הקדמה

1. הקדמה “Doin’ What Comes Natur’lly:” אבולוציה ואינטואיציה בחשיבה מדעית אורי לירון, הטכניון מחשבה – מרכז המורים הארצי למדעי המחשב הכנס הארצי הראשון למורי מדהמ"ח וטכ"מ מלון כרמל, נתניה 13.2.2001

2. חידה ונתחיל בחידה: מישהו מציג לפניכם ארבעה קלפים. לכל קלף יש אות (עברית או אנגלית) בצידו האחד ומספר בצידו השני. 7 4 B א המציג מודיע לכם שכל ארבעת הקלפים מקיימים את הכלל הבא: "אם לקלף יש אות עברית בצד אחד, אז בצדו האחר יש מספר זוגי" אבל יש לכם ספקות לגבי מהימנות הטענה. איזה קלפים יש להפוך כדי לקבוע בודאות אם כל ארבעת הקלפים מקיימים את הכלל, או שיש כאלו המפירים אותו?

3. פזמון DOIN’ WHAT COMES NATUR’LLY (From: Annie get your Gun by Irving Berlin) Folks are dumb where I come from, they ain’t had any learnin' Still they're happy as can be, Doin’ what comes natur'lly. [x 2] Sister Sal, who's musical, has never had a lesson, Still she's learned to sing off key, Doin’ what comes natur'lly. [x 2] My uncle out in Texas can't even write his name, He signs his cheques with X's, but they cash them just the same. Grandpa Dick was always sick but never saw a doctor, He just died at 93, Doin’ what comes natur'lly. [x 2] תודות: מרים, ניב, משתתפי הסמינר, האינטרנט

4. מבוא: מה למתמטיקאי אצל אבולוציה? ראשי פרקים א.טבעהאדם: מה בא לנו טבעי, what comes natur’lly, ומה לא? ב.מדע: מה בחשיבה מדעית ומתמטית בא לנו טבעי, ומה לא? ג.הסקהלוגית: האם חשיבה פופריאנית במדע, וחשיבהדדוקטיבית במתמטיקה באים טבעי? האם מה שבא טבעי הוא תוצאה של הברירההטבעית? האם יש "לוגיקהטבעית"? ד.אבולוציה: ה. תורת המשחקים: דילמת האסיר, האם שיתוף פעולה הוא כדאי? ו.אינסטינקט: האם ידיעת חשבון פשוט היא מוּלדת?

5. מה טבעי א.טבעהאדם: מה "בא לנו טבעי", ומה לא? תכונה או התנהגות המשותפים לכל המין האנושי, ללא הבדל מיקום גיאוגרפי, גזע, התפתחות טכנולוגית או תרבות. מה שטבעי הוא מוּלד או נלמד ע"י כ-ו-ל-ם באופן ספונטאני, אוטומטי, וללא הוראה מכוּונת. לדוגמא: ללכת על שתי הידיים ללכת על שתי הרגליים לעומת ללמוד שפת תיכנות ללמוד שפת אם לעומת

6. MECS ב.מדע: מה בחשיבה מדעית ומתמטית בא לנו טבעי, ומה לא? תיזה א' (MECS): Mathematics as Elaboration of Common Sense (מתימטיקה כהמשכו של השכל הישר) תיזה ב': חשיבה מתמטית מתקדמת, לגבי רוב האנשים, הולכת "נגד הסיבים" של החשיבה הטבעית שלהם.

7. חשיבה פופריאנית ג. האם חשיבה פופריאנית במדע, וחשיבהדדוקטיבית במתמטיקה באים טבעי? קארל פופר: הידע שלנו מתקדם ע"י העלאת השערות והפרכתן (או, ביתר דיוק, עידונן – Refinement). אם ברצונך לברר אמיתות פסוק מהסוג "אם P אז Q", עליך לחפש דוגמת-נגד, כלומר דוגמא ש- P נכון ו- Q לא נכון. התיזה המוצגת כאן היא השערה המוצגת לבחינה פופריאנית. להלן מספר דוגמאות לכך שחשיבה טבעית אינה פופריאנית.

8. יובל נאמן 1 דוגמא 1: ה"קונספציה" ומלחמת יום הכיפורים דברי יובל נאמן: "כמי שהיה סגן ראש אגף מודיעין בצה"ל ב- 1955-1957, חזרתי לאגף בסוף מלחמת יום הכיפורים וחקרתי, ביחד עם הפרופסור אסא כשר, את הסיבות שהביאו לטעות בהערכה המודיעינית ערב המלחמה. התרשמנו שקביעת היעדים המודיעיניים נעשתה בגישה ההפוכה, ה"טבעית" [כלומר, הפוכה למשנת ההפרכה של פופר].

9. יובל נאמן 2 ראשית נקבעה הערכה ("הקונספציה") שמדינות ערב … לא תצאנה למלחמה בישראל ... שנית, מודיעין האיסוף התבקש לחפש הוכחות לכך. תשומת-הלב לא הופנתה לחיפוש חומר שיפריך את התיאוריה לשלביה הלוגיים, ועובדות מפריכות לא זכו לתשומת הלב הראויה…" (יובל נאמן, "סדר מן האקראי", הוצאת הקיבוץ המאוחד, 1999, עמ' 81-80).

10. פילטדאון תמונה דוגמא 2: תרמית האדם הקדמון של פילטדאון (The Piltdown Hoax) מסקנה: גם לקהילה האקדמית יש "קונספציה" (או "פרדיגמה", לפי Kuhn), והיא מחפשת לאשרה ולא להפריכה.

11. פילטדאון תיאור “Piltdown man is one of the most famous frauds in the history of science. In 1912 Charles Dawson discovered the first of two skulls found in the Piltdown quarry in Sussex, England, skulls of an apparently primitive hominid, an ancestor of man. Piltdown man… was a sensation. He was the expected “missing link”, a mixture of human and ape with the noble brow of Homo sapiens and a primitive jaw. Best of all, he was British”! (The Piltdown Man Homepage: http://www.tiac.net/users/cri/piltdown.html#who_doyle ) For full list of references: uril@tx.technion.ac.il

12. פילטדאון פזמון “… And so the hoaxer worked with great skill to produce what everyone expected to see. It is a cautionary tale of the willingness to believe catered to by those willing to deceive. As the hoaxer might have said: With jawbone of an ass, great Samson slew A lion; but my deed his feat surpasses: For forty years, and with a jawbone, too, I made our scientific lions, asses! ”

13. פילטדאון מראי מקום Ashley Montagu. The Piltdown Hoax, “The Origin and Evolution of Man”, 1971 (reprinted from “Introduction to Physical Anthropology”, 1960). Poem by H. A. C. Evans, “The New Statesman and Nation”, 19 December 1953, p. 805.

14. ואסון כותרת דוגמא 4: ניסוי הקלפים של וּאסון Wason Selection Task, Wason, 1966;Wason & Johnson-Laird, 1972

15. ואסון ניסוי הקלפים "אם לקלף יש אות עברית בצד אחד (P), אז בצדו האחר יש מספר זוגי (Q)". אבל יש לך ספקות לגבי מהימנות הטענה. 7 not-Q 4 Q B not-P א P מישהו מציג לפניך ארבעה קלפים. לכל קלף יש אות (עברית או אנגלית) בצידו האחד ומספר בצידו השני. המציג מודיע לך שכל ארבעת הקלפים מקיימים את הכלל הבא: איזה קלפים יש להפוך כדי לקבוע בודאות אם כל ארבעת הקלפים מקיימים את הכלל, או שיש כאלו המפירים אותו?

16. ואסון תשובה נכונה מבחינת תחשיב הפסוקים: הפסוק "אם P אז Q"אינו נכון רק במקרה שמתקיימים P ו- not-Q. לכן הקלפים שצריך להפוך הם: 1. P (לראות אם בצידו השני מופיע not-Q) 2.  not-Q (לראות אם בצידו השני מופיע P). אור חדש על מחקרים בחינוך מתימטי (AMT)

17. ואסון גרסת הפאבּ "אם אתה שותה בירה (P), אז אתה מעל גיל 20(Q)". אבל יש לך ספקות לגבי מהימנות הטענה. 17 not-Q 23 Q קולה not-P בירה P ארבעה קלפים מתארים ארבעה אנשים השותים בפאבּ. בצד אחד של הקלף כתוב המשקה (בירה או קולה) ובצידו השני גיל השותה (17 או 23). מישהו מודיע לך שכל ארבעת הקלפים מקיימים את הכלל הבא: איזה קלפים שיש להפוך כדי לקבוע בודאות אם כל ארבעת הקלפים מקיימים את הכלל, או שיש כאלו המפירים אותו?

18. ואסון שינוי תוכן השפעת שינויי התוכן (content effects) שומרים על אותה מסגרת בדיוק, אבל משנים את תוכנם של P ו- Q. "אם אתה שותה בירה, אז אתה מעל גיל 20". בהקשרים מוכרים ורלבנטיים לנבדקים, עם קשר סיבתי בין P ו- Q, ירד שיעור הכשלונות, אך עדיין היה בסביבות 50%. ההסבר ה"קלאסי":אנשים מתפקדים טוב יותר במטלות לוגיות כאשר המטלה מתארת סיטואציה מוכרת. נכון חלקית, אך אינו מסביר את אפקט התוכן בצורה משביעת רצון.

19. אבולוציה ד. אבולוציה: מה ש"טבעי" הוא מה שעוצב ע"י הטבע The brain/mind as adaptation המוח (והחשיבה?) הוא מוצר "הסתגלותי" של התהליך האבולוציוני הסתגלות לתנאים ששררו בתקופה הפליסטוצנית האם המתודה המדעית הומצאה בכוונה נגד טבע האדם?! משהו על תקינות פוליטית: דטרמיניזם ורדוקציוניזם

20. מה כן טבעי הניסויים בפסיכולוגיה אבולוציונית של Lena Cosmides & John Tooby מה כן טבעי לוגיקה של אינטראקציה חברתית(Social Exchange)אלגוריתמים לזיהוי משתמטים(Cheater Detection) דילמת האסיר המרובָּה

21. הבריון דוגמת הבריון: "אם לא תיתן לי את הכסף, אז אני אכה אותך". הבריון הבטיח: "אם לא תיתן לי את הכסף (P), אז אני אכה אותך (Q)". אני נתתי את הכסף (not-P) והוא היכה אותי (Q), מה שלפי הלוגיקה המתימטית, אינו מפר את הבטחתו! היתרונות האבולציוניים של LSE

22. SC & SSC Social Contract (SC): אם תתני לי את השעון שלך, אז אני אתן לך 100 ₪. אם אני מקבל הטבה (P), אז אני משלם מחיר (Q). Switched Social Contract (SSC) אם אני אתן לך 100 ₪, אז תתני לי את השעון שלך. אם אני משלם מחיר (Q), אז אני מקבל הטבה (P). משתמט: מקבל את ההטבה (P) אבל לא משלם מחיר (not-Q). SC: זיהוי משתמט (אבולוציה) =הפרת הכלל (לוגיקה) =P ו- not-Q . SSC: זיהוי משתמט (P ו- not-Q) הפוךמהפרת הכלל (Q ו- not-P) . על שורשי קאוה וכתובות קעקע…

23. חשבון מולד במוח ה.אינסטינקט: האם ידיעת חשבון פשוט היא מוּלדת? מחקרי מוח, קוגניציה, אנתרופולוגיה, תינוקות, חיות, מוכיחים קיום "מוֹדוּל מתימטי" המתוכנת בגֶנים ומחוּוָט במוח. מעגלים נוירונאליים במוח אחראיים ליכולות ספציפיות ביותר במספרים קטנים (עד 7) ופעולות פשוטות עליהם. על לביאות, תינוקות ומספרים… • Dehaene, Stanislas. The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics, Oxford, 1997. • Butterworth, Brian. What Counts? How every Brain in Hard Wired for Math, The Free Press, 1999. • (More references from Science Magazine and the Internet.)

24. Dehaene in NYT

25. חומר למחשבה חומר למחשבה: חידת המיעוט שכן בא לו טבעי? איך ההבנות החדשות משפיעות על הוראת המתמטיקה והמדעים? אם אני תלמיד חלש במתימטיקה – האם זה חדשות טובות או רעות עבורי?