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Transitions de phase en dimensions fractales

Transitions de phase en dimensions fractales. * Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS * Université d’Evry-Val d’Essonne. Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon.

Samuel
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Transitions de phase en dimensions fractales

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  1. Transitions de phase en dimensions fractales *Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS * Université d’Evry-Val d’Essonne

  2. Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon Irradiation d’un multicouche Ni-W par des ions Xe+

  3. Description des fractals de Sierpinski et modèles • Simulation Monte-Carlo et analyse en tailles finies • Renormalisation Monte-Carlo • Ralentissement critique et amas de Wolff • Modèle de Potts • Percolation

  4. Fractals de Sierpinski (et Menger) • Cellule génératriceSPg(ld,Noc, 1) • Nocsites occupés dans un carré ou un cube de côté l • Invariance d’échelle:Processus itératifetdilatations SPb(33,18,1)

  5. k étapes d’itération  Réseau SPg(ld,Noc, k) • Taille L=lk • Nombre de sites Nock=LDf • Dimension de Hausdorff • Paramètres topologiques additionnels • Degré de ramification, connectivité, lacunarité

  6. Modèles Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins • Spins d’Ising ou de Potts à q états placés aux sites de fractals de Sierpinski déterministes •Fractals de degré de ramification infini Le modèle d’Ising présente une transition du second ordre para-ferro magnétique à Tc 0

  7. Construction de la structure fractale • Fluctuations géométriques multi-échelles fonctions de corrélation à deux points spin-spin dépendantes de la position Renormalisation dans l’espace direct Symétrie d’échelle discrète Tailles simulées :L=lk Structure de la cellule génératrice présente à tous les ordres de grandeur

  8. Propriétés topologiques dépendantes de l’étape d’itération k de la structure k Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisinszg(ld,Noc, k) par rapport à sa limite thermodynamiquezg(ld,Noc,)

  9. Simulation Monte-Carlo en situation canonique ALGORITHMES DE “CLUSTER’’ (Wolff, Swendsen-Wang) • Réduction du ralentissement critique • Traitement des données des simulations METHODE DES HISTOGRAMMES

  10. Analyse en tailles finies •Comportement asymptotique de la longueur de corrélation x~|t|-n où t =(T- TC)/TC •Hypothèse d’homogénéité f(t,h)=b-Dff(tbyt,hbyh )

  11.  Calcul de nPics des dérivées logarithmiques Calcul de TC Position des pics Fnmax Calcul de TC sans nPoint fixe du cumulant : Calcul de (b/n) et (g/n) Autre calcul de (g/n) Pic de susceptibilité :

  12. SPa(52,24)Df ~ 1.975 2.06604 2.06616 2.06660 2.06602

  13. SPa(52,16)Df~ 1.723 0.8188 0.8372

  14. SPa(32,8)Df ~ 1.893

  15. Maximas de susceptibilité du paramètre d’ordrecmax(L) b Penteg/n a a a a a a

  16. Renormalisation du Hamiltonien d’Ising : Couplages

  17. Renormalisation Monte-Carlo • Calcul de la matrice[T (n)] •Flot •Linéarisation du Flot • Calcul des deux plus grandes valeurs propres lt(n) et lh(n) de [T (n)] dans chaque sous espace

  18. yt=1/n <0.525 lt=3 yt yt n Nombre de couplages SPa(3,8)

  19. yh=1.82(1) Analyse en tailles finies : g/n=1.732(2) 2yh=Df+g/n lh=3 yh yh n Nombre de couplages

  20. Corrections d’échelleEcarts aux lois de puissances Lx(1+aL-w+…) • Dépendantes de la grandeur physique et de Df • Dépendantes de la topologie du fractal • Importantes lorsque Df décroît de 2 vers 1 • Peu importantes pour 2.5 < Df < 3 •  Sans effet sur cmax(L) Valeur précise de (g/n) • Liées à la convergence à la limite thermodynamique Relation d’hyperscaling Satisfaite avec la dimension de Hausdorff

