Métodos de Investigación 2

1. Métodos de Investigación 2 ¿Qué es la Lógica? ¿Para qué sirve y quién la usa?

2. Definición • La lógica es una ciencia formal, que estudia las estructuras lógicas del pensamientoy el lenguaje que se utiliza para expresar dicho pensamiento. • Una definición formal : ciencia que estudia las formas de los pensamientos como medio para lograr la corrección y verdad de los mismos.

3. ¿Qué lenguaje usa la lógica? • El lenguaje de la lógica puede ser natural o simbólico (aunque la naturaleza del lenguaje sea precisamente ser una forma simbólica de referirnos a los objetos). • En Métodos 2 se estudia el concepto y sus operaciones para determinar su importancia lógico-metodológica en la construcción y formalización de los conceptos necesarios en la elaboración de una investigación

4. En el estudio de la Lógica se trata de aprender el uso del lenguaje simbólico (es decir, de la manera de representar lingüísticamente a los objetos). • La finalidad es que comprendas la intencionalidad de las expresiones lingüísticas y puedas determinar las relaciones lógicas que subyacen en el lenguaje natural o cotidiano.

5. Objetivos • Se trata de conocer las aplicaciones metodológicas del razonamiento y su vinculación con los diferentes métodos utilizados en la investigación científica. • Para evitar la ambigüedad e imprecisión que a veces puede resultar del modo de organizar y argumentar nuestras ideas, es necesario estructurarlas de forma lógica y precisa para comunicar con exactitud lo que pensamos a nuestros semejantes.

6. Orígenes de la lógica • Los sofistas (grupo de filósofos anteriores y/o contemporáneos a Sócrates) van a convertir la Retórica en una técnica argumentativa realizando investigaciones lingüísticas, a tal grado que crean la Gramática y la Sintaxis; pero como la Retórica implicaba el arte de la oratoria, tuvieron que esbozar una doctrina sobre el arte de probar y refutar las argumentaciones. • Aristóteles estableció los principios lógicos de identidad, de no contradicción y de tercero excluido; propuso la teoría del concepto, del juicio, del razonamiento, de la argumentación, de la probabilidad, de la verdad, y trató el problema de las ciencias deductivas y de las ciencias experimentales.

7. No fue Aristóteles (384- 322 A. C.) quien le puso nombre a esta ciencia de la Lógica, sino sus discípulos, los cuales al darse cuenta de que los apuntes tomados en las clases de su maestro continuamente se referían a la razón, decidieron darle el nombre de Lógica (logiké), que significa “lo relativo a la razón”. Posteriormente Francis Bacon (1561-1626) realizó uno de los primeros intentos de sistematización de la inducción en la época moderna con la creación de las tablas inductivas que permitían el manejo de una variable como causa directa del fenómeno

8. Las Tablas Inductivas de Bacon

9. Otros filósofos que desarrollaron la lógica como ciencia • Son interesantes también los avances aportados por Galileo Galilei, John Stuart Mill, G. W. F. Hegel, Johann HeinrichLambert, George Boole, F. L. G. Frege, y a los considerados como los grandes sistematizadores de la Lógica Matemática Clásica: Bertrand Russel y Alfred North Whitehead, autores de la famosa obra Principia Mathematica, publicada entre 1910 y 1913 • Esta lógica matemática se convierte en una ciencia particular, independiente de la filosofía, y se distingue de la Lógica Tradicional Aristotélica, entre otras cosas, por el tipo de estudio que realiza de las estructuras del pensamiento, mediante un lenguaje simbólico riguroso y formalmente constituído.

