OYUN KURAMI

1. OYUN KURAMI TÜLİN ENGÜDAR 2002800100 ÖMÜR CANKURT 2002800099

2. OYUN Samuel Johnson (1755) “oyun” kelimesini, herhangi bir şeyin eğlencesi olarak tanımlar. Modern düşünceler, bu tanıma ek olarak belirli kuralları da birleştirmiştir. Oyunlardan çoğu karşılıklı etkileşimi ve rekabeti getirir, oyuncu oyundaki diğer oyuncudan üstün olmak için çabalar ve onun başarısı, diğer oyuncuların hareketlerine ve kendi hareketlerine bağlıdır. Bu tanımlama ve örnekler oyun kelimesinin ilk algılanışı olup, gündelik hayatta kullanışına denk düşer.

3. Oyunun bir başka gündelik ve basit tanımlaması da şu şekildedir: Avcı grubu, erkek geyik avlamayı karar vermişlerse, tamamen bu amaçlarını başarmak için uğraşacaklardır. Ama eğer bir yabani tavşan onların yanından geçerse, kuşkusuz peşine düşmeye çalışmayacaktır. Gruptan biri, ilk olarak avlanırsa, arkadaşları kendinden önce avlanamadıkları için üzülecektir veya avı kaçırdıkları için biraz kaygılanacaktır. Burada, sadece iki avcı olup eş zamanlı olarak geyik mi yoksa tavşan mı avlayacaklarına karar vermelilerdir. Eğer ikisi de geyik için avlanırlarsa bir geyik yakalayıp onu eşitçe paylaşacaklar ve bir geyiği ikisi yiyeceklerdir. Eğer bir avcı geyik avlarken diğeri de tavşan için çabalarsa, biri önce geyiği diğeri de sonra tavşanı yakalayacak ve her avcı, yarım geyiktense bir tavşanı (ya da tersi) tercih edecektir. Sonuçta bu basit örnek bir oyundur. Avcılar ise, oyuncudur. Her oyuncu iki strateji arasında seçim yapmak zorundadır: Geyik ya da tavşan avlamak. Seçimlerinin kaybı, bir avdır. Örneğin, geyik 4 birim fayda sağlıyorsa ve tavşanın değeri 1 ise, her iki avcı da geyik avladıklarında kayıpları 2 birim olacaktır.

4. OYUN KURAMI İşletme ve ekonomi kaynaklarında “oyun” zamanla ortaya çıkacak olan belli ödemeleri önceden kestirmek için karar verme zorunluluğunda kalan tarafların (veya oyuncuların) menfaat çatışmalarını veya rekabetini yansıtır. Oyun Teorisi karmaşık yararların mücadelesini açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır. Yararların çatışması ekonomide olağan olduğundan, son yıllarda oyun kuramına ilgi oldukça artmıştır.

5. Oyun(lar) Teorisi, akılcı davranan bireylerin kararlarıyla ortaya çıkan sosyal sonuçları ele alan, matematik temelli bir disiplindir. Her oyuncu, kendi kararını, diğer oyuncuların kararlarını gözönüne alarak stratejik olarak verecektir. Burada oyuncuların bireyler olması da şart değildir. Belirli bir hedefe yönelik olarak karar verme yetisine sahip herhangi bir birimi, mesela bir firmayı, oyuncu olarak görmek mümkündür. Oyun Teorisi, her türlü stratejik karar alma durumunun ortaya çıkaracağı sonuçları matematiksel yöntemlerle inceler.

6. Oyun teorisi ve lineer programlama, kantitatif teknikler arasında yer alır. Aradaki ayrım oyun teorisi kavramlarıyla matrisi yazabilen oyunda seçeneklerin çok fazla olması halinde lineer programlama problemi olarak inceleme özelliğinde bulunabilir. Bununla beraber oyun teorisinde taraflar, kazançlarını mümkün olduğu kadar arttırmayı veya mümkün olduğu kadar az kaybetmeyi benimserler.

7. OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR a.Oyuncular: Oyunda en az iki oyuncu veya rakip olmalı ve onların akılcı hareket ettikleri ve kazanmak için en iyisini yaptıkları varsayılır. b.Stratejiler: Her oyuncunun deneme seçenekleri vardır. Bir oyuncu için herhangi bir strateji kural olup, çeşitli deneme faaliyetleri arasından oyunun seçimini belirler. Her oyuncunun seçenek stratejisinin sayısı sonludur c.Kazanç veya Ödemeler: Oyunun sonucu kazanma, yitirme veya çekilme olabilir. Her sonuç veya ödeme, negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine karşı kazancını veya kaybını belirler. d.Ödemeler Matrisi: Bu matris, oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden sonuçlanan kazanç veya kayıpları gösterir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir

8. e.Oyunlar: Oyunların sınıflandırılması genellikle oyuncuların sayılarına göre yapılır. İki kişilik, üç kişilik veya (n) kişilik oyunlar kurulabilir. n=2 ise oyun 2 kişilik, n≥2 ise oyun n kişili oyundur. f.Tam (arı) Stratejiler: Herhangi bir tam strateji bir oyuncu için optimal ise bu tam strateji diğer oyuncu için de optimaldir. Bu tam stratejiler maximin ve minimax kuralına göre ulaşılan değerleri veren stratejilerdir. Tam stratejiler, oyunun tepe noktasını belirler. g.Karma Stratejiler: Oyunlarda genellikle daha etkili olan karma stratejiler kullanılır. Karma strateji, tam strateji takımındaki olasılık dağılımıyla tanımlanır. h.Beklenen Değer: Belirsizlik altında karar verebilmek yani elverişli olan en iyi stratejiyi seçmede beklenen değer kavramı yararlıdır. Beklenen değer olayların olma olasılıkları ile olayın değerinin çarpımlarının toplamıdır.

9. i.Herhangi Bir Çözümün Tanımı: İki kişili oyunda, A oyuncusu rakibi olan B oyuncusunun hangi stratejiyi oynayacağını düşünmeden kendisi için x gibi optimal strateji vektörünü elde etmeye çalışır, x vektörü A oyuncusuna oyundan maksimum beklenen kazancı sağlar. Buna karşılık B oyuncusu da A oyuncusunun beklenen kazancını en aza indirecek kendi strateji vektörü [y] yi araştırır. Eğer x* ve y*, A ve B oyuncularının optimal strateji vektörlerini gösterirse, A oyuncusunun beklenen değeri B.D.(x*,y*) olur ki, bu da oyunun değeridir. A ve B optimal şekilde oynarlarsa, B.D.(x*,y*) değeri yani (v), A oyuncusunun uzun dönem ortalama kazancı olur. Buradaki (v) oyunun değeridir.

10. Sonuçta bir oyunda iki veya daha fazla oyuncu (veya rakip) bulunur ve oyuncuların seçeceği alternatiflerin kombinasyonu ile bir karar matrisi elde edilir. Genel olarak rekabet problemlerinde aşağıdaki özellikler bulunmaktadır. • n oyuncu sayısını göstermek üzere n≥2 dir. n=2 için “iki kişili oyun”, n>2 için “n kişili oyun” adı verilir. Oyuncu sayısı sonludur. • Her bir oyuncu rasyonel davranacaktır ve kendi çıkarını dikkate alarak karar verecektir. • Oyun sonucu; oyunu kazanma, kaybetme veya oyundan çekilme olarak belirlenir. Her bir sonuç veya ödeme; negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun diğerine ödemeleriyle belirlenir. • Tarafların seçenekleri belirlidir veya her bir oyuncunun davranışlar seti (=S1, S2, S3... gibi) rakibince bilinmektedir. • Her bir oyuncunun seçenek sayısı sonludur.

11. OYUN TEORİSİ İÇİN BAŞLICA ÖNERMELER Önerme 1 m satır ve n sütunu gösterirse (mxn) bir dikdörtgen oyunudur. Her dikdörtgenin bir oyun değeri vardır. Dikdörtgen oyunda herhangi bir oyuncunun her zaman optimal stratejisi vardır. Bu, şöyle ifadelendirilir: B.D.(x*,y*)=v Burada minimax ve maximin kuralları uygulanır. Önerme 2 Herhangi bir dikdörtgen oyunda A ve B oyuncuları için oyunun değeri v, optimal strateji vektörleri de x*,y* olsun. • A oyuncusunun her tam strateji vektörü xt için B.D.( xt, y*) ≤v dir. Bu şu demektir: Eğer B oyuncusu optimal stratejisini oynarsa, A oyuncusunun oynayacağı v değerinden daha fazla kazandırabilecek strateji yoktur. • B oyuncusunun her tam strateji vektörü yt için B.D.( x*, yt) ≥v dir.

