CORSO DI PROGRAMMAZIONE II Lezione 19 Operazioni sugli alberi prof. E. Burattini a.a. 2009-2010

1. CORSO DI PROGRAMMAZIONE II Lezione 19 Operazioni sugli alberi prof. E. Burattini a.a. 2009-2010

2. CANCELLAZIONE DI UN NODO DI UN ALBERO La cancellazione di un nodo di un albero presuppone che una volta avvenuta venga mantenuta l’integrità dell’albero e che nel caso si tratti di un BST si salvaguardata anche la relazione tra i vari nodi.

3. Cancellazione in un albero non ordinato Nel caso degli alberi non ordinati è necessario preoccuparsi solo di mantenere l’integrità dell’albero non essendoci relazioni d’ordine tra i vari nodi. E’ pertanto sufficiente scorrere l’albero per trovare il nodo da cancellare, conoscendo ad esempio la chiave. Se viene trovato, è sufficiente ricercare una foglia dell’albero, non importa quale, sostituire la chiave della foglia a quella da cancellare e quindi eliminare la foglia. Nel lucido seguente è mostrato un esempio.

4. Nel caso dell’albero di figura si vuole canecllare il nodo con chiave 30. Poichè la chiave esiste è allora sufficiente cercare una foglia, ad esempio quella con chiave 28, sostituire questa chiave a quella da cancellare e eliminare la foglia. 10 10 3 3 28 30 44 44 35 35 50 50 3 28 3 8 8 35 35 38 38

5. Cancellazione in un albero ordinato BST • Nel caso degli alberi ordinati è necessario preoccuparsi non solo di mantenere l’integrità dell’albero ma anche la relazione d’ordine esistente tra i vari nodi. • Vanno distinti tra casi: • Il nodo da cancellare è una foglia • Il nodo da cancellare ha un solo figlio • Il nodo da cancellare ha sia un sotto albero destro che un sotto albero sinistro.

6. Nella figura seguente si mostrano i primi due casi che sono di semplice soluzione. Infatti se il nodo è una foglia è sufficiente eliminarla ponendo a NULL il puntatore del parent (padre) che la riguardava. Si vedano gli esempi (a) e (b). Nel caso in cui il nodo da cancellare ha un solo sottoalbero, è allora sufficiente legare la radice del sotto albero a cui punta il nodo da cancellare, con il parent che punta al nodo. In questa maniera, ovviamente si preserva l’ordine. Si vedano gli esempi (c) e (d).

7. Old New Parent Old New Parent Parent Old Old ELIMINAZIONE DI UN NODO SU UN BST (b) (a) (c) (d)

8. Nel caso in cui il nodo da cancellare abbia sia il sotto albero di sinistra che quello di destra allora si procede come segue: si sostituisce alla chiave del nodo da cancellare o la chiave del nodo di valore maggiore del suo sottoalbero di sinistra o quelladivalore minoredel suo sotto albero di destra. Se questo nodo ha a sua volta un sottoalbero di destra o uno di sinistra ci si comporta nei suoi confronti come se fosse un nodo da cancellare e quindi si esegue la stessa procedura sopra descritta.

9. Nodo da cancellare 35 30 40 5 40 5 8 3 80 35 3 8 80 35 38 38 Nell’esempio di figura si sostituisce alla chiave 30 del nodo individuato, la chiave del nodo 35 che è la più piccola del suo sottoalbero destro.

10. Parent Candidate QQQ RRR left right Analizziamo il problema della riorganizzazione dell’albero una volta eliminato un nodo. Caso a- il nodo (QQQ) da eliminare ha il sotto albero sinistro vuoto. Nell’esempio si usa la stessa nomenclatura che verrà utilizzata in seguito nel codice. Il puntatore che da Parent prima puntava a Candidate ora acquista il valore del puntatore a RRR ottenuto in questo caso da Candidate->right

11. Toni Sergio Toni Sergio Maria Parent Giulio Riccardo Dora Guido Candidate Anna Roberto Maria Giulio QQQ RRR Dora Guido Riccardo left right Anna Roberto Analizziamo il problema della riorganizzazione dell’albero una volta eliminato un nodo. Caso a- il nodo (QQQ) da eliminare ha il sotto albero sinistro vuoto. Eliminare Riccardo Caso b- il nodo da eliminare ha il sotto albero destro vuoto. La procedura è analoga alla precedente.

