Семинар № 5

1. Семинар №5 Дискретное уравнение Ляпунова.I

2. (1) Дискретное уравнение Ляпунова A - матрица размера n x n, неизвестной являетсяматрица Hразмера n x n. Уравнение (1) является частным случаем уравнения Сильвестра-Крейна при

3. (2) Уравнение Сильвестра-Крейна В теоретическом курсе был установлен следующий результат (см. § 2). Теорема.Пусть где - собственные значения матриц A и B соответственно. Тогда для любой Y существует единственное решение уравнения (2), при этом

4. (1) Дискретное уравнение Ляпунова Предположим, что спектр матрицы A лежит в единичном круге Тогда нетрудно проверить, что выполнено условие, при котором уравнение Сильвестра-Крейна однозначно разрешимо (см. § 6). Вывод:Можно находить решение дискретного уравнения Ляпунова (1), используя решение уравнения Сильвестра-Крейна. Проблема: Как на компьютере посчитать контурные интегралы, указанные в теореме ? Есть ли другой способ решения уравнения Сильвестра-Крейна, и в частности, дискретного уравнения Ляпунова (1) ?

5. (1) Дискретное уравнение Ляпунова Ответ: Можно найти решение уравнения Сильвестра-Крейна, и в частности, дискретного уравнения Ляпунова (1), сведя его нахождение к решению системы алгебраических уравнений Ch = D, (2) гдеC – матрица, составленная из элементов заданных матриц Aи B, вектор D составлен из элементов заданной матрицы Y, вектор h – искомый, его компонентами являются элементы искомой матрицы H. На предыдущих семинарах мы обсуждали решение системы (2) в связи с решением уравнения Сильвеста. Поэтому решение уравнения Сильвеста-Крейна можно найти, используя аналогичную схему. Таким образом, чтобы найти решения дискретного уравнения Ляпунова, мы можем перейти к системе (2), и по ее решению восстановить решение исходного уравнения (1)

6. (1) Дискретное уравнение Ляпунова В § 6 был доказан критерий принадлежности матричного спектра единичному кругу Теорема. Спектр матрицы Aпринадлежит единичному кругу тогда и только тогда, когда существует эрмитово положительно определенное решение Hуравнения (1). Это результат является очень важным с вычислительной точки зрения, поскольку задача об отыскании спектра неэрмитовых матриц является плохо обусловленной.

7. (1) Дискретное уравнение Ляпунова Вывод: Используя уравнение Ляпунова (1), можно исследовать принадлежность спектра матрицы A единичному кругу, не вычисляя собственные значения. Более того, для собственных значений матрицы A имеет место оценка

8. (1) Дискретное уравнение Ляпунова • Цели: • Используя вычислительные алгоритмы для уравнения Сильвестра-Крейна, найти решение дискретного уравнение Ляпунова (1). Провести сравнительный анализ решений, полученных с использованием различных пакетов. • На различных примерах убедиться насколько по существу условие на спектр матрицы A, как зависит норма решения уравнения Ляпунова (1) от близости собственных значений матрицы Aк единичной окружности, от структуры матрицы A.

9. (1) Дискретное уравнение Ляпунова Упражнение. Пусть A – матрица размера 2 x 2, собственные значения, которой равны 1/2 и 5. Используя вычислительные алгоритмы для уравнения Сильвестра-Крейна, найти решение уравнение дискретного Ляпунова. Результат: Решение Hпосчитано, хотя одно собственное значение лежит вне единичного круга. Вопрос: Как полученный результат согласуется с критерием принадлежности матричного спектра левой полуплоскости ? Ответ: Полученное решение Hне является положительно определенным, что требуется в критерии.

10. (1) Дискретное уравнение Ляпунова Вывод: Чтобы использовать вычислительные алгоритмы для уравнения Сильвестра-Крейнапри исследовании принадлежности спектра матрицы Aединичному кругу, в алгоритме дополнительно должна быть предусмотрена проверка положительной определенности решения H дискретного уравнение Ляпунова (1). Ниже прилагается пример программы для Maple.

11. Пример программы (Maple) Задается матрица A так, чтобы можно было следить за ее спектром: with(LinearAlgebra): DA:=<<0.1 | 0>, <0 | -0.5>>;TA:=<<2 | 3>, <4 | 5>>; detTA:=Determinant(TA); condTA:=ConditionNumber(TA); A:=TA.DA.MatrixInverse(TA); B:=HermitianTranspose(A): Y:=IdentityMatrix(2):

12. Нахождение решения дискретного уравнения Ляпунова, как частного случая уравнения Сильвестра-Крейна, проверка найденного решения на положительную определенность, вычисление невязки. H:=Matrix(2,2,symbol=h): Y1:=H-B.H.A: Y2:=simplify(Y1): sys:=[Y2[1,1]=Y[1,1],Y2[1,2]=Y[1,2],Y2[2,1]=Y[2,1],Y2[2,2]=Y[2,2]]:var:=[h[1, 1],h[1, 2],h[2, 1],h[2, 2]]: (HH, f):= GenerateMatrix(sys, var): condHH:=ConditionNumber(HH): h_sol:=Vector(LinearSolve(HH,f)):H_sol:=(<<h_sol[1] |h_sol[2]>, <h_sol[3] |h_sol[4]>>); if (IsDefinite(H_sol)=false) then printf("H_sol is not positive definite") else Norm_H_sol:=evalf(MatrixNorm(H_sol,2)); MatrixNorm(Y-H_sol+B.H_sol.A,2);end if;