12. 1-İKİ KİŞİLİ – SIFIR TOPLAMLI OYUNLAR İki kişili bir oyunda oyuncuların kazançları toplamı sıfırsa oyun,iki kişili sıfır toplamlıdır. Burada; · Biri satır oyuncusu, diğeri sütun oyuncusu olarak adlandırılan iki oyuncu vardır. Satır oyuncusu yerine bizim taraf, sütün oyuncusu yerine de karşı taraf deyimlerine rastlanabilir. · Satır oyuncusu için m, sütün oyuncusu n tane mümkün strateji vardır. Bu oyun kısaca mxn oyun olarak isimlendirilir. ·Satır oyuncusu stratejilerini, R1, R2, ..., Rm ile sütun oyuncusunun stratejilerini, C1, C2, ..., Cn ile gösterelim. Oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşimlerinden sonuçlanan kazanç veya kayıpları bildiğimizi varsayalım. Bu tabloya, ödül, ödeme, kazanç veya kısaca “oyun matrisi” denir.

13. Satır Sütun Oyuncusu Stratejisi Oyuncusu Stratejisi C1 C2 ... CJ ... Cn R1 a11 a12 ... a1j ... a1n R2 a21 a22 ... a2j ... a2n .. .. .. ... .. ... .. Ri ai1 ai2 ... aij ... ajn .. .. .. ... .. ... .. Rm am1 am2 ... amj ... amn Satır oyuncusunun Ri, sütun oyuncusunun CJ gibi belirli bir stratejiyi kabul ettiklerini varsayalım. Oyun matrisi satır oyuncusuna göre düzenlenmiş ise aij satır oyuncusunun kazancını (sütun oyuncusunun kaybını) gösterir.

14. Satır Sütun Oyuncusu Satır Oyuncusu Stratejisi En Stratejisi C1 C2 C3 Küçüğü R1 16 10 7 7 R2 8 9 4 4 R3 9 1 2 1 Sütun En Büyüğü 16 10 7 - ÖRNEK 1 Aşağıdaki kazanç matrisini dikkate alarak, oyuncuların hangi stratejilerle oynayacağını belirleyiniz.

15. ÇÖZÜM: Her oyuncunun üçer stratejisi bulunduğundan oyun bir 3 x 3 oyunudur. İlk önce satır oyuncusuna bakılırsa; bu oyuncu R1 stratejisini seçerse, sütun oyuncusu C3 stratejisini seçerek kendi kaybını dolayısıyla rakibinin kazancını mümkün olan en düşük düzeye düşer. Bu değer yukarıdaki matrise eklenen “satır en küçüğü” sütununda gösterildiği gibi 7’dir. Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi seçmesi durumunda sütundaki oyuncu gene kendisi için en az (4) kayıp sağlayacak olan stratejiyi yani, üçüncü stratejiyi seçecektir. Sonuçta, satır oyuncusu için en iyi strateji, R1’dir.

16. 1.1. Tepe Noktası Kavramı (Tam Stratejiler) Oyunların en basiti tepe noktalı oyunudur. Yani satırında en küçük ve sütununda en büyük bir tek elamanı olan ödemeler matrisi düşünülmektedir. Bu durumda A ya göre oyunun değeri tepe noktası elemanı ve B ye göreyse tepe noktası elemanın negatif işaretlisidir. ÖRNEK2:A ya göre ödemeler matrisi aşağıda verilmektedir. Her bir oyuncuiçin en iyi seçeneği, A ve B ye göre oyun değerini bulunuz.

17. B Satırların I II III IV V Min. Elemanı I 9 3 1 8 0 0 A II 6 5 4 8 7 4 III 2 4 3 3 8 2 IV 5 6 2 2 1 1 Sütunların Max. Elemanı 9 6 4 8 8 Verilen A ya göre ödemeler matrisinde her bir satırın en küçük elemanı matrisin sol tarafına ve B ye göreyse ödemeler matrisi kayıp değerleri göstermesi nedeniyle her bir sütunun en büyük elemanı matrisin altına yazılır. Bu düşünce A yönünden maximin yani kötümserlik kriteri ve B yönünden kayıp söz konusu olduğu için minimax (=maliyet tipli karar matrisinde kötümserlik kriteri) olarak belirlenir. A için oyun değeri 4 ve B için oyun değeri 4 olarak bulunması nedeniyle her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler (birinin kazancı diğerinin kaybı olarak düşünüldüğü için) birbirini karşılamaktadır ve oyunun bir tepe noktası vardır. A nın seçeneği II. strateji, B nin seçeneği de III. stratejidir ve tam stratejileridir. Oyunun tepe noktası olması dolayısıyla da oyunun değeri 4 dür.

18. 1.2. Tepe Noktasız Oyunlar ve Karma Stratejiler Bir m x n oyununun tepe noktası yoksa, özellikle m ve n’nin büyük değerleri için oyunun çözümü zor olabilir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa oyunu çözmeden önce mümkünse m ve n değerleri küçültülmesi yani, bazı stratejilerin devre dışı bırakılmaları uygun olur. Bu işlem ancak bazı özel stratejilerin belirlenmesiyle gerçekleşir. Boyut küçültmede kullanılabilecek iki çeşit strateji vardır: Eş stratejiler ve Üstünlük stratejileri

19. 1.2.1. Eş Stratejiler ÖRNEK 3: Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun eş stratejilerini belirleyiniz. Aşağıdaki örnekte C1 ve C4 stratejileri kazançların, bire bir olmak üzere eşit oldukları görülebilir. Bunlardan biri diğerine tercih edilemez. Bu yüzden birini, C4 veya C1’i göz ardı etmek mümkündür. Bu yolla bu oyunun boyutu 4 x 4’den 4 x 3’e indirgenmiş olur. Benzer şekilde R1 ve R4 stratejileri de eş stratejiler olduklarından bir dışta bırakılabilir. Böylece oyun 3 x 3 boyutuna indirgenmiş olur.

20. Satır Sütun Oyuncusu Oyuncusu Stratejisi Stratejisi C1 C2 C3 C4 R1 1 2 3 1 R2 3 6 1 3 R3 0 5 4 0 R4 1 2 3 1

21. 1.2.2. Üstünlük Stratejileri Tarafların seçeneklerini zayıf ve üstün seçenekler olarak ikiye ayırma olanağı bazı oyunlarda söz konusudur. Sıfır toplamlı-iki kişili oyunlarda tepe noktası bulunmadığı zaman ikinci bir kontrol bir satır veya sütun elemanlarının diğer satır veya sütun elemanlarından büyük veya küçük olmasına bakmaktır. Satırlar için bu tarama işlemi, A oyuncusunun kazançlarını gösterdiğine göre, bir satırdaki her bir elemanın diğer bir satırdan daha büyük olması, o satırın ilk olarak benimseneceğini gösterir ve üstün seçenektir. Üstün seçeneğin satır elemanlarının karşılaştırıldığı satır elemanları hemen tercih edilen kazanç olmadığı için de zayıf seçenek adı verilir. O halde zayıf seçenek, tarafların hiç bir zaman benimsemeyecekleri seçeneklerin ödemeler matrisinden çıkartılmasıdır. Örnek 5 : A ve B firmalarının reklam kampanyası planlarına göre verilmiş olan ödemeler matrisi, firmaların pazar paylarını göstermekte olduğuna göre firmaların seçeneklerini belirleyiniz. Tarafların seçenekleri; reklam yapmamak, orta çapta reklam yapmak,büyük çapta reklam yapmaktır.

