1 掌握极值和条件极值的定义； 2 会判别多元复合函数存在的极值和条件极值问题；

1. 第十五章 极值和条件极值 教学目标： 1 掌握极值和条件极值的定义； 2 会判别多元复合函数存在的极值和条件极值问题；

2. §15.1 极值和最小二乘法

3. 一、极值 本节讨论二元函数的极值问题，对于多元情况可类似地讨论. 若函数 在点 的某个领域内成立不等式 则称 在点 取到极大值 ,点 称为函数 的极大点; 类似地,若在点 的某个领域内成立不等式 则称 在点 取到极小值 ,点 称为函数 的极小点.

4. 极大值与极小值统称为极值; 极大点与极小点统称为极值点. 从定义可见, 若 在点 有一极值,则固定 后的一元函数 必在点 有极值.于是由一元函数在极值点的必要条件,可知有 同理可知 这就是说,对偏导数存在的函数 来说,在点 有极值的必要条件是 对于可谓函数,也就是

5. 这个条件并非充分的.例如函数 在点 此外,函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值.例如 由此可见,函数的极值点必为 及 同时为零或至少有一个偏导数不存在的点. 综上所述,要求函数的极值,首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点,然后根据该点周围函数的变化情形,进一步判定是否有极值,为此我们讨论函数 的改变量 ,若 的一切二阶偏导数都连续,则由泰勒公式并注意到在极值点必须 就有

6. 由于 的一切二阶偏导数在 连续,记 那么有

7. 于是 当二次形式 不为零时,注意到 时, 都是无穷小量,所以存在点 的一个邻域,使得在这个邻域内, 的符号与 的符号相同,而当 时, 的符号便取决于 的符号了. 对于二次型 它的判别式为

8. 那么有以下结论 1、 函数有极大值. 2、 函数有极小值. 3、 函数无极值. 4、 需进一步判定. 利用代数中关于二次型的理论,很易知道以上结论. 这是因为当 而 时,二次型 为负定的,故 从而 ,这表明函数 在 点

9. 有极大值;当 而 时,二次型 为正定的,故 从而 ,这表明函数 在 点有极小值;当 时,二次型为不定的,所以 可正可负,于是函数在 点 无极值;当 时,二次型 在某些 值上将等于零,于是 的符号就必须进一步判断了. 对于实际问题,往往可以根据实际意义来判断函数在某点时否为极值以及时极大值还是极小值. 例1 讨论函数 的极值.

10. 例2 讨论 的极值. 例3 有一块薄铁皮,宽 ,把两边折起,做成一槽,求 和倾角 ,使槽的梯形截面的面积最大. 例4 试在 轴, 轴与直线 围成的三角形闭区域上求函数 的最大值. 二、最小二乘法 在实践中，常常需要根据实际测量得到的系列数据找出函数关系，通常叫做配曲线或找经验公式.这里

11. 介绍一种找直线型经验公式的方法,它是广泛采用的一种处理数据的方法.这方法不难推广到求其他类型经验公式(如二次函数或指数函数)中去.介绍一种找直线型经验公式的方法,它是广泛采用的一种处理数据的方法.这方法不难推广到求其他类型经验公式(如二次函数或指数函数)中去. 如果点 恰恰在直线 上,那么应该有 ,即 ,这时候函数 准确地反应了 与 的关系. 如果 不在直线 上,那么 表示用函数 来反应 与 的关系时所产生的偏差.我们当然希望选择适当的 和 ,使这偏差值越小越好. 把测得的一组数据记为 , 用

12. 表示相应的偏差,这些偏差的平方和叫做总偏差,记为 ,即 它是 和 的函数 . 根据问题的要求, 我们应该这样确定 和 ,使得总偏差 达到最小值. 这种确定系数的方法叫做最小二乘法. 这里我们不取各个偏差的代数和 作为总偏差. 这是因为这些偏差本身有正有负,如果简单地取它们的代数和,就可能互相抵消. 这时,虽然偏差的代数和很小, 却不能保证各个偏差都很小.而按上面偏差,使这些偏差的平方和最小,就可以保证每一个偏差都很小. 为了选择 和 ,使总偏差 达到最小,

13. 由极值的必要条件,有

14. 即 和 满足下列代数方程组 可以解得

15. The Class is over. Goodbye!