  21. Développements en e Exposants g et n en désaccord : Brisure de la symétrie de translation FRACTALS  UNIVERSALITE FAIBLE

  22. Lois d’échellesdynamiques t = LzFt(tL1/n) à TC Ralentissement critique • Fonction d’autocorrélation de la grandeur A • Erreur statistique sur <A> tA : Temps d’autocorrélation intégré

  23. 1) Tirage d’un site i du réseau au hasard Algorithme de Wolff • 2) Addition de sites j, premiers voisins de i, à l’amas avec la probabilité : • 3)Répétition de l’étape 2) pour chacun des sites venant de rejoindre l’amas • 4) Répétition de l’étape 3) jusqu'à « épuisement » • 5) Retournement en bloc de tous les sites de l’amas • 6) Retour en 1)

  24. nième pas Monte-Carlo (n+1)ième pas Monte-Carlo « Tension de surface » de l’amas 2|En+1 -En | « Nombre de sites » de l’amas 2|Mn+1 -Mn |

  25. Fonctions d’autocorrélation de l’aimantation à TC SPa(32,8) Df ~ 1.893 SPa(52,24) Df ~ 1.975 CM(n) CM(n) n n

  26. k=5 Plusieurs temps caractéristiques  Calcul de tEà partir d’un fit de <CE(n)> sur une base restreinte : Calcul de temps d’autocorrélation

  27. Exposants dynamiques

  28. Distributions de probabilité des tailles des amas de Wolff à TC SPa(52,24), Df 1.975 SPa(43,56), Df 2.904

  29. Invariance d’échelle des distributions de probabilité des tailles des amas Pk(s)= Pk-1(sl -yh )=Pk-1(s / l(b/n+g/n))

  30. Loi d’échelle de la “tension de surface’’ moyenne des amas à TC Pour L‘‘assez grand’’:<|DE|>~LSw

  31. Invariance d’échelle des densités de probabilité de “tension de surface” De l’étape k à l’étape k-1: P S(|DE|)= l -dSP S(|DE|l -ys)

  32. P (s)= b -DfP (sb -yh) <s>~Lg/n Tailles 2yh= Df+g/n P S(|DE|)= b -dSP S(|DE|l -ys) <|DE|>~LSw 2yS= dS+Sw dS = Df-1 Conjecture Tempsde fluctuations statistiques <|DE|2 >=2(<E2> -<E>2)(1-CE(1)) 2Sw +2ZEWSF2/n Tensions de surface ZMWSF Df - g/n

  33. Modèle de Potts ferromagnétique à q états de spin • Réseaux invariants par translation  Ordre de la transition dépendant de q et d Valeur critique qc(d) • Désordre : champ pertinent dans certaines conditions

  34. Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre (Meyer-Ortmanns et Reisz) Ordre de latransition Distribution de probabilité de l’énergie à la transition SPa(3,8)

  35. Transition du second ordre • Corrections d’échelle plus fortes que pour Ising • Pas de corrections sur cmax(L) Valeur précise de (g/n) • Bornes pour les autres exposants  Dfcompatible avec la relation d’hyperscaling  On peut différencier les deux ‘‘classes’’ d’Ising et de Potts Modèlede Potts à 3 étatssur SCa(3,8)

  36. Transition de percolation • Distribution de taille • des amas ns(L,p) • Moments de ns(L,p) Recherche des pics des moments (2  k) et calcul de leur largeur Algorithme de Newmann-Ziffs

  37. Maxima des moments Mkmax(L)~L- yk/n • yk/n= (Df - kDfp) Dfp=1.828 pour SCa(32,8) • Dfp=1.766 pour SCa(42,12) M2max SCa(32,8) Mk(L,p)=l -yk/n Mk(L/l,p*) p -pck(L)= l -1/n(p*- pck(L/l)) 2 Largeurs des picsDpk(L) ~L-1/n

  38. Perspectives • Diagramme de phase du modèle de Potts • Transport anormal et systèmes non linéaires • Vieillissement d’une particule Brownienne

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