22. B Satırların Min. 1 2 3 Elemanları 1 60 50 40 40 A 2 70 70 50 50 3 80 60 75 60 Sütun Max. Elemanları 80 70 75

23. Satırlar taranarak minimum elemanlar, sütunlar taranarak maximum elemanlar ödemeler matrisinde gösterilmiştir. Satırların maximin elemanı 60 ve sütunların minimax elemanı olan 70 birbirine eşit olmadığından oyunda tepe noktası yoktur. Yani A firması 3 nolu seçeneğini ve B firması 2 nolu seçeneğini benimsemesi halinde bir denge olamaz. Üstün seçenekler ilkesini uygulama şöyle olacaktır: B firması 1 nolu seçeneğini hiçbir zaman tercih etmeyecektir. Zira karşılaştırılırsa, birinci sütun elemanlarının büyük olduğu görülür. Dolayısıyla B her zaman daha büyük kayıpları istemez ve birinci seçeneğini kullanmaz. Benzer bir taramayla A için de birinci seçenek elimine edilir. Böylece çözüm diğer iki seçenek arasında bulunacaktır. Bu işlem aşağıdaki gibi gösterilerek elimine edilen seçenekler belirlenmiş olur. Elimine edilen seçeneklerden sonra geri kalan ödemeler matrisi tekrar yazılırsa;

24. B 2 3 A 2 70 50 3 60 75 B oyuncusu 2 nolu seçeneğini Y2, 3 nolu seçeneğini Y3 kez oynayacağına göre A oyuncusunun beklenen kazancı; E1 70 Y2 + 50 (1 - Y2) = v E2 60 Y2 + 75 (1 - Y2) = v olur. Y1 + Y2 + Y3= 1 olduğundan, Y1 = 0 için Y2 + Y3= 1 ve Y3 = 1 – Y2 sonucu E1 de yerine konmuştur. Denklem sistemi çözülerek Y2 = 5/7 , Y3 = 2/7 , v = 450 / 7 bulunur. Benzer işlemler B oyuncusu içinde yapılarak; 50 X2 + 75 ( 1 – X2) = v 70 X2 + 60 ( 1 - X2 ) = v denklem sisteminden X2 = 3/7 , X3 = 4/7 , v = 450/7 bulunur. Çözüm>>> X ( 0, 3/7, 4/7 ) ; Y ( 0, 5/7, 2/7 ) ; v = 450 / 7 olarak yazılır.

25. 2. YAKLAŞIK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Bu yöntem, yineleme yoluyla oyunun yaklaşık çözümünün bulunmasıyla ilgilidir. Özellikle büyük boyutlu matrikslerin çözümünde kullanılan bu yöntemde optimal stratejiler de yaklaşık olabilir. Oyunu çözmek için temel düşünce her oyuncunun geçmişin gelecek için en iyi örnek olduğu varsayımından hareket edeceğidir. Oyuncu beklentisini maksimize etmek için oynayacaktır.A gelişigüzel bir sıra seçer ve bu sıra matriksin altına yazılır. B bu sırayı inceleyerek en küçük değerli elemana ilişkin kolonu seçer ve bu kolon matriksin sağına yazılır. A bu kolonu inceleyerek en büyük elemana ilişkin sırayı önceki sıraya ekler ve bulunanı toplam son seçilmiş sıranın altına yazılır. Sıraların en küçük, kolonların en büyük değerleri saptanır. A ve B oyuncularının yaklaşık stratejileri stratejilerin yaklaşık ortaya çıkma sıklığı ile bulunur. Son kolondaki en büyük ve son sıradaki en küçük değerlerin yineleme sayısına bölümüyle V değerinin aralığı saptanmış olur.

26. Örnek 6:Aynı semtte çalışan iki bijuteri aynı pazarı paylaşmaktadır. Pazar payları aşağıdaki gibidir: Örnek 6 için Oyun Matriksi B1 B2 B3 A1 0 2 5 A2 -5 4 2 A3 2 0 -1

27. Örnek 6 için Yaklaşık Çözüm B1 B2 B3 A1 0 2 5 0 0 2 7 9 9 A2 -5 4 2 -5 -10 -6 -4 0 -5 A3 2 0 -1 2 4 4 3 3 5 0 2 5 2* 2 4 4 2 3 6 2 2* 6 4 7 6 6 12 *Eşit değer veren stratejilerden tercih edileni

28. ÇÖZÜM Çözümde altı yineleme yapılmıştır.Sıralar incelendiğinde A’nın 2 kez 1. stratejiyi,4 kez de 3.stratejiyi seçtiği ve 2.stratejiyi hiç seçmediği görülür.Buna göre tabloda oluşturulan kolonların sonuncusunun en büyük değeri 9 ve sıraların sonuncusunun en küçük değeri 6 olduğundan bu değerlerin yineleme sayısına bölümü ile oyunun yaklaşık değeri   9/6  V  6/6 dır.A’nın yaklaşık stratejisi (2/6 , 0, 4/6) dır. Benzer biçimde B ‘nin 3 kez 1. stratejiyi, 5 kez 2. stratejiyive 1 kez 3. stratejiyi seçtiği görülür. Ve B’nin yaklaşıkstratejisi (3/6,5/6,1/6) dır.

29. 3. GRAFİK ÇÖZÜM TEKNİĞİ Üstünlük stratejisi ile oyunlar mx2 ve 2xn boyuta indirgenirse bu oyunlar grafik yöntemiyle çözülebilir.Oyunda ikiden fazla stratejide bulunsa 2 stratejisi olan oyuncular için grafik yönteminin kullanımı olanaklıdır. ÖRNEK 7:A ve B oyuncuları arasında oynanan(2x4) boyutlu oyunun matrisi verilmiştir. Buna göre oyunu grafik yöntemine göre çözünüz.

30. B Oyuncusu B1 B2 B3 B4 A A1 9 -3 -4 6 Oyuncusu A2 -2 3 5 -1 Oyun matrisinin tepe noktası yoktur. A oyuncusunun A1 stratejisini oynama olasılığına x dersek, A2 stratejisini oynama olasılığı da (1–x) olur. B oyuncusunun A oyuncusuna yapacağı beklenen ödemeleri veya beklenen değerleri, B’nin tam stratejilerine göre şöyle olacaktır: B oyuncusunun tam stratejileri A oyuncusunun beklenen değerleri; B1 9x – 2 (1-x) = 11x - 2 B2 -3x + 3 (1-x) = 3 – 6x B3 -4x + 5 (1-x) = 5 – 9xB4 6x – 1 (1-x) = 7x – 1

31. Oyunları çözmek için uygun teknikleri geliştirmede kullanılacak iki temel önermeden ikincisine göre, tablonun sağ tarafındaki denklemlerin her biri oyun değeri (v) ye eşit veya ondan daha büyük olmalıdır. A oyuncusu, amacı kendi gelirini en yükseğe çıkarmak olduğu için, oyunun değerini mümkün olduğu kadar büyük yapacak x olasılığını seçmeye çalışır. A oyuncusu için problemi doğrusal programlama problemi olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz: Maksimum Z = v Kısıtlayıcılar: 11x – 2 ≥ v 3– 6x ≥ v 5– 9x ≥ v 7x – 1 ≥ v ve 0 ≤ x ≤ 1

32. Dikkat edilirse v için negatif olmama koşulu yoktur. Elimizde x ve v gibi iki karar değişkeni bulunduğundan, problemi grafik yöntemiyle çözebiliriz. Alışılmış olarak v dikey eksende, x de yatay eksende gösterilir. Problemdeki son kısıtlayıcı yüzünden x sadece 0 ile 1 aralığı içinde yer alır. Grafik çözüm tekniğine göre x ve v değerlerini elde edelim: ·        11x – 2 = v denkleminde, x = 0 için v = -2 x = 1 için v = 9 v = 0 için x = 2 / 11 dir. ·     3– 6x = v denkleminde, x = 0 için v = 3 x = 1 için v = -3 v = 0 için x = 1 / 2 dir. ·        5– 9x = v denkleminde, x = 0 için v = 5 x = 1 için v = -4 v = 0 için x = 5 / 9 dur. ·        7x – 1 = v denkleminde, x = 0 için v = -1 x = 1 için v = 6 v = 0 için x = 1 / 7

34. Uygun çözüm alanındaki maksimum kazancı verecek x in optimal değerini bulmak için; v = 3 – 6x v = 7x – 1 denklemlerinden yararlanılır. 3 – 6x = 7x – 1 13x = 4 v = 15/13 dür. Şekildeki taralı alanın en yüksek noktası (4/13 , 15/13) dir. Böylece oyunun değeri v=15/13, x’in optimal değeri de x*=4/13 dir. A oyuncusunun optimal strateji vektörü, x*=(4/13, 9/13) olur. Grafikte de görüldüğü gibi, maksimum yani en yüksek noktadan iki doğru geçer ki, bunlar da B oyuncusunun B2 tam stratejisine, v = 7x – 1 doğrusu da B4 stratejisine karşılıktır. Bu demektir ki, B oyuncusunun optimal stratejisi sadece B2 ve B4 stratejilerinin karması olacaktır. Geriye kalan B1 ve B3 stratejileri hiçbir zaman oynanmayacaktır. 2xn oyunlarında bir genelleme için şunu söyleyebiliriz. Maksimum noktadan geçmeyen doğruların stratejileri hiçbir zaman oynanmamalıdır. Böylece örneğimizde y1 = y3 = 0 olur. Eğer A oyuncusu A1 stratejisini oynarsa A ya beklenen ödeme; 9y1 - 3y2 - 4y3 + 6y4 olur. Eğer A oyuncusu A2 stratejisini oynarsa A ya beklenen ödeme; -2y1 + 3y2 + 5y3 – y4 olur. Aynı zamanda bu denklemler oyunun değerine eşit olmalıdır.

35. Öyleyse, 9y1 - 3y2 - 4y3 + 6y4 = v -2y1 + 3y2 + 5y3 – y4 = v ve y1 = y3 = 0 olduğundan -3y2+ 6y4 = 15/13 -3y2 – y4 = 15/13 Bu denklemim çözümü de bize y4 = 6/13 y2 = 7/13 verir. Aynı zamanda bu değerler B oyuncusunun optimal strateji vektörünün değerleri olur. Buna göre B oyuncusunun optimal strateji vektörü: y * = 0, 7/13, 0, 6/13 dir.

36. UYGULAMA ALANLARI Oyun teorisi iş sorunlarının çözümünde yaygın olarak kullanılmamaktadır. Buna karşın rekabet unsurları içinde önemli bir görüş açıklığı sağlamıştır. Yöneticinin işi, rekabete etki eden faktörler içindeki hal tarzını göz önüne alarak, mevcut en iyi stratejiyi seçmektir. Böylece stratejinin onaylanması ve anlaşılmasında çok faydalıdır. İşletme problemlerinden örnekler ise rekabete dayanan problemler veya doğaya karşı verilecek karar problemleri şunlardır: ·        Teklif verme politikalarının saptanması, ·        Reklam planları, ·        Satın alma politikasının belirlenmesi, ·        Yeni mamuller arasından seçim yapma, ·        Araştırma stratejilerinin belirlenmesi, ·        Talebin belirsiz olması halinde üretim programlama, ·        Fiyatlama.

37. OYUN TEORİSİNİN TÜRKİYE’DEKİ DURUMU Türkiye'de Oyun Teorisi üzerine çalışan ve dünya bilimsel platformlarında göz ardı edilmeyen bir akademisyenler grubu bulunmaktadır.Bunlarülkemizinçeşitli üniversitelerinde, genellikle İktisat ve Matematik bölümlerinde çalışmaktadırlar. Bu kişiler uygulamalı projelere katkıda bulunabilecek birikime de sahiptirler. Ne var ki Türkiye'de bu birikime kayda değer bir talep bulunmamaktadır. Oysa ki dünyada Oyun Teorisi üzerine çalışan bilim adamlarından açıkarttırmaların tasarlanmasından kirliliğin önlenmesine kadar birçokkonudaentelektüel destek istenmektedir. Türkiye'deki durumu, Oyun Teorisi'nin kamuoyunun gündemine nispeten gecikerek girmesiyle açıklamak mümkün olabilir.

