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新课程 新复习 ( 数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究 )

新课程 新复习 ( 数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究 ). 省教育厅新课程改革中学数学指导组 陈明华. 关于数学新课程 总复习教学的研究背景. 研究背景之一. ● 关于新课程总复习的教学方法和教学策略 研究已是新课程实施中的一项紧迫任务. —— 2005 年全国有 570 个省级市县实验区的 初中学生毕业与升学. —— 2006 年全国将至少有 1642 个市县实验区 的初中学生毕业与升学. ● 搞好实验区数学新课程总复习工作已是全 国和我省新课程实施中的一项重要工作. 研究背景之二.

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新课程 新复习 ( 数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究 )

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  1. 新课程 新复习 (数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究) 省教育厅新课程改革中学数学指导组 陈明华

  2. 关于数学新课程 总复习教学的研究背景

  3. 研究背景之一 ●关于新课程总复习的教学方法和教学策略 研究已是新课程实施中的一项紧迫任务 ——2005年全国有570个省级市县实验区的 初中学生毕业与升学 ——2006年全国将至少有1642个市县实验区 的初中学生毕业与升学 ●搞好实验区数学新课程总复习工作已是全 国和我省新课程实施中的一项重要工作

  4. 研究背景之二 ●数学新教材的编排特点不利于学业毕业复习 的教学,应重新整合教材内容. 新教材对“数与代数”、“空间与图形”、 “统计与概率”的知识内容采用了分散编排在 各年级每学期的教材中。 体现了各领域知识间“横”的联系 和知识的应用； 优点 削弱了各领域知识内“纵”的联系， 即削弱了各领域知识的系统性和条理 性。 不足

  5. 研究背景之三 ●学生学业毕业应具有系统的、完整的知识体系 和良好的数学能力 ——学生学业毕业时需要对所学的间断性的知识 进行条理化、综合化、系统化地整理，建构系统 的、完整的、科学的知识体系； ——学生学业毕业时需要对已学过的数学技能、数学思想和数学方法进行强化、深化和进一步提高，形成良好的数学能力。

  6. 研究背景之四 ●教师需要按教育部关于课改实验区初中 毕业考试的“指导意见”进行数学学业毕业复 习，需要对所教过的知识进行重新整合教学； ●教师需要对数学新课程总复习的教学方 法和教学策略进行研究。

  7. 数学新课程 总复习教学的指导思想

  8. 基本思想之一 ★明确教育部对课改实验区的“初中毕业 生数学学科学业考试命题指导”的有关要求 ●数学学业考试命题的基本指导思想 ●数学学业考试的考试形式 ●数学学业考试的考试内容（基础知识与 基本技能、数学活动过程、数学思考、解决问 题四个方面的具体指标） ●数学学业考试的命题原则

  9. 基本思想之二 ★明确总复习的教学目的 ●教学目的是制定总复习教学方法和教学策 略的重要依据； ●教学目的——使学生将所学的知识系统化、 结构化，将其整合为一个有机整体，以利于学生 更好地理解和掌握、巩固、熟练基本技能，促使 技能类化，培养相应能力；总结、提炼数学思想 方法，提高学生思维的策略水平，培养综合运用 知识分析问题和解决问题的能力；培养学生良好 的心理素质和个性品质，从而达到适应学生毕业 考试的需要。

  10. 基本思想之三 ★面向全体学生，采用有效的、多样的和 可操作的复习教学方法和教学策略 ●针对任教学生的特点进行复习教学； ●复习教学策略——按照复习内容，有针 对性地选择和组合已学过的知识、方法、手段、 组织形式和步骤，形成有效率意义的复习教学 方案； ●复习教学方法——按复习教学策略进行 的复习教学方式、操作手段、实施路径等。

  11. 数学新课程 总复习教学中的方法与策略

  12. 复习方法和策略之一 ★注重概念建构，实现学生基本概念系统化 ●数学是由大量数学概念和数学命题（基本 事实（公理）、定理、法则等）所组成的知识体 系，是一门系统性很强的学科； ●总复习应将散见于各册、各章（节）的诸 多彼此关联的诸多概念、知识之间建立一定的联 系，使之系统化，形成完整的概念知识系统； ●采用有效的建构形式，使学生把概念知识 系统内化为自己的认知结构。