10. Ahora se estudian dos tipos de lógica al menos:

11. Lógica Proposicional, simbólica o matemática (dentro de la lógica formal) • ¿Qué es una proposición? En lógica se entiende que una proposición es una oración o enunciado declarativo afirmativo o negativo: • “La ventana es rectangular” • “El disco es redondo” • “El agua contiene dos elementos químicos diferentes” • “La tierra es un planeta que gira alrededor del sol”, etcétera

12. Simples o Atómicas: Son aquellas que constan de sólo una proposición, como las mencionadas anteriormente: “La ventana es rectangular”, “el disco es redondo”, etc. Hay dos tipos de proposiciones Compuestas o Moleculares: Son aquellas que constan de dos o más proposiciones, unidas mediante las llamadas conectivas lógicas: la conjunción, la disyunción, la condicional y la bicondicional: “La ventana es rectangular y el marco es de madera” “Si hoy es lunes entonces mañana es martes”

14. Tablas de verdad • En estas tablas de lo que se trata es de establecer la validez formal de una proposición. En ese sentido se trata de establecer cuándo una proposición es válida (independientemente de su veracidad objetiva). • Para realizar estas tablas es necesario conocer y aplicar las reglas de las tablas de verdad de cada conectiva que se usa

15. Cada proposición, hipotéticamente, puede ser verdadera o falsa, por lo que las tablas de verdad, en cada proposición, examinan ambas posibilidades: Cuando tenemos una proposición compuesta por dos o más proposiciones, se tiene que considerar la combinación total de los valores hipotéticos, de acuerdo con el número de proposiciones o con la fórmula 2n donde el 2 es el número de valores (veradero y falso) y n es el número de proposiciones. Dicha fórmula se usa para determinar el número de combinaciones probables en una proposición compuesta o molecular.

16. Para resolver una tabla de verdad, primero se asignan los valores combinados de verdad y falsedad, de acuerdo al número de proposiciones que hay: en este caso 3, es decir 23 lo que nos da un resultado de 8 combinaciones: En este caso, a P le ponemos la mitad de 8 como verdaderos y la otra mitad falsos, a Q la mitad de la mitad (2, 2, 2, 2) y a R una y una.

17. Una vez que tememos hecha la asignación de la combinación de los valores, examinamos los signos de agrupación para aplicar la regla correspondiente: Lo primero que tenemos que resolver es el paréntesis que agrupa a Q con R a través de la condicional, cuya regla dice: “la condicional es verdadera en todos los casos, excepto cuando el antecedente (Q) es verdadero y el consecuente (R) es falso”. Esto ocurre en la combinación 2 y 6. Todos los demás casos son verdaderos

18. Una vez que tenemos los valores de la condicional entre Q y R, con esos valores obtenemos los de la conjunción que une a P con la proposición dentro del paréntesis: Para resolver esta conjunción, se toman los valores de P y los de la condicional que acabamos de obtener. La regla de la conjunción dice que es verdadera sólo si ambas proposiciones son verdaderas. Tal es el caso en las combinaciones 1, 3 y 4.

19. Reglas de implicación o inferencia • Son proposiciones simbolizadas que, a través de premisas (generalmente dos) nos permiten realizar u obtener conclusiones a partir de ellas. • Sirven para mostrar la forma en la que válidamente se pueden obtener conclusiones.

20. Principales reglas de inferencia

23. El concepto “libro” cuenta con mayor extensión (porque se habla de un libro cualquiera) pero tan pronto comenzamos a definirlo como de matemáticas y su grado, su extensión es menor pero su contenido es mayor.

24. Ejercicios con reglas de implicación • Veamos estos ejercicios y su solución: • 1. q → ~ (s V p) • 2. q • \ ~ (s V p)

25. A: 1. (r V q) 2. (r → t) ˄ (q → s) \ 3. (t V s) B: 1. ~ (q → s) V f 2. ~ f \ 3. ~ (q → s)

26. C: 1. (t V p) → s 2. r → (t V p) \ 3. r → s D: 1. ~ m → t 2. ~ t \ 3. m

27. ¿Por dónde comenzar? 1. q → ~ p p 2. r → p p 3. q ˄ s p \ ~ r ˄ s ├─── 4. • La premisa 3 es una conjunción, y la conclusión a la que tenemos que demostrar también es una conjunción

