatični protestant, glavni interes mu je teologija i održava-nje svojih imanja, a matematika je hobi • najpoznatiji, ali ne i jedini matematički rezultat: tablica logaritama • Joost Bürgi (1552-1632) • najpoznatiji švicarski urar svog doba, konstruirao više znanstvenih instrumenata • radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje je Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama

  5. Napierova konstrukcija logaritama • 20ak godina na konstrukcije tablice logaritama; Mirifici logarithmorum canonis descriptio 1614 . • ideja: parovi nizova (uz fiksnu bazu: aritmetički niz eks-ponenata i pripadni geometrijski niz potencija): zbroj/ razlika eksponenata odgovaraju produktima/kvocijenti-ma potencija • preveliki razmaci između uzastopnih cjelobrojnih poten-cija npr. broja 2 da bi se interpolacijom dobili dobri rez-ultati - manje rupe: baza blizu 1  bolji rezultat interpo-lacije  Napierova baza: 1 - 10-7= 0.9999999 da bi izbjegao rad s decimalnim brojevima, sve svoje po-tencije množi s 107 za N = 107[1 - 10-7]L, onda je L Napierov logaritam od N (L =NapLog N) • prvo je svoje eksponente zvao “umjetni brojevi”, kasnije je smislio složenicu od “logos” i “arithmos”

  6. NapLog je padajući i nema baš svojstva koja danas očekujemo od logaritma

  7. Promatramo paralelno gibanje dvije točke A i B. Točka A se giba konstantnom brzinom (107)  njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima čine aritmetički niz. Točka B giba se od 0 do 107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada i brzine u uzastopnim intervalima čine geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po iznosu jednaka putu koji još treba preći). Udaljenost koju je točka A prešla do n-tog trenutka Napier zove logaritmom od udaljenosti koju B još treba preći u tom trenutku.

  8. Briggsov doprinos • Henry Briggs (1561-1630) – prof. geometrije u Oxfordu, oduševljen Napierovim tablicama, 1615. putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira o logaritmima • već prije posjeta je u pismu predložio izradu tablice onog što bismo danas zvali dekadskim logaritmom i počeo ju konstruirati (dakle, predlaže log(1) = 0, log(10) = 1) • Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); 1624. Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu log. od brojeva od 1 do 20000 i 90000 do 100000 na po 14 decimala • Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike broja (mantisa je najveće cijelo brojeva dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)

  9. A što je napravio Bürgi? • tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620.! • promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s bazom 1,0001 i promjene potencije koje uzrokuju promjenu eksponenta za 1 • tablica N, N, L za L=0,1,2,... • vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova • finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104)  nova tablica (de facto samo izmjena baze na (1+0,0001)10000) – ponavljanje postupka dovodi do toga da je baza sve bliža broju e

  10. N geometrijski: ako jeN=1,000110000L i L=0,0001 onda se prirasti L mogu prikazati kaopravokutnici širineN i visine 1/N gdjese za svaki N njegov prirast N bira tako da jepovršina pravokutnika L; Tada je L suma tih prirasta od 1 do N – što je aproksimativno ln N!

  11. Primjene matematike u fizici i astronomiji

  12. Nikola Kopernik (1473-1543) • od ca. 1510. razvija koncept heliocentričnog sustava (nije prvi kojem je to palo na pamet ) • prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno retrograd-no kretanje planeta • De revolutionibus orbium coelestium(1543) – pregled pripadne matematičke teorije • naizgled lošije od Ptolomeja: Kopernik pretpostavlja kružne orbite  mjerenja naizgled bolje odgovaraju Ptolomejevom nego njegovom koceptu

  13. Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu, je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant, Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu; Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio luteranskom teologu A. Osianderu koji je već imao iskustva s tiskanjem matematičkih tekstova • Osiander je umjesto originalnog Kopernikova predgovora umetnuo pismo čitateljima u kojima kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji način računanjapozicija nebeskih tijela; također je malo izmijenio naslov tako da manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu

  14. Galileo Galilei (1564-1642) • obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom, fizikom (njihalo, kohezija, slobodni pad) i matematikom (prije svega kao argument u svojim fizikalnim i astronomskim radovima), ali i glazbom i slikanjem • 1609. izradio vlastiti teleskop i pomoću njega otkrio kratere na Mjesecu, Sunčeve pjege, četiri najveća Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje dokazuju kopernikanski stav: moguće su samo ako je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja). • predložio Galilejsku relativnost: svuda vrijede iste definicije gibanja  Galilejeve transformacije (točne za male brzine, za velike ih se mora zamijeniti Lorenzovim) • 1632. Dijalog od dva glavna sustava svijeta – zamišljeno kao rasprava između kopernikanskog i ptolomejskog sustava, ismijava argumente Crkve  pada u nemilost, prisiljen odreći se kopernikanskih stavova i stavljen je u kućni pritvor; u kućnom pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima, matematički vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e dimonstrationi matematiche)

  15. Johannes Kepler (1571-1630) • 1596. Mysterium cosmographicum– prvi kozmološki model, mistički pitagorejski pogledi na svemir • uvjereni pristaša kopernikanske teorije • uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim tablicama – analizira ih nakon Braheove smrti • iz računa zaključuje da su planetarne orbite elipse Keplerov prvi kozmološki model (1596)

  16. Astronomia Nova(1609 – tri Keplerova zakona kretanja planeta • planeti se kreću po elipsama u čijem jednom fokusu je Sunce • radij-vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prelazi jednake površine • kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini glavne poluosi orbite (Harmonices mundi, 1619) Keplerova eliptička orbita za Mars

  17. Simon Stevin (1548-1620) • Belgijanac, vanbračno dijete, majka se kasnije vjenčala u kalvinističku obitelj • radio razne činovničke poslove, tek s 35 godina upisao sveučilište (Leiden) • važni doprinosi u trigonometriji, mehanici, arhitekturi i utvrđivanju, glazbi, zemljopisu i navigaciji • 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana o decimalnim razlomcima (koje su prije njega koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u Evropu); komentira da je opće uvođenje decimalnih mjernih jedinica samo pitanje vremena

  18. 1586 De Beghinselen der Weegconst: teorem o trokutu sila (poticaj razvoja statike); treatise De Beghinselen des Waterwichts: hidrostatika – razvoj Arhimedovih ideja; tlak tekućine na plohu ovisi o visini tekućine i površini plohe. • 1586 (3 godine prije Galilea): različite mase danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u Delftu) • 1608 De Hemelloop:astronomija – zagovornik Kopernika • piše i o perspektivi (čak za slučaj da platno nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi: gdje treba biti oko promatrača ako znamo gdje je objekt i kakva mu je slika)

  19. Primjena matematike u likovnoj umjetnosti

  20. Divina proportione, 1509 - Luca Pacioli ilustracije: da Vinci tema: zlatni rez, poliedri ... • Jacopo de Barbari, 1495

  21. Albrecht Dürer (1471-1528) • iz Nürnberga, treće od 18 djece Mađara (Ajtos  Türer  Dürer), otac mu je bio draguljar • već s 13 godina se ističe kao slikar, od 1486 radi kao šegrt u radionici za oltare • 1494 se ženi bogatom nasljednicom • put u Italiju  vraća se 1495, iako nije upoznao nikog od većih matematičara, a niti Leonarda, saznao je o Pacioliju i važnosti matematike za umjetnost počinje proučavati matematička djela (EE idr.)

  22. od ca. 1500 pokazuje matematički utjecaj u svojim djelima, u to doba postaje i slavan • nakon smrti oca 1502 Dürer se mora brinuti za invalidnu i gotovo slijepu majku, otvara svoju tiskaru i usput prodaje svoja djela na sajmovima težak život koji mu uništava zdravlje • 1505-7 opet u Italiji, sad kao slavni slikar, a zanima ga učenje matematike • od 1508 skuplja materijale za djelo o primjeni matematike u umjetnosti • 1514 Melankolija – prvi magični kvadrat u Evropi • 1525 Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit  matematika za umjetnike; tu se nalaze i Dürerove krivulje

  23. Melankolija (1514)

  24. Serija drvoreza “Život djevice” (ima ih još...)

More Related