  13. 案例一 （数与代数） ——实数的有关概念及实数系的复习 ●有关概念： 整数、 分数、 有理数、 无理数、 实数、数轴、相反数、绝对值、倒数、平方根、 立方根、…… （这些概念知识在实数域这个范畴内是彼此相 关联的）

  14. 正整数 正有理数 正分数 零 有理数 负整数 负有理数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 ●实数系结构图 有限 小数 或无 限循 环小 数 实数 无限不循 环小数

  15. ●有效的建构形式 ——采用填空方法进行概念回顾和知识建构， 促进学生突出概念系统的内化 例1 原点 绝对值：在数轴上表示数a的点与____的距离 叫做数a的绝对值；一个正数（a>0）的绝对 值|a|=_____；一个负数（a<0）的绝对值|a|= _____；任何一个实数的绝对值都是______； 绝对值等于本身的数有_________。 a 非负数 -a 正数和零

  16. 例2 正数 零 非负数：_____和____统称为非负数；三种 常见的非负数是（1）_____________________; （2）______________；（3）______________； 非负数具有如下重要性质： 实数的绝对值 实数的平方 算术平方根 （1）若干个非负数的和、积、商（除数不为0） 仍是________； 非负数 （2）若干个非负数的和为0，则每一个非负数 必为_______； 0 （3）若一个非负数不大于零时，则这个非负数 必为______； 0

  17. 一个角 为直角 一组对边平行 直角梯形 梯形 一组邻边相等 一个角为直角 四边形 菱形 一组邻边相等，一个角为直角 两组对边平行 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一个角为直角 矩形 案例一 （空间与图形） ——四边形与特殊四边形的概念结构的复习

  18. 复习方法和策略之二 ★深化知识结构认识，促进学生条块知识结 构化、系统化和明晰化。 ●总复习需要学生对已学过的、带有一定遗 忘程度的知识再认识，这种再认识不能是简单的 重新学习；

  19. ●现代教育心理学的研究表明：学生通过对已学过知识从深化知识结构上进行认识，从知识的条块结构上进行分类整理，使其规范化、结构化和系统化，形成良好的结构性知识，可以有效地纠正原来学习中的模糊或错误认识，便于从知识结构中提取线索，有效地防止信息干扰，使学生在复习后对知识具有稳定的、清晰的观念，增强记忆的清晰度。●现代教育心理学的研究表明：学生通过对已学过知识从深化知识结构上进行认识，从知识的条块结构上进行分类整理，使其规范化、结构化和系统化，形成良好的结构性知识，可以有效地纠正原来学习中的模糊或错误认识，便于从知识结构中提取线索，有效地防止信息干扰，使学生在复习后对知识具有稳定的、清晰的观念，增强记忆的清晰度。

  20. C B A D 案例一 ——以直角三角形为基架的图形知识结构与拓 展的复习研究 例1 在直角三角形ABC中，∠C=900，CD是斜 边AB上的高。 ●基本结构关系的认识包括： ◆角的关系； ◆边的关系； ◆三角形的相似关系； ◆边角关系；

  21. ●从角的关系认识 C B A D （1）相等关系： ∠A= ∠BCD， ∠B= ∠ACD， ∠ACB= ∠ADC= ∠BDC=900 （2）互余关系： ∠A=900- ∠B=900- ∠ACD； ∠B=900- ∠A=900- ∠BDC。

  22. ●从边的关系认识 AB2=AD2+BD2+2CD2 （2）利用面积关系导出的边的关系： S△ABC=S△ABC，S△ABC=S△ADC+S△BCD S△ABC：S△ADC：S△BDC=AB2：AC2：BC2 C AC·BC=AB·CD， AC·BC=AD·CD+BD·CD B A D ___ 1 1 1 ___ ___ + = AC2 BC2 CD2 （1）边的平方关系（勾股定理）： AB2=AC2+BC2，BC2=BD2+CD2，AC2=AD2+CD2