28. 1. q → ~ p p 2. r → p p 3. q ˄ s p \ ~ r ˄ s (esto es lo que hay que demostrar) ├─── 4. q Simpl. en 3 • Si simplificamos q de la premisa 3, que es una conjunción entonces obtenemos el antecedente de la condicional de la premisa 1: q • Tenemos que justificar la premisa 4 señalando de dónde salió y con qué regla

29. 1. q → ~ p p 2. r → p p 3. q ˄ s p \ ~ r ˄ s ├─── 4. q Simpl. en 3 5. ~ p MPP en 1 y 4 • La premisa 5 es el resultado de la 1 y de la 4, las cuales ponemos aquí así para que se vea que entre ellas se aplica un MPP: • 1. q → ~ p • 4. q • 5. ~ p

30. 1. q → ~ p p 2. r → p p 3. q ˄ s p \ ~ r ˄ s ├─── 4. q Simpl. en 3 5. ~ p MPP en 1 y 4 6. ~ r MTT en 2 y 5 • La premisa 6, del mismo modo, es resultado de un MTT aplicado en las premisas 2 y 5: • 2. r → p • 5. ~ p • 6. ~ r

31. 1. q → ~ p p 2. r → p p 3. q ˄ s p \ ~ r ˄ s ├─── 4. q Simpl. en 3 5. ~ p MPP en 1 y 4 6. ~ r MTT en 2 y 5 7. s Simpl. en 3 • La premisa 7 es resultado de volver a aplicar la regla de la simplificación en la premisa 3, pero ahora simplificando s: • 7. s

32. 1. q → ~ p p 2. r → p p 3. q ˄ s p \ ~ r ˄ s ├─── 4. q Simpl. en 3 5. ~ p MPP en 1 y 4 6. ~ r MTT en 2 y 5 7. s Simpl. en 3 8. ~ r ˄ s Conj. en 6 y 7 • La premisa 8, que es finalmente la demostración de la conclusión que se pedía, es resultado de una unión conjuntiva de las premisas 6 y 7: 6. ~ r 7. s 8. ~ r ˄ s

33. El siguiente ejercicio consta de 4 premisas: 1. (r → s) ˄ (p → t) p 2. (s V t) → q p 3. r p 4. f ˄ x \ q ˄ x (conclusión que hay que demostrar)

34. 1. (r → s) ˄ (p → t) 2. (s V t) → q 3. r 4. f ˄ x \ t ˄ s 4. r → s simpl. 1 • Podemos arrancar de la conjunción en la premisa 1, lo cual nos permite simplificar cualquiera de las condicionales. En este caso tal vez nos convenga iniciar con • r → s porque en la premisa 3 tenemos r, el cual es su antecedente y prefigura un MPP

35. 1. (r → s) ˄ (p → t) 2. (s V t) → q 3. r 4. f ˄ x \ q ˄ x 5. r → s simpl. 1 6. s MPP en 5 y 3 • Con la simplificación de esa conjunción en la premisa 1 que nos permite separar la primera condicional, y con r en la premisa 3 obtenemos s: • 5. r → s • 3. r • 6. s Por un MPP

36. 1. (r → s) ˄ (p → t) 2. (s V t) → q 3. r 4. f ˄ x \ q ˄ x 5. r → s simpl. 1 6. s MPP en 5 y 3 7. s V t Ad. en 6 • Una vez que tenemos s, le podemos añadir mediante la disyunción de la ley de adición cualquier otra proposición, y en este caso nos conviene adicionar t, con el fin de formar el antecedente de la condicional de la segunda premisa: • 7. s V t

