La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier

1. Vamos a obtener una base ortogonal en el espacio vectorial de Hilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) a partir de las siguientes funciones: donde el índice l toma valores enteros y k debe ser determinado para que se cumpla la ortogonalidad de las funciones: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier

7. Para que se cumplan las anteriores relaciones de ortogonalidad: la condición que debe verificarse es:

8. Luego la siguiente familia de funciones constituye una base ortogonal: y las respectivas normas son:

11. Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b) se puede descomponer en esta base ortogonal. A ese desarrollo se le da el nombre de “serie de Fourier” de la función f(x): Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) es idéntica a su desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo en serie cumple una propiedad de periodicidad (que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b)), porque las funciones de la base ortogonal son periódicas.

13. Tenemos que calcular los al y los bl de la siguiente serie: Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-1,1) de la siguiente función (función de Heaviside): como el intervalo es el (-1,1):

18. La base {exp(iklx)}: Teniendo en cuenta la fórmula de Euler: se ve que los elementos de la base ortogonal de senos y cosenos se pueden escribir en función de exponenciales complejas:

19. Además puede comprobarse que estas exponenciales complejas cumplen la condición de ortogonalidad: Luego, efectivamente:

20. Además el producto de una exponencial compleja por sí misma; es decir, la norma al cuadrado de una exponencial compleja es: Luego el conjunto de las exponenciales complejas {exp(iknx)} con k=2p/(b-a) y n un número entero es una base ortogonal del espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) :

21. Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b) se puede descomponer en esta base ortogonal: Hay que tener en cuenta que, ahora, los escalares del desarrollo, es decir, los al serán, en general, números complejos. Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) será idéntica a su desarrollo en función de las exponenciales. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo cumple una propiedad de periodicidad porque las funciones de la base ortogonal son periódicas, (periodicidad que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b))

22. Si queremos calcular los al del desarrollo de una función , f(x), haciendo uso de la ortogonalidad tendremos lo siguiente:

23. Si la función f(x) es una función real, se cumplirá lo siguiente:

24. Por tanto, si la función f(x) es una función real, tenemos: Pero, para cualquier función: Por tanto, si la función f(x) es una función real, se cumple que:

25. Si la función f(x) es una función real: Vamos a utilizar lo anterior para ver cómo podemos, para el caso de una función real, encontrar la relación entre los coeficientes de la base ortogonal de las exponenciales complejas y los coeficientes de la serie de Fourier , es decir, de la base ortogonal de senos y cosenos:

26. Si escribimos los al del siguiente modo: que es equiparable a la serie de Fourier de la función real, f(x):

27. donde: o, equivalentemente:

28. l ≠ 0

30. -1/p (sen(2px))

31. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2)

32. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3)

33. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4)

34. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4+sen(10px)/5 )

35. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4+sen(10px)/5 +sen(12px)/6)

36. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4+sen(10px)/5 +sen(12px)/6+sen(14px)/7)

37. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4+sen(10px)/5 +sen(12px)/6+sen(14px)/7+sen(16px)/8)

38. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4+sen(10px)/5 +sen(12px)/6+sen(14px)/7+sen(16px)/8+sen(18px)/9)

39. -1/p (sen(2px)+sen(4px)/2+sen(6px)/3+sen(8px)/4+sen(10px)/5 +sen(12px)/6+sen(14px)/7+sen(16px)/8+sen(18px)/9+sen(20px)/10)

40. Calcular en el intervalo (-1,1) las series de Fourier de las siguientes funciones:

41. l ≠ 0 Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

42. j impar -ip0x 0 Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

43. j impar j impar j impar j impar Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside: