FILTRAGE

1. FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs » , Ed. Radio J. Auvray : « Electronique des signaux analogiques » , Dunod W.M. Siebert : « Circuits, signals and systems » , Mc Graw Hill J.F. Gazin : « Filtres actifs » , Manuel d’applications CIL P. Bildstein : « Filtres à capacités commutées » , Techniques de l’ingénieur Martin Hasler & Jacques Neirynck : IV - Réseaux de Kirchoff VIII - Electronique : circuits XIX - Filtres électriques EPFL Traité d’électricité éditions (aussi Dunod)

2. FILTRAGE I - Définition d’un filtre Les filtres sont destinés à sélectionner certaines bandes de fréquence d’un signal. Ils modifient l’amplitude et/ou la phase des composantes spectrales du signal. Ce sont généralement des circuits linéaires, dans la mesure où ils n’introduisent aucune nouvelle fréquence. • Les filtres sont très utilisés dans de nombreux domaines des techniques • électroniques. Citons par exemple : • Radiocommunications ou télécommunications : pour délimiter le plus • parfaitement possible certaines bandes de fréquences et rejeter certaines • autres. Ils servent également en détection • Traitement du signal : utilisation en analyse du signal (en particulier • pour extraire du bruit) • Electronique analogique : circuits oscillants stables et très sélectifs • Asservissement électronique : systèmes bouclés à bande étroite

3. FILTRAGE Les filtres électroniques sont des circuits qui peuvent atteindre une grande complexité. Réalisés en technologie analogique, ils nécessitent, en général, l’emploi de composants de valeur très précise et très stable en fonction de la température et du temps. Une précision meilleure que 1% et une stabilité meilleure que 50.10-6/K sont souvent requises. Même avec de telles performances, un réglage final est souvent nécessaire pour satisfaire les exigences du gabarit (cahier des charges - spécifications). De telles contraintes apparaissent a priori incompatibles avec une réalisation en circuits intégrés, privant ce type de circuits des abaissements de coût dans les réalisations de très grandes séries. Fin des années 70, la numérisation des réseaux téléphoniques rendit urgente cette intégration sous peine de rendre prohibitif le coût d’un poste téléphonique numérique d’abonné. Une intense compétition s’engagea dès lors pour parvenir à résoudre ce problème.

4. FILTRAGE Trois solutions furent explorés : • les filtres numériques • les filtres intégrés à transfert de charge • les filtres à capacités commutées Filtres numériques : très performants, nécessitent des circuits complexes, donc «relativement» chers. Filtres à transfert de charges : très prometteurs à l’origine, se sont montrés en définitive peu aptes à fournir des filtres très sélectifs. Filtres à capacités commutés : a priori les moins bien placés tant les difficultés pratiques à résoudre semblaient au premier abord nombreuses et insurmontables. Mais … cette fameuse loi de Moore!

5. FILTRAGE II - Généralités Relation de Bayard-Bode Une fonction réelle causale est entièrement déterminée par sa partie paire (ou impaire) : Si f est causale alors f(x)=0 pour x<0 pour x>O et f(x)=2fP(x)=2fI(x) F est donc déterminée par Re[F(jw)] ou Im[F(jw)]

6. f(x) F (jw) = R(w) + jI(w) FILTRAGE Avec et En inverse, on obtient : On montre que : Relation de Bayard-Bode (R et I sont les transformées de Hilbert) Même type de relation entre le module et la phase pour un système à phase minimale.

7. FILTRAGE Un filtre est donc totalement caractérisé par son gabarit (module)! Problème : Synthèse d’un filtre En fonction d’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit), comment construire le circuit électronique qui réalise cette fonction? 1- Circuits LC passifs Encombrants et coûteux, mais peu sensibles aux variations des valeurs des composants 2- Utilisation d’éléments actifs Permet d’éliminer les selfs, mais très sensibles aux variations des valeurs des composants - Simulation de L : INIC, gyrateurs, ... 3- Autres : Filtres céramiques, SAW, Filtres à capacités commutées, filtres numériques, ...

