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第七章 發電之最佳調度

第七章 發電之最佳調度. 7. 1 序　言 7.2 非線性函式最佳化 7.3 火力電廠之運轉成本 7.4 忽略耗損及無發電機極限之經濟調度 7.5 忽略耗損但包含發電機極限之經濟調度 7.6 包含耗損之經濟調度 7.7 耗損公式之推導. 在實際電力系統中，並非所有發電廠均與負載中心之等距離，且燃料成本亦各自有別，且在正常運轉情況下，發電容量總和應大於負載及耗損之總和，因此，在規劃發電上，有甚多的選擇自由。

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第七章 發電之最佳調度

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  1. 第七章 發電之最佳調度 • 7.1 序　言 • 7.2 非線性函式最佳化 • 7.3 火力電廠之運轉成本 • 7.4 忽略耗損及無發電機極限之經濟調度 • 7.5 忽略耗損但包含發電機極限之經濟調度 • 7.6 包含耗損之經濟調度 • 7.7 耗損公式之推導

  2. 在實際電力系統中，並非所有發電廠均與負載中心之等距離，且燃料成本亦各自有別，且在正常運轉情況下，發電容量總和應大於負載及耗損之總和，因此，在規劃發電上，有甚多的選擇自由。 • 在互連的電力系統中，規劃每一發電廠的實功率及虛功率發電，其目標在於使運轉成本最小化；換言之，發電機的實功率及虛功率，可在某範圍內予以變化，以符合特定之負載需求，同時使燃料成本最低，此即習稱之 最佳電力潮流問題(optimal power flow, OPF)。 7.1 序　言

  3. 對大型電力系統而言，OPF 可使電力潮流之解得到最佳化；此可藉由發電機能力之極限、及各種補償裝置之輸出為基礎，以維持系統性能在可接受的情況下，同時將所選定之目標函式最小化，即可達成。目標函式，亦稱為 成本函數(cost function)，可顯示經濟成本、系統安全、或其他目標。 • 有效率的虛功率排程，可強化經濟運轉及系統安全。 • 本章之分析範圍，乃設定於發電實功率之經濟調度。先介紹連續函式之典型最佳化，並展現限制條件在最佳化問題上的應用；隨後，介紹發電之增量發電成本。 1.1 序　言

  4. 若成本函數為 最小化之必要條件為 (7.1) (7.2) (7.3) 或 其中 (7.3) 習稱為梯度向量 (gradient vector) 參數未受限之最佳化 • 非線性函式最佳化是一個重要的工具，並且是較廣義的最佳化，名為 非線性規劃 (nonlinear programming)，的一部分 7.2非線性函式最佳化

  5. 把函式取二次微分，可得 (7.5) 整理後得一對稱矩陣稱為函式之 赫錫恩矩陣 (Hessian matrix) 當在局部極點 處，f 之微分值為零時，若為 相對最小，則赫錫恩矩陣在 處應為 正定性矩陣 (positive definite matrix)，亦即赫錫恩矩陣在極點處之所有特徵值 (eigenvalue) 均為正。 • 未受限函式之最小化，可設定其偏微分值 為零，並求解其參數值。在各組所得之參數值中，其成本函數之二次偏微分矩陣是正定性者，為局部最低點。

  6. 例題7.1 (p. 267) (chp7ex1) 試求下式之最低點 求出一次微分後令其為零，利用 MATLAB中 X = A\B指令得 ，在此點之函式值為 其對應的赫錫恩矩陣 利用 MATLAB函式 eig(H)，可得特徵值為 1.55、4.0、 6.45，均為正值，赫錫恩矩陣為正定性矩陣，(3, 2, 5)點處為最低點。

  7. (7.6) (7.7) (7.8) 參數受限之最佳化：等式限制條件 • 最小化成本函數 並受制於等式限制條件 此問題或許可用 拉格蘭芝乘數法 (Lagrange multiplier method)，予以求解。加入k-向量之未知量 ，可得擴增成本函數 (augmented cost function) ，未受限成本函數變為 對應的必要條件如下：

  8. (7.9) (7.10) 注意方程式 (7.10) 僅為原先之限制條件。

  9. 例題7.2 (p. 269) (chp7ex2) 試利用拉格蘭芝乘數法，求解受限參數之最佳化，以決定在xy平面上，由原點至下式所示之圓的最短距離 利用 MATLABplot 命令，可描繪如左圖之圓。由該圖可知，最短距離為 5，位於點 (4, 3) 。最短距離可得自距離平方之最小化，即為 構建拉格蘭芝函式 (Lagrange function) 可求得極點之必要條件為

  10. 上列三條方程式之解，可提供最佳點。 上述程式之解為x = 4 及 x = 12，因此，其對應之極點為 =1之點 (4, 3)，及 = –3 之點 (12, 9)。由圖 7.1 可知，最短距離係位於點 (4, 3)，而最長距離則位於點 (12, 9)；為區分此二點，取得二次微分，並在該二點求取其赫錫恩矩陣，具有正特徵值者為正定性矩陣，則其參數對應至最低點。

  11. 在很多問題中，直接解法並不可行，則上列方程式勢需疊代求解。應用於連續函式上，牛頓-拉弗森法不失為一個明顯且優秀的方法。由前二方程式，取得 x及 y，即為 代入第三條方程式可得 此為 之非線性方程式，並可用牛頓-拉弗森法求解。以未知量的起始估計值為基點，並利用泰勒級數展開 (詳情請參見第 6 章)，牛頓-拉弗森法為一種連續的近似程序。

  12. (7.11) (7.12) 對一維狀況而言， 自 之估計值開始，在最陡降 (steepest decent) (負梯度) 方向上，可得新的值；在負梯度方向上，此程序繼續，直至 小於特定之精確度為止；這種演算法則稱為 梯度法 (gradient method)。上列函式之梯度為 利用牛頓-拉弗森法求解特定方程式，程序如p. 271所示。

  13. Iter f J   x y 1 2 3 4 5 26.0240 7.3934 1.0972 0.0337 0.0000 –72.8863 –36.8735 –26.6637 –25.0505 –25.0001 0.3570 0.2005 0.0411 0.0013 0.0000 0.4000 0.7570 0.9575 0.9987 1.0000 2.2857 3.4468 3.9132 3.9973 4.0000 1.7134 2.5851 2.9349 2.9980 3.0000 執行程式時，使用者應輸入 之起始估計值，令 ，其結果為 Enter estimated value of Lambda  = 0.4 經五次疊代後，解收歛為 = 1.0、 x = 4 及 y = 3，對應於最短距離。若執行程式之起始估計值為 –2 時，解收歛為 = -3、 x = 12 及 y = 9 ，對應於最長距離。

  14. 實際之最佳化問題，含有不等式限制條件及等式限制條件。考慮成本函數為實際之最佳化問題，含有不等式限制條件及等式限制條件。考慮成本函數為 (7.13) 遭受等式限制條件 (7.14) 及不等式限制條件 (7.15) 經由加入m-向量之未知量 ，可將拉格蘭芝乘數，予以擴展至包含不等式限制條件。未受限成本函數變為 (7.16) 受限參數最佳化：不等式限制條件

  15. 對應的必要條件如下： (7.18) (7.19) (7.20) (7.21) 注意公式 (7.18) 僅為原先之等式限制條件。上述條件習稱為 庫恩-塔克 (Kuhn-Tucker) 必要條件。

  16. 假設 為一相對最低點，若嚴格不等式在該點成立，且 時，(7.19) 之不等式限制條件稱為非主動 (inactive)；另一方面，若嚴格等式在該點成立，該限制條件即為主動 (此即 且 )；

  17. 試求函式 之最小值 例題7.3 (p. 273) (chp7ex3) 等式限制條件為 不等式限制條件為 由 (7.16) 之未受限成本函數為 所得之必要條件為

