第 2 章 流体运动学和动力学基础

1. 第 2 章 流体运动学和动力学基础 • 2.1 描述流体运动的方法 • 2.2 流体微团运动的分析 • 2.3 理想流体运动微分方程组 • 2.3.1 连续方程 • 2.3.2 Euler运动微分方程组 • 2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 • 2.3.4 Bernoulli方程的应用 • § 2.4 流体运动积分方程组 • 2.4.1 Lagrange型积分方程 • 2.4.2 Reynolds输运方程 • 2.4.3 Euler型积分方程 • § 2.5 环量与涡

2. §2.1 描述流体运动的方法 §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。 1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法） 在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）

3. · · §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 用如下方程描述质点（a,b,c）所经历的轨迹： x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t) 其中，a,b,c 为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示; t表示时间。 a.b.c.t 称为拉格朗日变数。 a.b.c给定，表示指定质点的轨迹。 t 给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。 上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程，三式消去得轨迹 (警察抓小偷的方法)

4. §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 因为质点的坐标位置是时间t 的函数，对于给定的流体质点（a，b，c） ，速度表达式是： 流体质点的加速度为： 这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。

5. §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 流体质点的其它物理量也都是 a,b,c,t 的函数。例如流体质点（a,b,c）的温度可表为T(a,b,c,t) 2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法） 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。 在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：

6. §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 其中，x,y,z 为空间点的坐标。t 表示时间。 x.y.z.t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。 x.y.z给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。 t 给定， x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。 (守株待兔，看门房式的工作方法)

7. §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为欧拉法。 请注意，x,y,z,t 是四个独立变数。如果不另外赋以意义，则不能有 这类的表达式。 应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度 。

8. 一个速度场 §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场: 一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。

9. §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场，否则为非定常场，例如，定常速度场的表达为：

10. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下4图来定性描述引起各处速度变化的原因：第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示A点与B点因水位下降引起速度同时减小；第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。

11. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。 用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点。第一，A（x，y，z）点上 t瞬时的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原在 A 点的微团经Δt 后到了 B 点，若 B 点的速度与 A点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化 。

12. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 设在 t瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速度u，v，w。经Δt 时间后，该微团移到 令： 经Δt 之后，u 变成 u+Δu:

13. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，得 此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变化率，即当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度 。 注意上式并非全导数的表达（在《高数》中当复合函数只是一个自变量 t 的函数时才有全导数），因为在欧拉观点下 x、y、z 等与时间 t 无关，不能写出 dx/dt 的表达。

14. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 算子： 往往用 这样一个符号来表示。这个导数称为随流体运动的导数，或称随体导数、实质导数或物质导数。 从而上述加速度可以写成： 同理：

15. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独立变量（x,y,z,t）的函数： 将上三式分别乘 再相加可得加速度表达的向量式： 其中，哈密顿算子：

16. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 随体导数算子： 除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。 如对于压强p，有： 虽然，由于在欧拉观点下，x,y,z,t是四个独立变量，一般不能写出 dx/dt的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在物理上上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化率，只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化率称为随体导数。

17. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 欧拉法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度： 因此欧拉法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得到质点的加速度后，再转化为欧拉法的加速度表达。 例如在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体质点的加速度为：

18. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 由于拉格朗日法与欧拉法下的速度关系为： 代入即得欧拉法下的加速度表达 在不引起误会的条件下，也有将随体导数 表为 的。随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表示方法，后者采用质点运动学的表示方法。

19. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导数之乘积， 或称沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度，因此也将 称为对流导数。 譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际流动，u=u（y）。当地加速度和迁移加速度都是零。

20. § 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。

21. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微小的距离到达邻点，再按邻点在同一瞬间的速度指向再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的空间曲线称为流线，这样的线可以画无数条。 时间 t 固定

22. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 设流线上位移向量： 又设速度向量： 流线与速度方向相切即： 或流线上的切线切线方向数与速度方向数对应成比例，表为微分的关系则有 此式称为流线微分方程。

23. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质： （1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。 （2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。

24. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 （3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一时刻，一点处只能通过一条流线。 （4）在奇点和零速度点例外。

25. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 当给定速度场 u, v, w 时，迹线微分方程可写为： 还可以写为： 这与流线微分方程在形式上相同，但是二者有很大区别。在流线微分方程中t 是固定不变的参数，积分时 t 当常数看，而在迹线微分方程中 t是自变量，积分时t 为变量，仅在定常流情况下上述二微分方程的积分才相等，此时流线与迹线重合。

26. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 迹线：同一流体质点走过的轨迹 脉线（染色线）：对同一空间点连续染色后形成的染色线 流线：某瞬时由不同流体质点组成并与当地速度相切的一条空间曲线 时间线：对横向的连续空间点按等时间间隔进行染色形成的染色线 联合时间线－脉线：对横向的间隔空间点按等时间间隔进行染色形成的染色线 实验录像：迹线、脉线、时间线与流线的关系

27. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 例. 设有一个二维非定常流场其速度分布是 ： 求t=0时过（1，1）的流线和迹线。问定常时 结果如何？ 解： 1. 求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看） ： 积分得任一时刻 t 流线族为： t=0时刻流线族为： （这也是定常流流线族）

28. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 过（1，1）流线： 2. 求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）： 积分得迹线参数方程： 由初始条件定得c1=c2=1, 故所求的迹线参数方程为：

29. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 当流动为定常时 再求迹线。 由迹线方程： 积分得： 由初始条件定得 c1=c2=1,故所求为： 消去t得： 可见定常时迹线与流线重合。

30. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 与流线密切相关的，还有流管和流面这样两个概念。 流管是由一系列相邻的流线围成的。经过一条有流量穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线 ABCDA（非流线）的各条流线便围成一条流管。 图2-6 流管 （a）流线组成流管侧壁； （b）没有流量由流管侧壁流出 由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。

31. §2.1.3 流线、流管、流面与流量 流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面 。 流量是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上述流管中任意截面S的体积流量 、质量流量 和重量流量 可分别表为: 其中， 是速度向量， 是密度， 是微面积法线向量

32. § 2.2 流体微团运动的分析 • § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 • 在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为： • 质点（无体积大小的空间点）: 只有平移运动 （平动）； • 刚体（具有一定体积大小，但无变形）:除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；

33. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 在流体力学中，研究对象是流体质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。 变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括： （1）平动；（2）转动；（3）线变形运动；（4）角变形运动

34. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 平动 线变形运动 转动（角平分线转动） 角变形运动（角平分线不动）

35. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。根据台劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。

36. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 （1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度（u,v,w）。 （2）线变形速率 线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为： 由此得到 x 方向的线变形速率为：

37. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 同理，在y方向的线变形速率为： 平面微团的面积变化率为：

38. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 （3）角变形速率与旋转角速度 在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）： AC边的偏转角度为（顺时针为负）：

39. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 解出可得： 平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示： 设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为α，边线的纯角变形量为β，则由几何关系可得：

40. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 定义平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为： 上述定义实质是平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值，即角平分线的旋转角速度。 定义平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为： 上述定义实质是平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角速度。

41. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。 微团平动速度： 微团线变形速率：

42. § 2.2.1 流体微团的基本运动形式 微团角变形速率（剪切变形速率）： 流体微团旋转角速度：

43. § 2.2.2 流体微团速度分解定理 德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，考虑相距微量的任意两点 M0和 M1，在 速度为 ： 在 点处，速度为 ：

44. § 2.2.2 流体微团速度分解定理 将相邻点速度分量台劳展开： 右侧可按变形率及角速度的形式改写为：

45. § 2.2.2 流体微团速度分解定理 同理： 各式第一项和M0点速度相同是微团的整体移动速度。第二项是线变形率，第三、四项是角变形率；第五、六项是角速度。说明，微团运动包含移动，转动和变形 。

46. § 2.2.2 流体微团速度分解定理 ＝ ＋ ＋ ＋ 微团运动 平动 线变形（拉伸） 角变形 角速度（转动） 应该指出，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如： （1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。 （2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。 （3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无变形运动。

47. § 2.2.2 流体微团速度分解定理 还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。

48. § 2.2.3 散度及其意义 三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量 的散度，符号为 ，即 散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）。 为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是Δx, Δy, Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt时间后三个边长分别变为：

49. § 2.2.3 散度及其意义 则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为：

50. § 2.2.3 散度及其意义 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零： 如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。