8. FILTRAGE Définition générale : Filtre est défini par sa fonction de transfert En terme de tension entrée-sortie, on parle de gain (G=Vs/Ve) ou d’affaiblissement (ou d’atténuation) (A=Ve/Vs) En dB : A(w) = - G(w) = -20log|H(jw)| • En général : H(jw) est une fraction rationnelle = rapport de deux polynômes • à coefficients réels : • pôles et zéros de H(jw) sont réels ou par paires conjuguées • pôles à gauche de l’axe imaginaire (axe jw exclu) pour stabilité • degré du numérateur ≤ degré du dénominateur (filtres physiques) • relation de Bayard-Bode valable (causal et réel) En raison de ces propriétés, il n’est pas possible de passer d’une façon discontinue de la bande passante à la bande coupée. Il y a aura une transition

9. FILTRAGE III - Filtre idéal La réalisation d’un filtre nécessite la connaissance du spectre de fréquences constituant le signal utile. Le filtre idéal serait alors celui qui transmettrait toutes ces composantes sans atténuation ni déphasage, tout en éliminant les autres. Un tel filtre transmettrait le signal utile sans déformation ni retard, tout en éliminant complètement les signaux indésirables. Pour chaque filtre à réaliser, il convient de définir certains domaines de fréquences transmises sans atténuation appelées « bandes passantes » et d’autres pour lesquelles l’atténuation serait infinie (ou tout au moins très élevée), appelées « bandes coupées ». On distingue ainsi 4 types de filtre de base : - Passe bas - Passe haut - Passe bande - Coupe bande

10. A(dB) A(dB) 0 dB 0 dB f f fC fC A(dB) A(dB) 0 dB 0 dB f f + + - - fC fC fC fC FILTRAGE Filtre Passe bas Filtre Passe haut Filtre Passe bande Filtre Coupe bande

11. H(jw) 1 w wC -wC Rappel : Phase minimale = phase nulle x(t-t0) X(jw)e-jw t0=| X(jw) |e j(F(w)-w t0) FILTRAGE Attention : Forme plus générale = modifier le contenu fréquentiel d’un signal, pas uniquement en terme de suppression-conservation! Remarque sur le passe bas idéal : A(dB) 0 dB f fC Phase : F(w)-w t0 Variation linéaire de phase Remarque : retard de groupe :

12. H(jw) 1 w wC -wC i(t) 1,09 1 t 1/2 t FILTRAGE Retard physique  variation linéaire de phase : Arg[H(jw)] w Réponse impulsionnelle du filtre passe bas idéal : h(t)

13. FILTRAGE Problème : Réponse impulsionnelle, h(t), non causale, durée infinie Transition brusque bande coupée - bande passante  Irréalisable analogiquement! • Un des buts du filtrage est d’approximer au mieux le filtre idéal • Les oscillations parasites peuvent être gênantes • Les besoins réels ne sont pas toujours aussi draconiens

14. FILTRAGE IV - Filtre réel • En pratique, il est donc seulement possible d’approcher plus ou moins bien • le filtre idéal. • Les circuits réalisables présentent les imperfections suivantes : • L’atténuation en bande passante n’est pas nulle, elle sera seulement inférieure à une valeur limite notée AMax • L’atténuation en bande coupée présente une valeur finie, elle sera supérieure à une valeur limite notée AMin • La transition entre la bande passante et la bande coupée ne se fait pas de façon discontinue mais de manière progressive dans une bande de transition dont les fréquences frontières seront, pour un filtre passe bas : - fa « première » fréquence coupée (atténuée) - fp « dernière » fréquence passante

15. FILTRAGE Gabarit d’un filtre Plus un filtre réel se rapproche d’un filtre idéal, plus les bandes de transitions sont étroites, AMax est faible et AMin est élevée. Mais plus il devient complexe et donc coûteux! La recherche d’un compromis entre des performances satisfaisantes et un coût acceptable conduit à définir un gabarit à l’intérieur duquel la courbe d’affaiblissement (atténuation) doit se situer pour résoudre le problème donné. Par exemple, un gabarit de filtre passe bas ou passe haut, sera entièrement défini à partir des 4 grandeurs : AMin, AMax, fa et fp. On notera qu’il est intéressant d’introduire une autre grandeur, appelée sélectivité et notée K, qui se déduit des grandeurs précédentes et qui exprime la raideur de la transition : Pour un filtre passe bas :

16. AMin AMin AMax AMax 0 dB 0 dB f f fa fp fp fa A(dB) AMin AMin AMax AMax 0 dB 0 dB f f - - - - + + + + fp fa fp fa f0 fp fa fa f0 fp FILTRAGE A(dB) A(dB) Filtre Passe bas Filtre Passe haut A(dB) Filtre Passe bande Filtre Coupe bande

17. FILTRAGE Sélectivité Pour un filtre passe bas : Plus le filtre réel se rapproche du filtre idéal, plus k est voisin de 1 Pour un filtre passe haut : Pour un filtre passe bande : Largeur de bande relative : B est faible (B < 0,1)  Filtre à bande étroite Pour un filtre coupe bande : B > 0,5  Filtre à large bande

18. FILTRAGE Remarque : dans le cas des filtres passe bande et coupe bande, on se restreint généralement à l’étude des filtres symétriques, c’est à dire qu’ils vérifient la relation suivante : Temps de propagation de groupe d’un filtre Filtre  Atténuation des différentes composantes spectrales du signal Mais également un déphasage à chacune de ces composantes Déphasage pouvant être variable en fonction de la fréquence Ce déphasage inégal qu’il fait subir aux différentes composantes spectrales comprises dans la bande passante peut entraîner une déformation gênante du signal utile.

19. FILTRAGE Pour qu’un réseau électrique transmette un signal sans déformation il suffit qu’il lui fasse subir un retard constant t0 Pour une composante de pulsation w de ce signal, ce retard se traduit par un déphasage : f=wt Condition suffisante pour un filtre passe bande : Phase linéaire : f=wt+K De manière générale, pour qu’un filtre transmette un signal sans déformation il suffit que dans toute la bande passante : : temps de propagation de groupe La régularité du temps de propagation de groupe dans la bande passante reflète l’aptitude d’un filtre à transmettre les signaux transitoires sans les déformer (filtres non dispersifs). Dans la pratique, on choisit la caractéristique (entre atténuation et temps de propagation) à respecter en fonction du problème posé!

20. FILTRAGE V - Filtre prototype La connaissance du problème à résoudre permet de définir la gabarit à l’intérieur duquel doit s’inscrire la courbe de réponse du filtre à construire. On doit maintenant introduire 2 importantes simplification qui permettent de ramener la réalisation de n’importe quel filtre à la réalisation : - d’un filtre passe bas - de fréquence de coupure unité appelé «filtre prototype»  filtre passe bas normalisé Ces simplifications sont : - Normalisation des fréquences et des impédances - Transposition en fréquence Réponse en fréquence : H(p) : 1er degré (réseaux du premier ordre) 2ème degré (fonction biquadratique) Composition de formes précédentes

21. Cela consiste à choisir une fréquence particulière : fu Pour les filtres passe bas et passe haut : fu = fp Pour les filtres passe bande et coupe bande : fu = f0 =  Fréquence normalisée :  Pulsation normalisée :  Variable de Laplace normalisée : Fonction de transfert biquadratique normalisée : FILTRAGE Normalisation en fréquence Définition : d=1/Q=2z Q : facteur de qualité z (ou ) : facteur d’amortissement

22. a b c Nature du filtre 0 0 1 Passe bas Passe haut 1 0 0 0 1 0 Passe bande Coupe bande (passe bas et passe haut) 1 0 1 Fonction de transfert biquadratique normalisée : FILTRAGE Différentes configurations possibles : Exemple : Passe bas 

23. |H|dB M HM 1 Log()  maximum HM pour  = M maximum existe si  M = 0  courbe plate : Réponse de Butterworth FILTRAGE Remarque si Q >> 1  M # 1  >> 1  Asymptote à -40 dB/dec

24. C 1 R 1 Ve Ve VS VS On choisira dans ce cas particulier : La fonction de transfert devient alors : On fixe alors une valeur R0 de R et on en déduit FILTRAGE Normalisation des unités d’impédance On prend comme unité d’impédance une valeur particulière de R0 ou de C0 compatible avec le mode de réalisation du filtre et avec des valeurs réalistes des composants compte tenu de la fréquence de normalisation. Par exemple, dans le cas d’un filtre passe haut du premier ordre :

25. FILTRAGE Transposition en fréquence • Le but de cette opération est de ramener l’étude de tous les types de filtre • à l ’étude d’un filtre passe bas normalisé. • Transformation de base : • Passe bas  Passe haut : • Passe bas  Passe bande : • Passe bas  Coupe bande : Ces transformations peuvent s’appliquer soit aux gabarits, soit aux fonctions de transfert, soit aux éléments du réseau du filtre. Les résistances et les coefficients d’amplification sont inchangés, une capacité se transformera en une inductance (ou inductance en série, ou parallèle avec une capacité!)  transformation du gabarit et de la fonction de transfert.

26. AMin AMin AMax AMax F F Fp=1 Fa =1/K K 1 FILTRAGE TranspositionPasse bas  Passe haut Le gabarit du filtre passe bas se transforme en un gabarit passe haut, mais les trois grandeurs caractéristiques sont inchangés : K, AMin et AMax.

27. FILTRAGE TranspositionPasse bas  Passe bande Comment une valeur  ’ de la pulsation du gabarit du filtre passe bande est obtenue à partir d’une valeur   de la pulsation du gabarit du filtre passe bas : •  =0   ’=1 racine positive! donc  ’=1 • La fréquence nulle du passe bas est la fréquence centrale du passe bande •  quelconque et  ’<1 •  quelconque et  ’>1

28. AMin AMin AMax F AMax 1 F 1 1/K + + + + Fp Fa 1/Fp 1/Fa FILTRAGE A chaque fréquence du filtre passe bas correspond deux fréquences du passe bande dont le produit vaut 1  géométriquement symétriques par rapport à la fréquence centrale normalisée du passe bande où f0=1. : Même sélectivité!

29. AMin AMin AMax AMax F + + F Fa f0 Fp 1 1/K FILTRAGE TranspositionPasse bas  Coupe bande Cette transformation est tout à fait analogue à la précédente.

30. FILTRAGE VI - Fonctions d’approximation Nous avons montré que la réalisation de tout filtre se ramène à un filtre passe bas normalisé. Le problème est donc de trouver, pour un gabarit donné, une fonction de transfert satisfaisante, c’est à dire de construire un réseau dont la courbe de réponse s’inscrit à l’intérieur du gabarit! On cherche une fonction mathématique, A() où  est la pulsation normalisée, exprimant l’affaiblissement du filtre à réaliser. A() est la fonction d’approximation. Cependant pour que la solution aboutisse à un réseau physiquement réalisable, A() doit satisfaire un certain nombre de contraintes. • Contraintes imposées par la structure du filtre La fonction de transfert d’un filtre s’exprime sous la forme : Stabilité du filtre  Les racines de E(p) sont dans D-

