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第三篇 近世代数. 代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章,第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质, 第六章群论,主要介绍具有代表性的代数系统-群,最后第七章其它代数系统,介绍除群外常见的一些代数系统,如环、域、格与布尔代数等,这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。. 第八章 代数系统. §8.1 代数系统一般概念 1 .代数系统中的基本概念 ( 1 )代数系统:集合上具有封闭性的运算组成代数系统( S , )。 ( 2 )子代数:代数系统( S, ),( S , )满足:
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第三篇 近世代数 代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章,第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质,第六章群论,主要介绍具有代表性的代数系统-群,最后第七章其它代数系统,介绍除群外常见的一些代数系统,如环、域、格与布尔代数等,这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。
第八章 代数系统 §8.1 代数系统一般概念 1.代数系统中的基本概念 (1)代数系统:集合上具有封闭性的运算组成代数系统(S , )。 (2)子代数:代数系统(S, ),(S,)满足: ① SS ② 如a , bS,ab = a b 则称(S,)为(S, )的子代数。
§8.2 代数系统常见的一些性质 (3)代数系统常见性质 1)结合律:(a b) c=a (b c) 2)交换律:a b=b a 3)分配律:a (b+c)=(a b)+(a c) 4)单位元:a 1=a 5)逆元:a a-1=1 6)零元:a 0=0 7)生成元
§8.3 同构与同态 (4)同构:(X,)与(Y,)存在一一对应函数g : XY使得如x1 , x2X,则有:g(x1 x2)=g(x1)g(x2)此时则称(X, )与(Y,)同构。 (5)同态:(X , )与(Y,)存在函数g : XY使得如x1 , x2X,则有:g(x1 x2)=g(x1)g(x2)此时则称(X, )与(Y,)同态。 §8.4 常用代数系统 (6)代数系统的构成
交换律 生成元 子集上的群 特殊群 特殊群 有界格 单元半群 子群 可换群 理想 (一个二元运算 ) 变换群 循环群 循环半群 有补格 商环 结合律 半群 单位元、逆元 群 交换律 单位元 生成元 可换半群 正规子群、商群 (两个二元运算:, ) 可换群, 半群, 对分配群环交换律可换环单位元, 逆元 代数系统 域 单位元,无零因子 整环 (两个二元运算:, ) 两个运算的结合律、交换律、吸收律 格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 特殊子环 两个运算有单位元 特殊环 两个运算有逆元
第九章 群论 §9.1 一些群的定义 (7)半群——代数系统满足交换律 (8)单元半群——半群存在单位元 (9)群——半群存在单位元与逆元 (10)可换群——群满足交换律 (11)变换群——集合A上所有的变换构成的集合E(A),对于复合变换所构成的代数系统(E(A), )是一个群,称变换群。 (12)循环群——群有生成元。 (13)有限群:群(S, )中S为有限集。 (14)子群:群(G,)上G的子集所构成的群。
(15)正规子群:(H,)是群(G,)的子群,如对aG都有:aH = Ha则称(H,)是(G,)的正规子群。 (16)陪集:H是G的子群,Ha={ha | hH}, aH = {ah | hH }分别称H在G中的一个右陪集或左陪集。 (17)商群:H是G的正规子群,对Ha,HbG/H,二元运算(Ha)(Hb)=Hab构成群,则称H是G的商群。 (18)单元半群性质: 单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。 可列个元素的单元半群的运算组合表每行(列)均不相同。 循环单元半群是可换单元半群。 可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。
§9.2 一些群的理论与半群性质: 半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 (19)关于群的基本理论 群方程可解性:a x = b(或x a = b)对x存在唯一解; 群的消去律:a b = a c(或b a = c a)必有b = c; 任一群必与变换群同构; 与一个群同构或满同态的代数系统必为群; 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群;
有限群必与置换群同构; 循环群要么与(I,+)同构,要么与(Zm,+m)同构; 一个群子集H构成群(H,o)的充分必要条件:a,bH 则a bH ,aH 则a-1H; 一个群子集H构成子群(H,o)的充分必要条件:a,b H 则a b-1 H ; 一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分(拉格朗日定理); f是群(G, )与(G,)的满同态,K是f的核,则必有:(G/k , )与(G,)同构;
第十章 环论 §10.1 环和域 (20)环:(R,+, ),对+的可换群,对的半群, 对+的分配律; (21)理想:(D,+,),环(R,+, )的子环,满足:aR , bD,必有:a bD , b aD; (22)整环:环(R,+,)中,运算有单位元,无零因子; (23)域:环(P,+, )中,运算交换律,有单位元,逆元;
(24)环的基本理论 环的基本运算性质: a 0 = 0 a = 0; a (-b)=(-a) b = -(a b) (-a) (-b)=a b 环中无零因子 环满足消去律; 环中子系统S是子环的充要条件是as 则必有a-1S。 (25)域的基本理论 1)域是整环; 2)有限整环必是域。
第十一章 格与布尔代数 §11.1 格与布尔代数 (26)格:(P,+, )中,两个运算的结合律、吸收律、交换律; (27)布尔代数:格(B,+, )中,两个运算的分配律、单位元、逆元。
(28)格的基本理论 1) 一个偏序格必是一个代数格,反之亦然; 2)格的运算性质。 a≤a∨b , b≤a∨b (a∨b≥a , a∨b≥b) a≤c且b≤c a∨b≤c (a≤c且b≤cc≥a∨b) a∧b≤a , a∧b≤b (a≥a∧b , b≥a∧b) c≤a且c≤b c≤a∧b (c≤a且c≤bc≥a∧b≥c)
(29)布尔代数的基本理论 —布尔代数(B,+, )满足:(对+与 ) 交换律 结合律 等幂律 吸收律 分配律 零一律 同一律 互补律 双补律 德摩根律