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第三篇 近世代数

第三篇 近世代数. 代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统－群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。. 第八章 代数系统. §8.1 代数系统一般概念 1 ．代数系统中的基本概念 （ 1 ）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（ S , ）。 （ 2 ）子代数：代数系统（ S, ），（ S  ，  ）满足：

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Presentation Transcript

  1. 第三篇 近世代数 代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统－群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。

  2. 第八章 代数系统 §8.1 代数系统一般概念 1．代数系统中的基本概念 （1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S , ）。 （2）子代数：代数系统（S, ），（S，）满足： ① SS ② 如a , bS，ab = a b 则称（S，）为（S, ）的子代数。

  3. §8.2 代数系统常见的一些性质 （3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0 7）生成元

  4. §8.3 同构与同态 （4）同构：（X，）与（Y，）存在一一对应函数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x2）＝g（x1）g（x2）此时则称（X, ）与（Y，）同构。 （5）同态：（X , ）与（Y，）存在函数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x2）＝g（x1）g（x2）此时则称（X， ）与（Y，）同态。 §8.4 常用代数系统 （6）代数系统的构成

  5. 交换律 生成元 子集上的群 特殊群 特殊群 有界格 单元半群 子群 可换群 理想 （一个二元运算 ） 变换群 循环群 循环半群 有补格 商环 结合律 半群 单位元、逆元 群   交换律 单位元 生成元 可换半群 正规子群、商群 （两个二元运算：, ) 可换群, 半群, 对分配群环交换律可换环单位元, 逆元 代数系统   域 单位元，无零因子 整环 （两个二元运算：, ) 两个运算的结合律、交换律、吸收律 格 两个运算的分配律 分配格   布尔代数 两个运算的单位元、逆元 特殊子环 两个运算有单位元 特殊环 两个运算有逆元

  6. 第九章 群论 §9.1 一些群的定义 （7）半群——代数系统满足交换律 （8）单元半群——半群存在单位元 （9）群——半群存在单位元与逆元 （10）可换群——群满足交换律 （11）变换群——集合A上所有的变换构成的集合E（A），对于复合变换所构成的代数系统（E（A）, ）是一个群，称变换群。 （12）循环群——群有生成元。 （13）有限群：群（S, ）中S为有限集。 （14）子群：群（G，）上G的子集所构成的群。

  7. （15）正规子群：（H，）是群（G，）的子群，如对aG都有：aH = Ha则称（H，）是（G，）的正规子群。 （16）陪集：H是G的子群，Ha＝{ha | hH}, aH = {ah | hH }分别称H在G中的一个右陪集或左陪集。 （17）商群：H是G的正规子群，对Ha，HbG/H，二元运算（Ha)(Hb)＝Hab构成群，则称H是G的商群。 （18）单元半群性质：  单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。  可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列）均不相同。  循环单元半群是可换单元半群。  可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。

  8. §9.2 一些群的理论与半群性质：  半群的子代数也是半群。  循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论  群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解；  群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c；  任一群必与变换群同构；  与一个群同构或满同态的代数系统必为群；  一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；

  9. 有限群必与置换群同构； 循环群要么与（I,＋）同构，要么与（Zm，＋m）同构；  一个群子集H构成群（H,o）的充分必要条件：a,bH 则a bH ,aH 则a－1H； 一个群子集H构成子群（H,o）的充分必要条件：a,b H 则a b－1 H ； 一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分（拉格朗日定理）； f是群（G, ）与（G，）的满同态，K是f的核，则必有：（G/k , ）与（G，）同构；

  10. 第十章 环论 §10.1 环和域 （20）环：（R，＋, ），对＋的可换群，对的半群， 对＋的分配律； （21）理想：（D，＋,），环（R，＋, ）的子环，满足：aR , bD，必有：a bD , b aD； （22）整环：环（R，＋,）中，运算有单位元，无零因子； （23）域：环（P，＋, ）中，运算交换律，有单位元，逆元；

  11. （24）环的基本理论 环的基本运算性质：  a 0 = 0 a = 0；  a （－b）=（－a） b = －（a b）  (－a) (－b)＝a b  环中无零因子 环满足消去律；  环中子系统S是子环的充要条件是as 则必有a－1S。 （25）域的基本理论 1）域是整环； 2）有限整环必是域。

  12. 第十一章 格与布尔代数 §11.1 格与布尔代数 （26）格：（P，＋, ）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律； （27）布尔代数：格（B，＋, ）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。

  13. （28）格的基本理论 1） 一个偏序格必是一个代数格，反之亦然； 2）格的运算性质。  a≤a∨b , b≤a∨b （a∨b≥a , a∨b≥b）  a≤c且b≤c a∨b≤c （a≤c且b≤cc≥a∨b）  a∧b≤a , a∧b≤b （a≥a∧b , b≥a∧b）  c≤a且c≤b c≤a∧b （c≤a且c≤bc≥a∧b≥c）

  14. （29）布尔代数的基本理论 —布尔代数（B，＋， ）满足：（对＋与 ）  交换律  结合律  等幂律  吸收律  分配律  零一律  同一律  互补律  双补律  德摩根律

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