31. FILTRAGE Stabilité du filtre  Les racines de E(p) (pôles de H(p) sont à partie réelle négatives (dans D-) (Polynômes de HURWITZ) Filtre physique  degré de S(p)  degré de E(p) On peut montrer que : Dans ce produit, les termes impairs s’éliminent! On pose Ai=ai2 et Bi=bi2. En conclusion, [A()]2 est : • Fraction rationnelle • Fonction du carré de la fréquence • Degré 2n en  si H(j) est de degré n en j

32. Dans tous les cas, A()1  FILTRAGE • Contraintes imposées par le gabarit Pour que le graphe de la fonction A() s’inscrive à l’intérieur du gabarit passe bas, l’amplitude de A() doit répondre aux caractéristiques suivantes : • Pour les fréquences f<fp (F<1), A() doit être voisin de 1, atténuation faible en bande passante (proche de 0 dB) • Pour les fréquences f>fa (F>1/K), A() doit être très élevée, ce qui veut dire que l’atténuation doit être très importante en bande coupée • Pour des valeurs de f comprises entre fp et fa, A() doit augmenter rapidement depuis 1 jusqu’à une valeur élevée K(2) est la fonction caractéristique du filtre, elle varie autour de 0 en bande passante

33. FILTRAGE Propriétés des fonctions caractéristiques En bande passante, l’atténuation, exprimée en dB, doit être inférieure à Amax : En bande coupée, l’atténuation, exprimée en dB, doit être supérieure à Amin : En conclusion, la fonction caractéristique d’un filtre passe bas doit satisfaire les propriétés suivantes : • Fonction paire de la fréquence (c’est à dire fonction de 2) • Fraction rationnelle en 2(dont le dénominateur est un carré) • Avoir une faible valeur en bande passante < e2 • Avoir une valeur élevée en bande coupée > L2

34. Arg[H(jw)] |H(jw)| 1 w w wC wC FILTRAGE Approximation de Butterworth Les filtres de Butterworth ont la propriété d’avoir la courbe de réponse la plus plate possible à l’origine : n : ordre du filtre Pour un filtre passe bas idéal, on a les caractéristiques suivantes : L’atténuation est nulle (en dB) en bande passante, infinie en bande coupée, la phase est linéaire en bande passante, aléatoire en bande coupée.

35. FILTRAGE La fonction de transfert Hi(jW) est donc de la forme : Comment faire pour approcher au mieux cette fonction de transfert? On désire que la courbe de réponse réelle soit la plus plate possible au voisinage de W=0 et Fi(0)=1. On résoudra le problème d’approximation en choisissant les coefficients de G(W2) tels que : G(0)=1 et les n premières dérivées de G(W2) par rapport à W2 soient nulles. On a vu que :

36. FILTRAGE Choix possible : A0=B0=1 La dérivée de G(W2) par rapport à W2 : Choix possible : A1=B1=0 De même pour la dérivée seconde : On peut également choisir : A2=B2=0 On peut réitérer jusqu’à l’ordre n (n premières dérivées nulles ) : - Ai=Bi=0 i<n D’où : Tous les coefficients qui restent peuvent être choisis arbitrairement, le choix habituel est : - Ai=0 pour in - Bi=0 pour i>n

37. FILTRAGE Finalement : Le coefficient Bn est déterminé par la valeur de l’atténuation souhaitée à W=1(w=wc) : On en déduit : Finalement : Les polynômes de Butterworth permettent d’approximer un filtre passe bas idéal, si l’on admet un affaiblissement de 3dB à la fréquence de coupure, wc=wp=wu et Amax=3dB.