12. Pseudo Codice if (Candidate->left==NULL) LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, Padre, Tree) else if (Candidate->right==NULL)) LegaPadre(Candidate, Candidate ->left, Padre, Tree) else continua a riorganizzare l’albero Parent Candidate QQQ RRR left right void LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) {riorganizza l’albero BST dopo l’eliminazione di un nodo}

13. void LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) //collega il nodo genitore con il sottoalbero connesso al nodo da cancellare { if (Padre==NULL) // {sostituiamo la root} Tree= NewChild; else if (OldChild ==Padre->left) Padre->left=NewChild; // {sostituiamo al genitore il figlio sinistro} else Padre->right=NewChild; // {sostituiamo al genitore il figlio destro} } Old Parent New Old New

14. Old Parent New Old New 35 30 40 5 40 5 8 3 80 3 8 35 80 35 38 38 Riassunto dei tipi di cancellazione void DelTNode(int KeyValue, Tnodo &Tree, bool &Done) {elimina il nodo con chiave KeyValue ricostruendo la struttura BST. Se il Nodo non esiste Done risulta False}

15. Fornisce il puntatore della Key da eliminare e quello del suo genitore. Se Candidato=NULL significa che la Key non c’è. Cerca(Tree, Key, Candidato, Parent) DammiChiave(Candidato, CandsKey) Fornisce la chiave CandsKey di Candidato Se la chiave trovata e quella di partenza non corrispondono CandsKey=NULL allora esci if CandsKey<> Key Pesudo codice di DelTNode(Key, Tree, Done) else Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero destro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato

16. void DelTNode(int KeyValue, Tnodo &Tree, bool &Done) { Tnodo Candidato; // puntatore al nodo candidato per la cancellatura Tnodo Padre; // puntatore al genitore del nodo candidato} int CandsKey; Done=true; Cerca( Tree, KeyValue, Candidato, Padre); DammiChiave(Candidato, CandsKey); if (CandsKey!=KeyValue) Done=false; else if (Candidato->left==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); else if (Candidato->right==NULL) { LegaPadre(Candidato, Candidato->left, Padre, Tree); } else NuovoCandidato(KeyValue, Candidato, Tree); KillTNode(Candidato); } Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di candidato con la radice del sotto albero destro. Se Padre =NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Non c’è niente da cancellare Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Padre=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato

17. Sostituisci il nodo da cancellare con Candidate Riprendi la chiave del nodo spostato Cerca il più piccolo nodo del sottoalbero destro del nodo spostato a partire dalla sua primitiva posizione Collega il sottoalbero destro con il padre del nodo spostato Se il nodo da cancellare è la root allora collega il sottoalbero destro con la root void NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) { Tnodo Dummy; //variabile ausiliare per la chiamata a Cerca Tnodo Padre; Tnodo OldCandidato; int CandsKey; OldCandidato= Candidato; Cerca(OldCandidate->right, KeyValue, Dummy, Candidato) OldCandidato->key= Candidato->key; DammiChiave(Candidato, CandsKey); Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Padre) if (Padre==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, OldCandidato, Tree); else LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); } Ricerca OldCandidate a partire dal suo nodo destro con la conseguenza che trova il più piccolo di questo sottoalbero (Candidato) (Dummy vale NULL)

18. Tnode==NULL NodesKey <> KeyValue if (NodesKey > KeyValue) TNode  radice del sottoalbero sinistro else TNode  radice del sottoalbero destro Cerca Cerca(Tree, KeyValue, TNode, Padre) Obiettivo: cercare un cammino verso un determinato nodo dell’albero. Se il nodo non esiste ritorna NULL. Se esiste ritorna il puntatore al nodo individuato e quello di suo padre. Il padre dell’ultimo nodo esaminato durante la ricerca di KeyValue Pseudo Codice Padre  NULL {la root non ha genitori} TNode  Tree {la radice è il primo nodo esaminato} DammiChiave(TNode, NodesKey) {estrai la chiave del nodo in esame} while ci sono altri nodi da esaminare AND non si è ancora trovato il nodo { Padre  TNode Tnode  il sottoalbero legato al KeyValue DammiChiave(TNode, NodesKey) {estrai la chiave del nodo in esame}

19. void Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) { int NodesKey; Padre=NULL; Node=Tree; DammiChiave(Node, NodesKey) ; while ((Node!=NULL) && (NodesKey!=KeyValue)) { Padre=Node; if (NodesKey>KeyValue) Node=Node->left; else Node=Node->right; DammiChiave(Node, NodesKey); } }; Ricordarsi che DammiChiave nel caso trovi NULL ritorna una chiave nulla. void DammiChiave(Tnodo TNode, int &TheKey) { //ritorna il key field del nodo puntato da Tnode, se Tnode è // NULL allora ritorna il valore di -100 if (TNode != NULL ) TheKey= TNode ->key; else TheKey= -100; }

20. NuovoCandidato (K,N,T) Cerco il più piccolo a destra. Parto a destra di K cerco K e così ottengo il più piccolo, U Cerca (N->right, K, D, U) DammiChiave (Uk,U) A partire dal sotto albero destro di N, cerco Uk per avere suo padre P Cerca (N->right, Uk, D, P) P=NULL PNULL LegaPadre (U,U->right,N,T) LegaPadre (U,U->left,N,T) RICAPITOLANDO Cancella il nodo K dell’albero T DelTNode (K,T,d) Cerca in T il nodo K. Il suo puntatore è N e P è suo padre Cerca (T,K,N,P) Verifica che a N corrisponde la chiave K DammiChiave (K,N) La chiave non cè: ESCI N->left=NULL N->right=NULL LegaPadre (N,N->right,P,T) LegaPadre (N,N->left,P,T) Collega il padre P con N->right e cancella N Collega il padre P con N->left e cancella N NuovoCandidato (K,N,T)