  18. 解上述方程式可得可得 之方程式 整理可得下式 上式之根為 = -0.2 及 = -1.8 ，以之取代 x及 y公式中之 ，其對應之極點為 離成本函數之最小距離為 5.385，位於點 (5, 2)；最大距離為 6.71，位於點 (3, 6)。

  19. 增加不等式限制條件 2x + y  12 至例題 7.1 之圖，可以下圖圖解驗證。

  20. 7.3火力電廠之運轉成本 • 影響最低發電成本的因素，為發電機之運轉效率、燃料成本、及輸電線耗損。 • 系統中最有效率之發電機，亦無法保證最低成本，因其所在地之燃料成本可能很高。 • 若發電廠係遠離負載中心，輸電線耗損可能相當高，導致該發電廠可能極度不經濟。 • 運轉成本最佳化問題係決定各不同發電廠之發電量，使其總和運轉成本最低。 • 火力發電廠之輸入，通常以 Btu/h 測量，而其輸出則以 MW 測量；火力機組之簡化輸入-輸出曲線，習稱為 熱率曲線 (heat-rate curve)，示如圖 7.3(a)，將熱率曲線之縱座標，由 Btu/h 轉化為 $/h，可得示如圖 7.3(b) 之燃料成本曲線 (fuel-cost curve)。

  21. 圖 7.3   (a) 熱率曲線。(b) 燃料成本曲線。 在實際狀況下，發電機之燃料成本可表為發電量之二次函式 (7.21) 描繪燃料成本曲線對發電量之微分，可獲得重要特性，此乃習稱為 增量燃料成本曲線 (incremental fuel-cost curve) 。

  22. (7.22) 增量燃料成本曲線可視為一種度量，以明白當產生下一增加量之發電時，其價格是否昂貴。總共之運轉成本包含燃料之成本，與勞工、供給及維修之成本，這些成本係假設為燃料成本之固定百分比，且通常包含於增量燃料成本曲線中。 圖 7.4 典型之增量燃料成本曲線。

  23. 最簡單的經濟調度問題 忽略輸電線耗損的情況，意即在問題模型中並未考慮系統架構及輸電線阻抗。本質上，該模型係假設系統中僅有一母線，所有的發電機及負載均接至該母線，示如圖 7.5。 圖 7.4 發電機接至共通母線。 既然忽略輸電線耗損，總和負載 PD即為發電量之總和；每座發電廠之成本函數 Ci，假設為已知。此問題係決定每座發電廠之實功率發電量，使其如下式定義之目標函式 (即總和發電成本)為最低 (7.23) 7.4 忽略耗損及無發電機極限之經濟調度

  24. 受制之限制條件為 (7.24) 其中 Ct 是總和發電成本， Ci是第 i座發電廠之發電成本，Pi是第 i座發電廠之發電量，PD是總和負載需求，及 ng是可調度發電廠之總數。典型之解法係利用拉格蘭芝乘數，將限制條件擴編入目標函式中。 下列函式對其變數之偏微分為零之點，即可得未受限函式之最小化 。 (7.25)

  25. (7.26) (7.27) 因此最佳調度之條件為 (7.28) 或 (7.29) 由 (7.27) 之第二條件，可得 (7.30) 公式 (7.30) 恰為加上之等式限制條件

  26. (7.31) • 最經濟運轉 當忽略耗損且無發電機極限時，為最經濟運轉，所有發電廠應運轉於相等增量發電成本，且滿足 (7.30) 之等式限制條件。 求解 (7.29) 之 Pi，可得 (7.31) 定義之關係，習稱為 協調方程式 (coordination equations)，為 之函式。 將(7.30)中的 Pi以(7.31)的 取代得 (7.32)

  27. 將上式之左手邊項，在工作點 附近，以泰勒級數展開，且忽略高階次項，可得 (7.33) (7.34) (7.35) 利用梯度法求快速解；為此，將 (7.32) 改寫為

  28. 此程序繼續至 小於特定之精確度。 (7.36) 因此， (7.38) 其中 (7.39)