  23. ●从相似关系的认识 AB：BC：CA=AC：CD：DA AB：BC：CA=CB：BD：DC AC：CD：DA=CB：BD：DC C B A D AC2=AD·AB，BC2=BD·AB， CD2=AD·DB 相似关系：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD △ADC∽△CDB

  24. ●从边角关系的认识 C B A D AD=AC·cos∠A=AC·sin∠ACD BD=BC·cos∠B=BC·sin∠BCD AC=BC·tan∠B 等等

  25. A D 角的关系 E 边的关系 相似关系及导出 关系 F B C 边角关系 拓展1 ●如图，矩形ABCD中，BE⊥AC交AC于E， DF⊥AC交AC于F（两个全等直角三角形的组合） （基本直角三角的组合产生了许多新的边、 角及相似关系）

  26. A 角的关系（略） 边的关系（略） 相似关系及导出关系（略） F E 边角关系（略） B C D ●如图，等腰△ABC中，AD是底边上的高， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

  27. A 角的关系（略） 边的关系（略） O P C 相似关系及导出 关系（略） B 边角关系（略） 拓展2 ●如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切 线，A、B是切点，连接OA、OB、OP，AB， OP与AB交于C.（把基本直角三角形与圆结合）

  28. 案例二 ——初中学段的函数知识结构的复习研究 ●初中学段的函数：正、反比例函数、一 次函数、二次函数 ●函数一般解析式中的参数决定了函数和 函数图象的性质 ●对函数的复习要以参数为中心建构知识 结构，从而使学生形成明晰的知识体系

  29. ●单参数函数：y=kx，y= ●按函数一般解析式中参数个数分为：单 参数函数、双参数函数和三参数函数 双参数函数：y=ax+b (a≠0) 三参数函数：y=ax2+bx+c (a≠0)

  30. ●单参数函数（y=kx，y= )知识结 构复习 ◆几何模型：y=kx 一条过原点的直线； y= 面积为定值|k|的长 方形（或双曲线） 案例一 ◆函数确定：一个点确定。 ◆函数分类：（1）k>0；（2）k<0。

  31. k>0 k<0 y y k>0 x x O O k<0 y=kx y= ◆函数图象（k>0，在一、三象限； k<0，在二、四象限。）

  32. 案例二 ●双参数函数（y=ax+b）的知识结构复习 ◆函数确定：两个点确定 ◆函数分类：（1）a>0，b>0；（2）a>0, b<0；（3）a<0，b>0；（4）a<0，b<0。 ◆几何模型：一条直线

  33. (a>0,b<0) y y B (a>0,b<0) B A x x A A O O A B B (a<0,b>0) (a<0,b<0) ◆与坐标轴的交点：（ ，0），（0，b） ◆与坐标轴围成的三角形的面积： S△AOB= 的绝对值 ◆函数图象：（a>0必过一、三象限，a<0 时必过二、四象限）

  34. 案例三 ●三参数函数（y=ax2+bx+c的知识结构复习） ◆函数确定：三个点确定 ◆函数分类： a>0 四类：(1)a>0,b>0,c>0;(2)a>0,b>0,c<0; (3)a>0,b<0,c>0;(4)a>0,b<0,c<0. a<0 四类：(1)a<0,b>0,c>0;(2)a<0,b>0,c<0; (3)a<0,b<0,c>0;(4)a<0,b<0,c<0. （分类的多样性使得参数不定的二次函数问 题具有复杂性） ◆几何模型：抛物线

  35. ●b2-4ac为非负数时， 只在一、二象限； ●b2-4ac为非正数时， 只在一、二象限； ●b2-4ac为正数时，b为 负数时必过第四象限； ●b2-4ac为正数时，b为 负数时必过第三象限； ◆函数图象： （1）总体图象特点：由a确定，a>0，开口向上，必过一、二象限， a<0，开口向下，必过三、四象限。 （2）每大类图象特点：由b2-4ac的值和b的值确定（以a>0为例） 基本思路 抓住特征确定图象