37. El siguiente paso es aplicar un MPP en las premisas 2 y la 8, puesto que s V t es el antecedente de esa condicional de la premisa 2: • 2. (s V t) → q • 7. s V t • 8. q 1. (r → s) ˄ (p → t) 2. (s V t) → q 3. r 4. f ˄ x \ q ˄ x 5. r → s simpl. 1 6. s MPP en 5 y 3 7. s V t Ad. en 6 8. q MPP en 2 y 8

38. Ya tenemos q, que es una parte de la proposición que como conclusión se tiene que demostrar (q ˄ x), y ahora nos falta la otra parte que es x, la cual está unida conjuntivamente en la premisa 4, por lo que es necesario simplificarla: • 9. x por simplificación en 4 1. (r → s) ˄ (p → t) 2. (s V t) → q 3. r 4. f ˄ x \ q ˄ x 5. r → s Simpl. 1 6. s MPP en 5 y 3 7. s V t Ad. en 6 8. q MPP en 2 y 8 9. x Simpl. en 4

39. 1. (r → s) ˄ (p → t) 2. (s V t) → q 3. r 4. f ˄ x \ q ˄ x 5. r → s Simpl. 1 6. s MPP en 5 y 3 7. s V t Ad. en 6 8. q MPP en 2 y 8 9. x Simpl. en 4 10. q ˄ x Conj. en 8 y 9 • El último paso es unir, mediante la regla de la conjunción, dos premisas que ya tenemos (q y x) en las premisas 8 y 9: • 8. q • 9. x • 10. q ˄ x

40. Reglas de Equivalencia

41. Ejercicio de equivalencia • Tomemos este ejercicio, que consta de 4 premisas y la conclusión a demostrar, la cual es ~(r V t). • De inmediato podemos notar que se puede aplicar un MTP en 1 y 4 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t)

42. Aplicamos así el MTP y de inmediato podemos aplicar un MTT en 3 y 5 para obtener la negación de t 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t) 5. ~ p MTP en 1 y 4 6. ~ t MTT en 3 y 5

43. 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t) 5. ~ p MTP en 1 y 4 6. ~ t MTT en 3 y 5 7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4 • Podemos unir conjuntivamente a ~p (premisa 5) con ~q (premisa 4). Esa conjunción nos servirá para aplicar una Ley de Morgan.

44. 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t) 5. ~ p MTP en 1 y 4 6. ~ t MTT en 3 y 5 7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4 8. ~(p V q) D M, 7 • Aplicamos la Ley de Morgan en la premisa 7 y obtenemos 7. ~p ˄ ~q 8. ~(p V q) D M, 7 Con lo cual podemos aplicar un MTT en 2 y 8

45. 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t) 5. ~ p MTP en 1 y 4 6. ~ t MTT en 3 y 5 7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4 8. ~(p V q) D M, 7 9. ~r MTT, 2, 8 • Al aplicar el MTT en las premisas 2 y 8 obtenemos la negación del antecedente , o sea • 2. r → (p V q) • 8. ~ (p Vq) • 9. ~ r Por el mencionado MTT

46. Ahora unimos conjuntivamente las premisas 9 y 6 para luego aplicar la regla De Morgan y obtener así aquello que estábamos demostrando 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t) 5. ~ p MTP en 1 y 4 6. ~ t MTT en 3 y 5 7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4 8. ~(p V q) D M, 7 9. ~r MTT, 2, 8 10. ~r ˄ ~t Conj. 9, 6

47. El paso final es aplicar a la premisa 10 la Ley de Morgan y obtenemos así la unión disyuntiva de r y t, pero negada. Y eso es todo, pues hemos llegado a la demostración que se solicitó. 1. ~ p V q 2. r → (p V q) 3. t → p 4. ~ q \ ~(r V t) 5. ~ p MTP en 1 y 4 6. ~ t MTT en 3 y 5 7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4 8. ~(p V q) D M, 7 9. ~r MTT, 2, 8 10. ~r ˄ ~t Conj. 9, 6 11. ~(r V t) D M, 10