21. Fornisce il puntatore della Key da eliminare e quello del suo genitore. Se Candidato=NULL significa che la Key non c’è. Cerca(Tree, Key, Candidato, Parent) DammiChiave(Candidato, CandsKey) Fornisce la chiave CandsKey di Candidato Se la chiave trovata e quella di partenza non corrispondono CandsKey=NULL allora esci if CandsKey<> Key RICAPITOLANDO Pesudo codice di DeleteTNode(Key, Tree, Done) else Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero destro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato

22. a KeyValue=b Node=P(b) Padre =P(a) b OldChild NewChild Padre OldChild NewChild RICAPITOLANDO Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) fornisce il puntatore Candidato del node che ha chiave Key e il puntatore Padre come padre LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) collega NewChild con Parent eliminando OldChild, se Padre =NULL, cioè Old=Tree è la radice allora mette NewChildal posto di OldChilde quindi di Tree

23. RICAPITOLANDO NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) Cerca nel sottoalbero destro di OldCandidato il nodo con chiave minima. Questa chiave va a sostituire quella del nodo OldCandidato. Inoltre se il nodo con chiave minima ha sotto alberi allora opera come precedentemente visto. OldCandidato 35 40 5 8 3 80 35 Candidato 38 void NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) { Tnodo Dummy; //variabile ausiliare per la chiamata a Cerca Tnodo Padre; Tnodo OldCandidato; int CandsKey; OldCandidato= Candidato; Cerca(OldCandidate->right, KeyValue, Dummy, Candidato) OldCandidato->key= Candidato->key; DammiChiave(Candidato, CandsKey); Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Padre) if (Padre==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, OldCandidato, Tree); else LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); }

24. 90 50 95 93 98 30 34 17 40 100 P30 13 NULL P34 15 36 47 34 34 P34 P36 35 P35 Cancellare il nodo 30 DelTNode(KeyValue, Tree, Done) Cerca(Tree, KeyValue, Candidate, Parent) DammiChiave(Candidate, CandsKey); if CandsKey<> KeyValue Done=FALSE else if (Candidate->left==NULL) LegaPadre(Candidate, Candidate-> Right, Parent, Tree) else if (Candidate->right==NULL)) LegaPadre(Candidate, Candidate-> Left, Parent, Tree) else NuovoCandidato(KeyValue, Candidate, Tree); KillTNode(Candidate); NuovoCandidato(KeyValue, Candidate, Tree) 30 OldCandidate = Candidate Cerca( OldCandidate->right), KeyValue, Dummy, Candidate) OldCandidate->Key = Candidate^.Key; CandsKey = Candidate->Key; Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Parent); if Parent = NULL THEN LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, OldCandidate, Tree) else LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, Parent, Tree); P40 34 34 P40 38 P36 P34

25. 500 600 400 700 450 800 420 460 900 410 430 480 470 455 475 454 456 Cancella un nodo 500 600 400 700 440 800 420 460 900 410 430 450 480 470 455 475 454 456

26. Cancella la root 500 550 400 600 400 600 550 564 564 553 566 553 566 558 558 556 559 556 559 555 557 555 557

27. A B C D E F G H ESERCIZIO Sia assegnato un albero binario, scrivere un algoritmo tale che sposti ogni figlio sinistro nel corrispondente figlio destro e viceversa. A C B F E D H G

28. void ScambiaNodi(Tnodo Tree) {Tnodo Temp; if (Tree != NULL) { ScambiaNodi(Tree->left); ScambiaNodi(Tree->right); Temp=Tree->left; Tree->left= Tree->right; Tree->right=Temp; }; }; post-order albvari

29. A A->right A->left A-> left -> right A-> left ->left /* Sviluppare una funzione che, assegnato un albero binario T, conti quanti nodi sinistri, hanno come unico figlio un nodo foglia. */ int contafigli(Tnodo A) { if (A==NULL) return 0; else { if ( ( (A->left!=NULL)&& (A->left->left==NULL)&& (A->left->right==NULL)&& (A->right==NULL) ) ) { cout<<" "<<A->key<<" ha come unico figlio un nodo foglia "<<endl; return contafigli(A->left)+contafigli(A->right)+1; } else return contafigli(A->left)+contafigli(A->right); } } Albvari

30. /* A1L08 Data una lista di interi eliminare un nodo ogni K incontrati. Nel caso il numero totale dei nodi non sia multiplo di K aggiungere quanti nodi servono per soddisfare questa condizione attribuendo ad essi una chiave di valore uguale a K. */ void provaA3L(Pnodo &TL, Pnodo L, int cont,int k, Pnodo prec) { Pnodo Temp; if ((L==NULL)&&((cont-1)%k==0)) // se L non è finita e cont è mod k return; else { if (L!=NULL) { if (cont%k!=0) { provaA3L(TL, L->next, cont+1, k, L);} else { prec->next=L->next; cout<<"cancello "<<L->info<<endl; delete L; provaA3L(TL, prec->next, 1, k, prec); } } else { creaNodo(k,Temp); prec->next=Temp; provaA3L(TL, Temp->next, cont+1, k, Temp); }} }