  36. 复习方法和策略之三 ★注重基础知识与基本技能的迁移与类化， 促进学生思维品质的提高和数学能力的形成。 ●从心理学角度来看，基础知识和基本技能 的应用实质上就是学生学习的迁移问题，而迁移 的实质就是概括，就是提取通性、通法进行应用。 ●变式训练是复习中一种有效的学习迁移方 法，它可以使学生举一反三，更好地对通性、通 法进行概括，具有很好的思维培养价值。

  37. F D C O A B E 案例一 如图，O是正方形ABCD的对角线AC、BD 的交点，EF是过O的任一直线，分别交AB、CD 于E、F。求证： 四边形AEFD的面积=四边形BCFE的面积 （或四边形AEFD≌四边形BCFE）

  38. F D D C F O C A O E B A B E 变式迁移1 把正方形改为矩形（或菱形），则命题同 样成立。

  39. F F · O · O E E 变式迁移2 对于任意中心对称图形，此命题同样成立。

  40. M F M N N D · O2 D C E C O1 · F O1 O2 A A E B B (拼接图形等积分割） （分割方角形钢板问题） 变式迁移3 两个中心对称图形的组合图形的中心连线 把这两个组合图形分成两个面积相等的图形。

  41. 案例二 如图，△ABD、 △ACE分别是以△ABC 的边为一边的等边三角形，连结BE、CD相交 于P，由此我们可得到BE=DC，∠DPB=600。

  42. 变式迁移 △ACE绕点A旋转，图形变了，但结论却 仍然是BE=DC， ∠DPB=600

  43. ●学生的数学能力是学生内化了的经验， 能力的形成的发展过程是知识技能这些个体经 验的获得与类化的过程。 ●在复习中，要注意把学生已掌握的数学方法类化为经验，从而内化为能力。

  44. 案例三 如 图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm， 动点P1、P2同时分别从B、C出发，沿线路B→C→D →A，C→D→A向A点移动，P1、P2移动速度分别为 2cm/s，1cm/s， P1、 P2移动到A点时停止移动， 设 △AP1P2的面积为y(cm2)，移动时间为t(s)，求移动中 y随t的变化规律。

  45. △AP1P2的形状随P1、P2的移动而变化 △AP1P2的面积计算需通过三角形、四边形 组合与分割 需根据t的变化分段进行讨论 运用函数思想、数形结合，分类讨论将已有 知识技能类化 形成解决代数与几何综合问题的数学能力 类化过程分析 ●学生已有知识技能（三角形、四边形的 面积计算，正比例函数、一次函数、二次函数、 一次方程知识、路程计算等）

  46. （1）0≤t<4 （1）4≤t<8 研讨过程 =t2-12t+48(0≤t<4) =-4t+32(4≤t<8)

  47. （3）t=8，y=0 （4）8<t≤10 P1追上P2时，2t=t+8 ∴t=8 =4t-32(8<t≤10) （5）10<t≤20 y=0(10<t≤20)

  48. 结论 y随t的变化规律：

  49. 复习方法和策略之四 ★努力体现数学在实际生活中的应用，促进 学生把身边的实际问题数学模型化，学会运用数 学知识解决实际问题。 ●教育部《关于初中毕业、升学考试改革的 指导意见》在试题命制中强调“普遍关注对学生 在具体情境中运用所学知识和技能分析和解决问 题能力的考察，注意加强试题与社会实际和学生 生活的联系” ●在复习中要把学生生活中的事例和现象与 相应知识的复习整合进行。

  50. 案例一 ●折纸中渗透了图形的全等、轴对称等知识， 因此复习中利用折纸的探究活动，可以有效地实 现对全等形、轴对称的复习。 例：把一张长为a，宽为b的长方形ABCD沿 对角线AC对折（如图），剪去不重合部分，把 剩余部分打开，请说明打开图形的形状，并求其 面积。

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