38. İHALE VE OYUN TEORİSİ Son aylarda ülkemizde ve Avrupa’da birçok cep telefonu lisans ihalesi gerçekleşmektedir. Başarının ölçüsü vergi mükellefleri açısından ihalenin getirisi, tüketiciler açısından ise ihalenin yol açtığı rekabetçi ortam sonucu telefon ücretlerinin düşüklüğü olarak belirlenebilir.  Her iki kesimi de korumakla sorumlu olan hükümetlerin de bu iki amaç arasında bir denge kurması beklenmektedir. Bazı ihalelerin her iki açıdan da başarısız olması bir şanssızlık değil, ihale kurallarını koyan hükümetlerin oyun teorisini yeterince hesaba katmamalarının sonucudur.  Örneğin, Hollanda hükümetinin açtığı ihalenin kuralları İngiltere’de uygulanan kuralların benzeri olmasına rağmen ihale “fiyasko” denilecek bir sonuçla bitmiştir. İngiltere’nin beş lisans için $34 milyar kazandığı ihale göz önüne alındığında kişi başına benzer bir lisans ücretinin Hollanda hükümetine $9 milyar kazandırması beklenirken ihale sonucunda $2.5 milyar elde edildi.

39. Bu sonuç, önemli olanın benzer kuralların uygulanması değil, şartlara uygun kuralların uygulanması olduğunu vurgulamaktadır.  Bir başka ifade ile oyunun kurgusunun başlangıç şartlarına göre düzenlenmesi gerekmektedir. İngiltere’de cep telefonu alanında faaliyet gösteren dört oyuncu varken beş lisans için ihaleye çıkıldı ve daha baştan en az bir yeni oyuncunun piyasaya gireceği belirlendi. İhale dokuz yeni oyuncunun teklif vermesiyle büyük bir rekabet içersinde geçti ve İngiltere hükümetine $34 milyar getiri sağladı. Hollanda’da ise zaten beş oyuncu vardı ve yine beş lisans ihaleye çıkarıldı.  Yeni oyuncuların piyasaya giriş maliyetleri sadece ihale bedeli ile sınırlı olmadığından mevcut oyunculara göre daha yüksektir.Hollanda ihalesi tamamen açık artırma ile yürütüldüğünden, yeni oyuncular hangi teklifi verirlerse versinler mevcut oyuncuların fiyatı yeni bir oyuncu için cazip olmayacak noktaya kadar artırabileceklerini düşündüklerinden ihaleye bağımsız olarak girmekten çekindiler ve mevcut oyuncularla ortaklıklar kurarak ihaleye girdiler.  Dolayısı ile rekabet azaldığından Hollanda beklediği geliri elde edemedi.  Aynı zamanda piyasaya yeni oyuncu girmesini ve rekabetin artmasını da sağlayamadı.

40. Ülkemizdeki GSM 1800 ihalesindeki ikinci lisansın birincisinden yüksek olması şartı İş Bankası-Telecom Italia ortaklığının, yaratıcı bir strateji uygulayarak ve ikinci lisans için cazip olacak bir ortamı ortadan kaldırarak, GSM 1800 teknolojisinde tek oyuncu olmalarına fırsat sağladı.  Belki hükümetin iki lisanstan elde edilecek gelir beklentilerine yaklaşıldı, ama piyasadaki oyuncu sayısı sınırlı kaldı. Sonuç olarak; hükümetlerin, yeterince talep yaratabilmek, potansiyel oyuncuların anlaşmalarına fırsat tanımamak ve ihale sonucunda rekabetçi bir piyasa yapısına kavuşabilmek için, ihale şartlarını mevcut piyasa konumunu göz önüne alarak ve oyun teorisinden faydalanarak belirlemeleri gerekmektedir.

41. SONUÇ Bugünün dünyası, çok hızlı değişim ve gelişim içerisindedir. Böyle bir ortamda işletmelerin ayakta kalabilmeleri, yapacakları iç ve dış işletme analizlerine ve bu analizler ışığında alınacak kararlara bağlıdır. Karar alma tekniklerinden biri de oyun teorisidir. Oyun teorisini tarihsel gelişimi irdelendiğinde, oyunların şans kuramının 17. yüzyılda ortaya atılmış olduğu ve olasılık kuramı adı verilen matematik dalının gelişmesinde kaynak olduğu görülür. Çıkarları çatışan tarafların akılcı davranış kurallarının belirlenmesi olan oyun teorisi, bu tür karar ortamlarını açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır.

42. TEŞEKKÜRLER