  29. 例題7.4 (p.279) (chp7ex4) 有三座火力發電廠，單位為 $/h 之燃料成本曲線，已知為 其中 P1、 P2、 P3之單位為 MW，總和負載 PD為 800 MW。忽略輸電線耗損及發電機極限，試求最佳調度及單位為 $/h 之總成本 (a)    用 (7.33) 之解析方式 (b)    用圖解方式 (c)    利用梯度法之疊代技巧

  30. (a) 用 (7.33) 之解析方式 由 (7.33)，可得值為 代入 (7.31) 之協調方程式，最佳調度為

  31. (b)用圖解方式 由 (7.28)，最佳調度所需之必要條件為 限制條件 為展現最佳調度所需之等增量成本的觀念，利用 MATLAB之 plot 命令，在同一圖上描繪每座發電廠的增量成本，如示於圖 7.6；求解時，可嚐試使用不同之 值，直至產生 。

  32. 對每個 值，若 則增加 值；反之，若 則減少 值。因此，圖中之水平虛線將往上或往下移動，直至最佳點 ， 。 圖7.6 等增量發電成本的觀念 本例題中，PD = 800MW，最佳調度為P1= 400、P2 = 250、及P3=150，在 $/MWh。

  33. 假設初值為 ，由 (7.31) 之協調方程式，P1、 P2、及 P3為 既然 ，由 (7.39) 之誤差 為 由 (7.37) (c) 利用梯度法之疊代技巧

  34. 因此，新的 值為 繼續此程序，第二次疊代可得 且 既然 ，二次疊代即滿足等式限制條件，因此，最佳調度為

  35. 因此，最佳調度為 總和燃料成本為 為展示上述方法，利用p.282的簡易程式亦可得到相同結果。

  36. dispatch 程式簡介 dispatch程式係為最佳調度問題而發展；該程式傳回系統、最佳調度發電向量 、及總和成本 P。下列係 dispatch 程式所需之保留變數： Pdt這個保留名字，應用以設定單位為MW之總和負載。若 Pdt 並未指定，則使用者將被提示輸入總和負載。若 dispatch 係隨任何電力潮流程式之後使用，則總和負載將由電力潮流程式自動傳送。 cost 這個保留名字，應用以設定成本函數之係數。該係數以 MATLAB矩陣形式安排，每一列含有依 P冪次漸增之成本函數係數。

  37. mwlimits 這個名字，係為發電機實功率極限而保留，且於第 7.5 節中討論。依矩陣形式設定，第一行代表最小值，第二行代表最大值。若 mwlimits 並未指定，則程式依無極限情況，求取最佳發電調度。 B B0 B00 這些名字，係為耗損公式之係數矩陣而保留，且於第 7.6 節中討論。若這些變數並未指定，則程式依忽略耗損情況，求取發電之最佳調度。 火力電力系統之總和發電成本，可借助 gencost 命令求得。若成本函數矩陣業已定義，則此程式可隨任何電力潮流程式或 dispatch 程式之後使用。

  38. 例題7.5 (p. 284) (chp7ex5) 忽略發電機極限及系統耗損，使用 dispatch 程式，對例題 7.4 所指定的火力發電廠，求取發電之最佳調度。 利用下列命令： cost = [500 5.3 0.004 400 5.5 0.006 200 5.8 0.009]; Pdt = 800; dispatch gencost 其結果為 Incremental cost of delivered power(system lambda)= 8.5$/MWh Optimal Dispatch of Generation: 400.0000 250.0000 150.0000 Total generation cost = 6682.50 $/h

  39. (7.40) 7.5忽略耗損但包含發電機極限之經濟調度 • 任何發電機之功率輸出不得超過其額定值，亦不得低於使鍋爐穩定運轉之所需下限；因此，發電量被局限於特定之最低與最高極限間。 使由 (7.23) 定義之目標函式 (即總和發電成本) 為最小，並遭受 (7.24) 之限制條件，及如下之不等式限制條件 其中 Pi(min)及 Pi(max)分別為第 i座發電廠之最低與最高發電極限。 以庫恩-塔克條件補助拉格蘭芝條件，可額外包含不等式限制條件。忽略耗損時，求取最佳調度之必要條件變為

