1 / 21

Monotoninės funkcijos

Monotoninės funkcijos. Tarkime, kad. yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Rašysime α ≤ β , kai α j ≤ β j su visais j =1,2,…,n. Pavyzdys. (0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1); (0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1); Negalima rašyti: (0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1). Jeigu α ≤ β  f( α ) ≤ f( β ),

aideen
Télécharger la présentation

Monotoninės funkcijos

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Monotoninės funkcijos

  2. Tarkime, kad yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Rašysime α ≤ β, kai αj ≤ βj su visais j=1,2,…,n. Pavyzdys. (0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1); (0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1); Negalima rašyti: (0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1). Jeigu α ≤ β f(α) ≤ f(β), tai Bulio funkcija vadinama monotonine

  3. f(0,0,1) f(0,1,1) f(0,0,0) f(0,1,0) f(1,0,1) f(1,1,1) f(1,0,0) f(1,1,0) 0 1 0 1 1 1 0 1 Funkcijos reikšmes iš lentelės surašome tokia tvarka: Patikrinsime, ar funkcija f(x,y,z) yra monotoninė. Matome, kad funkcijos reikšmės šiomis kryptimis nemažėja, t.y. ji monotoninė.

  4. Tiesinės funkcijos

  5. Funkcija f(x1,x2,...,xn) yra tiesinė, jeigu f(x1,x2,...,xn) = c0  c1 & x1  c2 & x2  …  cn & xn čia c0, c1, c2, …, cn yra konstantos, lygios 0 arba 1. c0= 1 c2 = 1 Pavyzdys. Ar funkcija f(x,y) = x  y yra tiesinė? c1= 1 x  y = c0  c1 & x  c2 & y 1 = 0  0 = c0  c1 & 0  c2 & 0 = с0 0  0 = с0 0 = 0 1= 1 c1 & 0  c2 & 1 = 1 0  с2 = ¬с2 0 = 1 0= 1 c1 & 1  1& 0 = 1 с1 0 = ¬с1 Tada gauname prieštaravimą: 0 = 1 1= 1 1& 1  1& 1 = 111 = 1

  6. Dviejų kintamųjų funkcijai: f(x, y) = c0  c1 & x  c2 & y f(0, 0)= c0  c1 & 0  c2 & 0 = с0 0  0 = с0 f(0,1)= c0 c1 & 0  c2 & 1 = c0 0  с2. Jeigu c0=0, tai c2=f(0,1). Jeigu c0=1, tai c2=¬f(0,1) f(1,0)= c0 c1 & 1  c2 & 0 = c0 с1 0 . Jeigu c0=0, tai c1=f(1,0). Jeigu c0=1, tai c1=¬f(1,0)

  7. Dviejų kintamųjų funkcijai Analogiškai gaunamos formulės trijų kintamųjų funkcijai:

  8. Fiktyvieji kintamieji

  9. Bulio funkcijos f(x1,x2, ..., xn) kintamasis xj (0 ≤ j ≤ n) vadinamas fiktyviuoju, jei f( ... , xj-1, 0, xj+1, … ) = f( ... , xj-1, 1, xj+1, … ) Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais. Jeigu funkcija yra tiesinė, t.y. ją galima užrašyti f(x1,x2,...,xn) = c0  c1 & x1  c2 & x2  …  cn & xn tai kintamasis, kurio atitinkamas koeficientas cj,yra lygus nuliui, bus fiktyvus. Fiktyvius kintamuosius galima rasti naudojant Karno kortas ir t.t.

  10. Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Tikriname, ar x yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(0,0,1)=1, o f(1,0,1)=0. Tai reiškia, kad x nėra fiktyvus. 2. Tikriname, ar y yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(1,0,0)=0, o f(1,1,0)=1. Tai reiškia, kad y nėra fiktyvus. 3. Tikriname, ar z yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(0,0,0)=0, o f(0,0,1)=1. Tai reiškia, kad z nėra fiktyvus. Funkcija neturi fiktyvių kintamųjų

  11. Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Tikriname, ar funkcija yra tiesinė c0= 0, c1= 0, c2= 1, c3= 1 ir tada f(x,y,z) = 0  0&x  1&y  1&z = = 0  0  y  z = y  z 2. Tikriname, ar tai tiesa (įstatome y ir z reikšmes ir sulyginame su lentele) f(0,1,1) = 1  1 = 0; f(1,0,1) = 0  1 = 1; f(1,1,0) = 1  0= 1; f(1,1,1) = 1  1 = 0. 3. Matome, kad visos reikšmės sutapo, t.y. funkcija yra tiesinė. Koeficientas prie x lygus 0, t.y. x – fiktyvus kintamasis

  12. Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Sudarome disjunkcinę formą: f(x,y,z) = (¬x&¬y&z) v (¬x&y&¬z) v (¬x&y&z) v (x&y&z). 2. Užpildome Karno kortą: Supaprastiname reiškinį: ( y & ¬ z) v ( ¬x & z ). Matome, kad visi kintamieji liko. T.y. fiktyvių kintamųjų nėra.

  13. Funkcijų klasės. Pilnosios funkcijų sistemos

  14. (T0) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia nulio, jei f(0, 0, ... , 0)=0. (T1) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia vieneto, jei f(1, 1, ... , 1)=1. (T*) Savidualiosios funkcijos (T≤) Monotoninės funkcijos (TL) Tiesinės funkcijos

  15. Apibrėžimas. Funkcijų sistema F={f1, f2, … , fm} yra vadinama pilnąja, jei bet kurią bulinę funkciją galima išreikšti šios sistemos funkcijomis. Pavyzdys. Bet kuri bulinė funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Sistema {¬, &, V}yra pilnoji. Taikydami de Morgano dėsnius, galime disjunkciją pakeisti konjunkcija ir atvirkščiai. Todėl sistemos {¬, V} ir {¬, &}– irgi pilnosios. Posto teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T0, T1, T*, T≤, TL; t.y. galima nurodyti bent vieną funkciją, kuri nėra nekeičianti nulio, nekeičianti vieneto, savidualioji, monotoninė ir tiesinė. Funkcijų sistemos {¬, }, {|}, {} – irgi pilnosios.

More Related