Numerieke modellen voor water kwaliteit model

1. Numerieke modellen voor water kwaliteit model Presentatie literatuurstudie als onderdeel van afstudeerwerk bij Deltares Adilson Morais

2. Water kwaliteit in de praktijk

3. Inhoud • Waterkwaliteit model • Probleembeschrijvingen • Eindige Volume Methode • Huidige oplosmethoden • Nieuwe methoden • Conclusie • Vervolg

4. Waterkwaliteit model • Waterkwaliteit bepaald door concentratie van stoffen • In water vinden allerlei processen tussen stoffen plaats • Voorbeelden van stoffen in water • Algen • Bacteriën • Nutriënten (voedingsstoffen) • Zoutgehalte • Voorbeelden van waterkwaliteitsprocessen • Sedimentatie • Absorptie • Groei en verval

5. Waterkwaliteit model • Waterkwaliteit modelleren door verandering in concentratie door • Transport van stoffen • Waterkwaliteit processen (fysisch, chemisch, biologisch) op stoffen • Bronnen/Lozingen • Advectie-diffusie-reactie vergelijking

6. Probleembeschrijvingen • 1. Tijdsafhankelijke situatie • Probleem • Numerieke modellen kosten veel rekentijd om tot nauwkeurig oplossing • te komen • Plaatsdiscretisatie • Lage orde schema: kost weinig rekentijd maar onnauwkeurig • Hoge orde schema: nauwkeurig maar kost meer rekentijd • Tijdsdiscretisatie • Expliciete schema: oplossen van lineair stelsel maar gebruik van • kleine tijdstappen. Gevolg van stabiliteitseis

7. Tijdsafhankelijke situatie • - Tijdsdiscretisatie (vervolg) • CFL conditie: • Impliciete schema: gebruik van grote tijdstappen maar oplossen van • niet-lineair stelsel • Afweging maken • Doel • Het efficiënt+nauwkeurig oplossen van water kwaliteit model

8. Probleembeschrijvingen • 2. Stationaire situatie • Probleem • Lineaire en onafhankelijke Waterkwaliteitsprocessen (WKP) vormen geen probleem • WKP zijn echter niet-lineair en afhankelijk van meerdere stoffen • Oplossen van stationaire oplossing in laatste geval tijdrovend • Doel • Waterkwaliteitsprocessen impliciet benaderen om tot een efficiëntere oplosmethode te komen

9. Eindige Volume Methode • Continu model  discreet model • Discretiseren van WQM m.b.v. FVM • Domein onderverdelen in disjuncte volume cellen V • Integratie toepassen per volume cel, waarbij toestandsvariabele en coëfficiënten uitgedrukt in gemiddeldes

10. Eindige Volume Methode • Afwijkingen voor concentratie en snelheid • Dit resulteert in

11. Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk • Tijdens oplosprocedure levert advectie term problemen op i.v.m. steile • gradiënten • Bestuderen van 1D homogene advectie vergelijking met • homogene randvoorwaarden • Discretisatie van advectie vergelijking in tijd en ruimte gepresenteerd • in conservatieve vorm • Met fluxapproximatie langs celrand

12. Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk • Eenvoudige flux-approximaties • Upwind voor u > 0 • waarbij j = i+1 • Lax-Wendroff voor u ≠ 0 • waarbij j = i+1

13. Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk • Resultaten voor 1D voorbeeld • Upwind Lax-Wendroff • Voordelen: monotoon, positief Voordeel: geen diffusie • Nadeel: diffusie Nadelen: oscillaties, negatieve waarden

14. Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk • Betere approximatie voor de flux door combinatie van pluspunten • Pluspunten combineren d.m.v. flux-limiter • Flux-limiter methode gedefinieerd als • Zoveel mogelijk hoge orde, waar nodig lage orde • Hoe limiter te bepalen?

15. Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk • Limiter bepalen d.m.v. Flux Corrected Transport (FCT) methode • van Boris & Book. • FCT algoritme geherformuleerd door Zalesak: • Eerste orde benadering bepalen voor • Fluxcorrectie(anti-diffusie) bepalen • Bepalen van limiter met • Updaten van de oplossing • Gewenste resultaat  monotone + minder diffusieve oplossing

16. Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk • Locale theta methode • Tijdsdiscretisatie d.m.v. theta methode waarbij θ lokaal per flux • Methode voor 1D homogene advectie vergelijking luidt • θ zo klein mogelijk nemen om numerieke diffusie te verminderen • maar groot genoeg om stabiel, positief en niet-oscillatief te zijn • Combinatie met FCT methode  locale theta FCT methode • Gevolg: grotere reductie van numerieke diffusie

17. Huidige oplosmethoden: stationair • Stationaire oplossing bepaald door tijdsafhankelijk probleem op te • lossen met t → ∞ • Niet-lineaire WKP expliciet benaderd • Per tijdstap N x M iteraties: • Oplossen van LHS kost N iteraties • Betrekken van WQP kost M iteraties • => Inefficiëntvoor grote waarden N en M

18. Nieuwe methoden • 1. Tijdsafhankelijke situatie • Iteratieve FCT flux-limiter van Kuzmin toepassen • 2. Stationaire situatie • Inexacte Newton methoden toepassen

19. Nieuwe methoden • Tijdsafhankelijke situatie • Fluxlimiter van Boris & Book is expliciet • Fluxlimiter van Kuzmin is impliciet • Voordeel • Mogelijk winst te behalen in nauwkeurigheid door • fluxlimiter impliciet te nemen • Nadeel • Extra rekentijd i.v.m. oplossen van extra niet-lineair stelsel

20. Nieuwe methoden • 2. Stationaire situatie • Oplossen van niet-lineair tijdsonafhankelijk probleem •  • m.b.v. Inexacte Newton Methoden • Newton’s methode • Inexacte Newton methode • Globalized Inexact Newton • Globalized Projected Newton methode

21. Nieuwe methoden • 2. Stationaire situatie • Kenmerken Newton’s methode • Nulpunt bepaald d.m.v. lineairisatie • Bij goede startwaarde kwadratische convergentie • Kenmerken Inexact Newton methode: • Gelineairiseerde vergelijking niet exact opgelost • Convergentie afhankelijk van forcing term

22. Nieuwe methoden • 2. Stationaire situatie • Kenmerken Globalized Inexact Newton methode • Voldoende afnemende conditie voor niet-lineaire functie • ter voorkoming van divergentie • Kenmerken Globalized Projected Newton methode • Oplossing geprojecteerd naar positieve kwadrant

23. Conclusie • Tijdsafhankelijke situatie • FCT methode handig voor verminderen numerieke diffusie • Lokale theta methode verhoogt nauwkeurigheid+efficiëntie • Stationaire situatie • Expliciete benadering van complexe WQP simpel • maar tijdrovend

24. Vervolg • Voor tijdsafhankelijke situatie • Implementeren van FCT methode van Kuzmin voor testproblemen • FCT methode Kuzmin combineren met local-theta methode • Voor stationaire situatie • Niet-lineaire WKP betrekken in INM • WKP afhankelijk van meerdere stoffen betrekken in INM • Nieuwe methoden toepassen voor Eems Dollard gebied

25. Eems Dollard gebied