38. FILTRAGE Résumé : Butterworth Propriétés : - module=1 (0dB) pour W=0 - module=1/2 (-3dB) pour W=1 - monotone décroissante 20n dB/dec - plate au voisinage de W=0 - n  Passe Bas idéal (meilleure approximation)

39. X X X X X X X X X X X X n=3 n=1 n=2 FILTRAGE Butterworth : Réponse réelle  On pose j W=s : variable de Laplace réduite  Pôles :

40. X X X FILTRAGE Les pôles de H(s)H(-s) apparaissent en paire symétrique par rapport à l’axe vertical  répartir les pôles entre H(s) et H(-s) H(s) doit être stable (et causal)  les pôles de H(s) sont à gauche (D-)

41. X X X FILTRAGE Remarque : Les pôles sont réels négatifs ou en paires conjuguées et racines nième de l’unité.

42. 0 w 0,1 0,95 1 AMin=20dB w1 w2 3dB AMax=0,44dB F W1 W2 1 FILTRAGE Choix de l’ordre du filtre de Butterworth : On désire réaliser le filtre ayant le gabarit ci-contre : Avec w2=2 w1=2.104 rd/s

43. FILTRAGE

44. 1 1-e 0 1 FILTRAGE Approximation de Tchebychev Les filtres de Butterworth sont optimaux dans le sens où leur réponse est la plus plate possible à l’origine : Les filtres de Tchebychev sont optimisés de manière à ce que l’atténuation en bande passante oscille le plus grand nombre de fois possible entre 0 et AMax L’imperfection que constitue l’atténuation résiduelle en bande passante est ainsi répartie sur toute cette bande! Tn(W) : Polynôme de Tchebychev d’ordre n

45. FILTRAGE Polynômes de Tchebychev Soit h(x) l’écart en amplitude entre une fonction f(x) et une fonction fi(x)=1 Comment choisir f(x) pour que |h(x)|L pour -1 x 1 ? Prenons pour h(x) un polynôme de degré n, de sorte que pour -1  x 1, h(x) atteigne (n-1) fois la valeur extrémale ±L (h(x) atteint (n+1) fois la valeur extrémale ±L si on compte les extrémités de l’intervalle) L2-h2(x) aura des zéros pour tous les extremums à l’intérieur de l’intervalle (-1,1) et ces zéros seront doubles puisque la fonction et sa dérivée s’annulent De plus, les points x= ±1 sont également des zéros de L2-h2(x) :

46. h(x) L x -1 1 -L FILTRAGE Finalement on obtient : Si on désigne par n le nombre b, h(x) oscillera n fois entre les valeurs ±L pour -1  x 1 Soit : Cette fonction correspond à un polynôme car il est possible d’exprimer cosn sous la forme d’un polynôme en cos Les polynômes h(x) répondant à la question sont ainsi les polynômes de Tchebychev : Les polynômes de Tchebychev sont :

47. FILTRAGE Tn(x) vérifie la formule de récurrence : Soit :  Application aux filtres ER (Equal Ripple) : Ainsi l’atténuation variera entre 1 et 1+e2 lorsque 0   1 Lorsque 0   1  Tn() varie entre -1 et 1, donc Tn2() varie entre 0 et 1

48. FILTRAGE Soit AMax l’atténuation maximale en bande passante (exprimée en dB) 0   1  0  A() AMax avec AMax =10log(1+e2) Ainsi les fonctions d’approximation dépendent du paramètre e, elles sont tabulées pour différentes valeurs de e correspondant à des affaiblissements AMax de 0,1 ; 0,5 ; 1,0 ; … dB en bande passante : • AMax = 0,1 dB  e =0,15262 • AMax = 0,5 dB  e =0,34931 • AMax = 1,0 dB  e =0,50884 Courbes de Tchebychev en bande passante AMax=1dB

49. FILTRAGE Détermination des fonctions de transfert des filtres de Tchebychev Elles s’obtiennent comme précédemment en recherchant les racines de A(), c’est à dire les racines de l’expression 1+e2Tn2() : Si Pk (P=j ) sont les racines recherchées, on a : En posant

50. On en déduit : FILTRAGE Il convient d’en déduire l’expression des pôles : On peut alors montrer que k et wk vérifient : C’est l’équation d’une ellipse!