  40. (7.41) 數值解如前相同，此即，對一個估計 值，由 (7.31) 之協調方程式可求得 Pi；繼續疊代，直到 為止。任何發電廠只要一到達其最高或最低值，發電廠即局限於該極限值；事實上，該發電廠之輸出變為固定值，且只剩未違反的發電廠應依等增量成本運轉。

  41. 假設初值為 ，由 (7.31) 之協調方程式，可得 P1、 P2、及 P3為 例題7.6 (p. 286) (chp7ex6) 例題 7.4 之火力發電廠，當總和負載為 975 MW，並有下列之發電機極限 (單位為 MW) 時，試求其最佳調度、及單位為 $/h 之總和成本。

  42. 既然 PD = 975 MW，由 (7.39) 之誤差 P為 由 (7.37) 因此，新的 值為 繼續此程序，第二次疊代可得

  43. 且 因為 P(2)=0，二次疊代即滿足等式限制條件，然而，P1超過其最高極限值，因此，該發電廠局限於其最高極限值，故 P1 = 450 MW 並固定於此值。新的功率不平衡為 由 (7.37) 因此，新的 值為 第三次疊代可得

  44. 可以利用p. 288所列的dispatch程式，求取包含發電機極限的最佳發電調度 P(3)=0 ，等式限制條件即可滿足，且 P2及 P3均在極限內。因此，最佳調度為 總和燃料成本為

  45. 在大型互連網路中，電力係在低負載密度的區域內，長距離傳送，此時輸電線耗損即為影響最佳發電調度之重要因素。 • 為包含輸電線耗損之效應，可將輸電線耗損表示為，以發電機之實功輸出為函式的二次式。 • 克隆耗損公式 (Kron’s loss formula) (7.43) 係數 Bij習稱為 耗損係數 (loss coefficients) 或 B-係數 (B-coefficients)，B-係數假設為定值。有很多方法可獲致耗損方程式，其中之一述於第 7.7節，以取得 B-係數。 7.6包含耗損之經濟調度

  46. 最佳調度問題即為最小化總和發電成本 Ct (7.44) 遭受的限制條件為，發電量應等於負載需求加上耗損，此即， (7.45) 滿足不等式限制條件，可表如下： (7.46) 其中 Pi(min)及 Pi(max)分別為第 i座發電廠之最低與最高發電極限。

  47. 利用拉格蘭芝乘數，及額外包含不等式限制條件，可得 (7.47) 在上述限制條件中，當 Pi < Pi(max)時 i(max) = 0，而當 Pi < Pi(min)時 i(min) = 0；換言之，若並未違反限制條件時，其對應之 為零，而在 (7.47) 中之對應項即不存在。限制條件只有在違反時，才變為主動。在此未受限函式的最低點，函式對其變數之偏微分為零。 (7.48)

  48. (7.49) (7.50) (7.51) 公式 (7.50) 及 (7.51) 意指， Pi不得超越其極限值，當 Pi在極限值內時， i(max) = i(min) = 0，且庫恩-塔克函式變為與拉格蘭芝者相同。由 (7.48) 所定之第一條件可得

  49. 項習稱為增量輸電耗損 (incremental transmission loss) 經過推導後可得最佳調度之條件為 (7.52) 由 (7.49) 所定之第二條件可得 (7.53) 公式 (7.53) 正是施加的等式限制條件。公式 (7.52) 常被改寫為 (7.55)

  50. 其中 Li習稱為第 i座發電廠的 懲罰因子 (penalty factor)，並定義為 (7.56) 因此，輸電線耗損之效應，即為加入一個懲罰因子，其值取決於發電廠的位置。公式 (7.55) 顯示出，當每座發電廠的增量發電成本乘以懲罰因子後，所有發電廠的值均相等，則即可得最低成本。增量發電成本係由 (7.22) 指定，而增量輸電耗損則由耗損公式 (7.43) 可得 (7.57)

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